Beste antwoord
Omdat een buis cyllindrisch is, kunnen we kiezen voor cyllindrische coördinaten. Overweeg de as van de buis om uit te lijnen in de z-richting. De zwaartekracht werkt in de negatieve y-richting. En er is geen stroming in x-richting. Stel dat we druk uitoefenen op p1 bij binnenkomst en p2 bij vertrek. (p1> p2).
Stroming wordt als laminair beschouwd, dwz het Reynoldsgetal is 000, volledig ontwikkeld betekent dat er geen variatie in snelheid langs de z-richting is, en is onsamendrukbaar.
Voor elke onsamendrukbare stroom (Machgetal .3), behoud van massavergelijking geeft,
\ nabla \ cdot \ mathbf V = 0
Stelling van Navier-Stokes voor onsamendrukbaar – newtoniaans (constante viscositeit ) stroom is,
ρ * (\ dfrac {\ partiële V} {\ partiële t} + (\ mathbf V \ cdot \ nabla) * V) = – \ nabla p + ρ \ cdot \ vec g + μ * \ nabla ^ 2 V
Massabalans in cyllindrische coördinaat zal dus zijn:
\ dfrac {1} {r} \ cdot \ dfrac {\ partiële ( rV (r))} {\ partiële r} + \ dfrac {1} {r} \ cdot \ dfrac {\ partiële (V (θ))} {\ partiële θ} + \ dfrac {\ partiële (V (z) )} {\ partiële z} = 0
wat geeft,
\ dfrac {1} {r} \ cdot \ dfrac {\ partiële (rV (r))} {\ gedeeltelijke r} = 0
aangezien er geen snelheid is in θ richting en geen stroming in z-richting.
Dus,
rV (r) is een constant, nu bij r = R, V (r) = 0 (vanwege de slipvrije toestand, een experimenteel feit), impliceert V (r) = 0 overal, aangezien constante nul zal zijn.
Nu,
zwaartekracht is in de y-richting:
\ hat \ jmath = sinθ \ hat e (r) + cosθ \ hat e (θ)
Wat geeft, -g \ hat \ jmath = -g (sinθ \ hat e (r) + cosθ \ hat e (θ))
Nu r- momentumvergelijking schrijven:
0 = – \ dfrac {\ partiële p} {\ partiële r} + -ρgsinθ
schrijven θ momentumvergelijking
0 = – \ dfrac {1} {r} \ dfrac {\ partiële p} {\ partiële θ} + -ρgcosθ
Door deze twee vergelijkingen te combineren, krijgen we,
p = – ρgy + f (z)
Nu de laatste z impulsvergelijking schrijven:
ρ * (\ dfrac {\ partiële V (z)} {\ partiële t } + V (r) \ dfrac {\ partiële V (z)} {\ partiële r} + \ dfrac {V (θ)} {r} \ dfrac {\ partiële V (z)} {\ partiële θ} + \ dfrac {\ partiële V (z)} {\ partiële z} = – \ dfrac {\ partiële p} {\ partiële z} + ρg (z) + μ (\ dfrac {1} {r} \ dfrac {\ partiële ( r \ dfrac {\ partiële V (z)} {\ partiële r})} {\ partiële r} + 0 + 0)
De laatste twee termen zijn 0 omdat stroming as-symmetrisch is en volledig ontwikkeld is.
Rekening houdend met alle aannames en de zwaartekracht is niet in de z-richting, deze vergelijking wordt teruggebracht tot:
– \ dfrac {\ partiële p} {\ partiële z} + μ (\ dfrac {1} {r} \ dfrac {\ partiële (r \ dfrac {\ partiële V (z )} {\ partiële r})} {\ partiële r}) = 0
– \ dfrac {\ partiële p} {\ partiële z} = \ dfrac {\ delta p} {L}
waarbij L de lengte van de buis is.
dus
\ dfrac {\ delta p} {L} + μ (\ dfrac {1} {r} \ dfrac {\ partiële (r \ dfrac {\ partiële V (z)} {\ partiële r})} {\ partiële r}) = 0
Randvoorwaarde is V (z) bij z = R en z = 0 zijn 0 (geen slipconditie),
Dus snelheidsprofiel in buis kan worden berekend als een functie van r,
V in z-richting als een functie van r,
V (r) = \ dfrac {\ delta p} {μL} \ cdot R ^ 2/4 [1-r ^ 2 / R ^ 2]
welke is een parabolisch profiel.
Volumestroom Q kan als volgt worden berekend:
Q = \ int V \ cdot \ hat n \, dA
welke geeft,
Q = \ dfrac {π * δP * R ^ 4} {8 * μ * L}
Wat uw vraag betreft, denk ik dat als u overweegt alleen laminair regime, we kunnen de bovenstaande formule toepassen om de druk in de buis te berekenen.
Hoop th is helpt!
Antwoord
Uw vraag is nogal vreemd. De druk in een buis is afhankelijk van factoren buiten de afmetingen van een buis. In wezen is de druk de kracht per oppervlakte-eenheid. Hoewel u een vergelijking kunt krijgen voor het inwendige oppervlak van een buis, wat een eenvoudig geometrisch probleem is, zou u zonder kennis van het type gas of vloeistof dat u door de buis zou duwen nog steeds niet de druk binnenin kunnen bepalen, u zou ook het volume van de stof moeten weten, evenals de beoogde stroomsnelheden, die u allemaal in overweging moet nemen die een kracht creëert en vervolgens deelt u het interne oppervlak voor de druk