Beste svaret
En vanlig femkant tessellerer ikke.
For at en vanlig polygon skal tessellere toppunkt til toppunkt, er det indre vinkelen på polygonet ditt må deles 360 grader jevnt. Siden 108 ikke deler 360 jevnt, teller ikke den vanlige femkant på denne måten.
Å prøve å plassere en av toppunktene på en kant et sted i stedet for på toppunktet fungerer ikke av lignende grunner, vinklene ikke Det stemmer ikke overens.
Det er imidlertid mange pentagoner som tessellaterer, for eksempel eksemplet nedenfor som fliser toppunkt til toppunkt. Du kan se at vinklene til alle polygonene rundt en enkelt toppunkt summerer seg til 360 grader.
Kontroll av vinkeltilstanden er ikke den eneste nødvendige forutsetningen for å se om polygoner tessellaterer, men det er veldig enkelt å sjekke.
Svar
Bare tre vanlige polygoner tessellate: ensidige trekanter, firkanter og vanlige sekskanter.
Ingen andre vanlige polygoner kan tessellere på grunn av vinklene på hjørnene på polygonene. For å tessellere et plan, må et helt antall ansikter kunne møte på et punkt. For vanlige polygoner betyr det at vinkelen på polygonets hjørner må deles 360 grader. I tillegg må summen av de utvendige vinklene for alle konvekse polygoner være 360 grader, og for vanlige polygoner betyr det at de utvendige vinklene må være like, og summen til 360 grader. Dette betyr at den indre vinkelen til en vanlig n-gon er 180 ^ \ circ – \ frac {360 ^ \ circ} / n. Antall vanlige n-gons du kan passe rundt et hjørne er derfor \ frac {360 ^ \ circ} {180 ^ circ- \ frac {360 ^ circ} {n}} = \ frac {360 ^ \ circ n} { 180 ^ \ circ n – 360 ^ circ} = \ frac {n} {\ frac {1} {2} n-1} = \ frac {2n} {n-2}, og er bare mulig når det er et helt tall .
Ensidige trekanter har 3 sider, slik at du kan plassere \ frac {2 (3)} {3–2} = \ frac {6} {1} = 6 ensidige trekanter rundt et punkt. Tessellasjon er ikke utelukket.
Kvadrater har fire sider, så du kan plassere \ frac {2 (4)} {4–2} = 8/2 = 4 firkanter rundt et punkt. Tessellasjon er ikke utelukket
Pentagoner har 5 sider, så du kan plassere \ frac {2 (5)} {5–2} = 10/3 pentagoner rundt et punkt. Dette er ikke et helt tall, så tessellering er umulig.
Sekskanter har seks sider, så du kan passe \ frac {2 (6)} {6–2} = 12/4 = 3 sekskanter. Tessellasjon er ikke utelukket.
Men flere sider enn det? Det er ikke mulig. Merk at \ frac {2 (n + 1)} {(n + 1) -2} = \ frac {2n + 2} {n-1} frac {2n} {n-2}, og at 2 < \ frac {2n} {n-2}, så for n> 6 har du 2 frac {2n} {n-2} frac {2 (6)} {6–2} = 3, så for vanlige heptagoner, oktagoner, nonagons osv., du kunne ikke plassere et helt antall av dem rundt et punkt.
Dette betyr ikke at det ikke er femkant, heptagoner, oktagoner osv som tessellerer, bare ikke vanlige femkanter, vanlige heptagoner eller vanlige oktagoner osv.