Beste svaret
Ja, de er de samme. Sannhetsverdien til den logiske forbindelsen «if p the q», eller p => q, er bare falsk når p er sant og q er falsk. I alle andre tilfeller er det sant. Tenk på det på denne måten: hvis jeg sa deg «Jeg møter deg hvis været er varmt» (her p – været er varmt, q – jeg møter deg) og været var ikke varmt, uansett om jeg besøkte deg eller ikke – jeg lyver ikke. Denne setningen vil bare være en løgn hvis været var varmt og jeg ikke besøkte deg.
Vi kan tegne det i en sannhetstabell:
pqp => q
TTTTFFFTTFFT
Derfor, hvis q er usant, og vi har utsagnet «hvis p da q «for å være sant, kan vi være sikre på at p er falsk; siden per definisjon hvis p var sant, må q også være sant. Derfor er p => q ekvivalent med «p bare hvis q». Hvis jeg ikke lyver da jeg sa at jeg kommer til å besøke deg hvis det er varmt, og jeg ikke besøkte deg, kan du være sikker på at det ikke var varmt.
Det er også nøyaktig betydning av utsagnet «q er en nødvendig forutsetning for p»: det betyr at for at p skal være sant, må q være sant (selv om q er sant, kan p enten være sant eller usant). Hvis jeg ikke løy og ikke besøkte deg, kan du være sikker på at det ikke var varmt, men hvis jeg besøkte deg, kan du ikke vite om det var varmt eller ikke: Jeg kan også besøke deg når det ikke er «t varmt.
Svar
Siden du spurte om (~ P eller Q), vil sannhetstabellen vise sin sanne:
Jeg mistenker imidlertid at det ikke vil gi deg den intuisjonen du forventet (selv om tabellen til venstre vil være nyttig senere). Personlig finner jeg ~ P OR Q ikke en intuitiv måte å tenke på det, men i stedet vil prøve å gi deg en intuisjon av hva en implikasjon (i det minste det jeg tror og gir mening for meg) prøver å fange intuitivt og dermed svare på første del hvorfor det er falskt bare når P er sant og Q er usant.
Det første er å tenke på en implikasjon hvis q \ innebærer q som en enkelt uttalelse, dvs. det tar to proposisjoner og returnerer enten true eller falsk. Nå som vi tenker på det som et fullstendig «objekt», vurder nå følgende eksempel:
Hvis «Jeg vinner valget», vil «skatten gå ned.
der antesedenten p = “Jeg vinner valget” og den påfølgende q = “skatten vil gå ned”. Så mye som jeg skulle ønske jeg kunne ha unngått, tenk på en implikasjon som et løfte av en politiker eller en person eller en matematiker. La oss nå vurdere alle de 4 alternativene for sannhetsverdiene for antecedent p og derav følgende q.
- Hvis begge er sanne (første rad med sannhetstabell), hva kan du da si om løftet som et hel? dvs. om implikasjonen som helhet? Hva kan du si om politikeren? Vel, hvis politikeren vant valget og deretter skattene gikk ned, så er løftet selvfølgelig IKKE løgn! dvs. han sa sannheten! Hurra, forklarte første rad
- Hva om den ene er sann og den andre er falsk? Vel, hvis forgjengeren er sann, betyr det at han vant valget, men hvis det som følger, ikke er en reduksjon i skatten, hva kan du si om løftet som helhet? Politikeren løy ! Så selvfølgelig bør man betrakte implikasjonen som en helhet falsk.
- Men hva om han ikke vant? dvs. antesedenten er falsk. Hvis det skjer uansett hva som skjer etterpå, kan ikke politikerens løfte betraktes som en løgn . Med andre ord, hvis han ikke vinner og hvis skatt øker, lyver han for oss? Vel, nei og det er det. Han lyver ikke fordi noe kan følge hvis han taper og det som skjer, gjør ikke politikeren til en løgner (det gjør heller ikke implikasjonen falsk).
- Å understreke den siste raden i sannhetstabellen med vårt eksempel, hvis politikeren IKKE vant og skatten IKKE gikk ned, kan du klandre ham for å lyve? Nei, du kan ikke klandre politikeren for å lyve fordi han ikke lovet noe hvis han ikke vant.
For meg, hvis implikasjoner er tenkt på et helt matematisk objekt som kan ha en viss sannhet, så er det veldig åpenbart hvorfor implikasjoner blir definert slik de er.
En annen måte å tenke på det er at hvis antecedenten er sant, bør den ALDRI antyde en falsk uttalelse. Derfor, når folk satte seg ned for å bestemme hvordan sannhetstabellen for en implikasjon skulle defineres som, bestemte de seg for at hvis forgjengeren er sann og konsekvensen er falsk, så bør ikke implikasjonen ikke være sant. Derimot trodde de sannsynligvis at hvis forgjengeren er falsk, så kan hva som helst følge fordi startantakelsen ikke holder ikke , så alt kan følge av en falsk startuttalelse.Med andre ord, hvis du begynner med en falsk antagelse, bør du være i stand til (logisk) å konkludere med hvilken dum ting du måtte forestille deg (selvfølgelig siden du startet fra en antagelse!).
Håper dette hjelper!
(eksemplet er ikke mitt, men fant det online som for 2 år siden og tenkte at det ville være fint å dele!)