Wat is een intuïtieve verklaring van het volgende wiskundige feit: [math] \ displaystyle \ sum\_ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n ^ 2}} = \ frac {\ pi ^ 2} {6} [/ math]?

Beste antwoord

\ dfrac {1} {1 ^ 2} + \ dfrac {1} {2 ^ 2} + \ dfrac {1} {3 ^ 2} + \ dfrac {1} {4 ^ 2} + \ dfrac {1} {5 ^ 2} + … = \ dfrac {\ pi ^ 2} {6} \ tag {1}

Daar is een uitstekend bewijs voor, en dit bewijs is eigenlijk hoe Euler deze identiteit voor het eerst bewees. Natuurlijk moet ik mijn professor crediteren voor het tonen van deze identiteit aan mij. (Alle Quora-accounts worden vermeld op het tabblad Citaten aan het einde van dit antwoord) Ten slotte is de enige berekening die nodig is om dit bewijs te begrijpen, de machtsregel, waar je nog steeds aan kunt werken zonder het te weten.

\ dfrac {\ mathrm d} {\ mathrm dx} [x ^ n] = nx ^ {n-1} \ tag * {}

We beginnen met een kleine geschiedenis van de wiskunde. De echte identiteit van Euler is niet e ^ {i \ pi} + 1 = 0. In feite schreef een wiskundige genaamd Roger Cotes hierover decennia vóór Euler, maar Euler was beroemder, dus de ontdekking ervan werd hem gecrediteerd. De identiteit die Eulers roem bleek te zijn, was in feite

\ dfrac {1} {1 ^ 2} + \ dfrac {1} {2 ^ 2} + \ dfrac {1} {3 ^ 2} … = \ dfrac {\ pi ^ 2} {6} \ tag * {}

* Als leuk feit is er een wet, de wet van Stigler, die stelt dat geen wetenschappelijke ontdekking is vernoemd naar zijn oorspronkelijke ontdekker. Voor de consistentie werd deze wet natuurlijk voor het eerst voorgesteld door Robert Merton. Voorbeelden van deze wet zijn de identiteit van Euler, ontdekt door Roger Cotes, de wet van Hubble, afgeleid van George Lemaitre en de stelling van Pythagoras, ontdekt door Babylonische wiskundigen lang vóór Pythagoras. Hoe dan ook, terug naar het antwoord.

Dit probleem bestond al lang vóór Euler, maar werd pas bij hem opgelost. Wiskundigen in die tijd zoals Jacob Bernoulli, Johan Bernoulli, Leibniz en John Wallis werkten al lang vóór Euler aan het probleem, maar konden geen exacte waarde voor het probleem in kwestie bedenken. In feite begon dit probleem zo groot te worden dat het zijn eigen naam kreeg: het Bazel-probleem.

Om te bewijzen dat de som van Euler in de eerste plaats samenkomt, moeten we het hieruit herschrijven.

\ dfrac {1} {1 ^ 2} + \ dfrac {1} {2 ^ 2} + \ dfrac {1} {3 ^ 2} + \ dfrac {1} {4 ^ 2} … \ tag {1}

hieraan.

\ dfrac {1} {1} \ cdot \ dfrac {1} {1} + \ dfrac 1 2 \ cdot \ dfrac 1 2+ \ dfrac 1 3 \ cdot \ dfrac 1 3+ \ dfrac 1 4 \ cdot \ dfrac 1 4 … \ tag {2}

Dit zijn duidelijk dezelfde dingen, maar alleen anders uitgedrukt. Ik zal je binnen een seconde laten zien waarom (2) nuttiger is dan (1).

Neem (2) en verander het dan. Omdat het erg moeilijk is om het in woorden uit te drukken, moet ik het je laten zien:

\ dfrac {1} {1} \ cdot \ dfrac {1} {1} + \ dfrac 1 2 \ cdot \ dfrac 1 2+ \ dfrac 1 3 \ cdot \ dfrac 1 3+ \ dfrac 1 4 \ cdot \ dfrac 1 4 … \ tag {2}

\ impliceert

\ dfrac {1} {1} + \ dfrac 1 1 \ cdot \ dfrac 1 2+ \ dfrac 1 2 \ cdot \ dfrac 1 3+ \ dfrac 1 3 \ cdot \ dfrac 1 4 … \ tag {3}

Dus we hebben de waarde van de oneindige som veranderd, maak je geen zorgen, ik probeer niet dingen langs je heen te schuiven. Laten we eens kijken (3).

Deze nieuwe reeks lijkt groter te zijn dan (2). De eerste term in zowel (2) als (3) zijn duidelijk gelijk aan elkaar. De tweede term in (3) is zeker groter dan (2) en we zien dat dit proces tot in het oneindige doorgaat. Dit betekent dat als deze serie (3) convergeert, de andere (2) dat ook doet.

Dus dit deel is voor de meeste mensen misschien niet duidelijk, wat prima is; in het begin was het me ook niet duidelijk.

\ dfrac {1} {1} + \ dfrac 1 1 \ cdot \ dfrac 1 2+ \ dfrac 1 2 \ cdot \ dfrac 1 3+ \ dfrac 1 3 \ cdot \ dfrac 1 4 … \ tag {3}

We zullen de reeks na de eerste 4 termen afsnijden en de gedeeltelijke som vinden.

\ dfrac {1} {1} + \ dfrac 1 1 \ cdot \ dfrac 1 2+ \ dfrac 1 2 \ cdot \ dfrac 1 3+ \ dfrac 1 3 \ cdot \ dfrac 1 4 \ tag * {}

Voor degenen die het niet weten, deze reeks kan worden herschreven als:

\ dfrac {1} {1} + \ left (\ dfrac 1 1- \ dfrac 1 2 \ right) + \ left (\ dfrac 1 2 – \ dfrac 1 3 \ right) + \ left (\ dfrac 1 3- \ dfrac 1 4 \ right) \ tag * {}

Bewerken:

Ik ontving een vraag met de vraag hoe we bij de nieuwe serie kunnen komen, en dit was mijn antwoord:

* Als je weet hoe ga naar die stap, dan kun je deze volgende geciteerde sectie overslaan.

Ja, je kunt bij die stap komen door een gedeeltelijke breukuitbreiding. De reeks in zijn huidige vorm is deze:

1+ \ displaystyle \ sum\_ {n = 1} ^ {+ \ infty} \ dfrac {1} {n (n + 1)} \ tag * { }

Je kunt ervan uitgaan dat de binnenkant van de som kan worden weergegeven door een functie van reële getallen, of een functie van x, uitgebreid tot twee nieuwe breuken,

\ dfrac {1 } {x (x + 1)} = \ dfrac {A} {x} + \ dfrac {B} {x + 1} \ tag * {}

Vermenigvuldigen met een gemeenschappelijke noemer,

1 = A (x + 1) + B (x) \ tag * {}

Aangezien x \ in \ mathbb R, laten we x = 0 en vinden we A = 1 .Evenzo geeft x = -1 ons B = -1, dus we kunnen het argument van de som herschrijven als

1+ \ displaystyle \ sum\_ {n = 1} ^ {+ \ infty} \ left (\ dfrac {1} {n} – \ dfrac {1} {n + 1} \ right) \ tag * {}

Optellen is associatief, dus herschrijf deze gedeeltelijke som:

\ left (\ dfrac 1 1+ \ dfrac 1 1 \ right) + \ left (- \ dfrac 1 2+ \ dfrac 1 2 \ right) + \ left (- \ dfrac 1 3+ \ dfrac 1 3 \ right ) – \ dfrac 1 4 \ tag * {}

Wat dan triviaal wordt.

2- \ dfrac 1 4 \ tag * {}

Wij Ik ga nu terug naar onze oneindige reeks (3) en vervang de eerste 4 termen door 2- \ frac 1 4 en kijk wat er vanaf daar gebeurt.

2- \ dfrac 1 4+ \ dfrac 1 4 \ cdot \ dfrac 1 5+ \ dfrac 1 5 \ cdot \ dfrac 1 6+ \ dfrac 1 6 \ cdot \ dfrac 1 7 … \ tag * {}

Met behulp van de truc die we eerder gebruikten,

2- \ dfrac 1 4+ \ dfrac 1 4- \ dfrac 1 5+ \ dfrac 1 5- \ dfrac 1 6+ \ dfrac 1 6- \ dfrac 1 7 … \ tag * {}

En nu wordt de waarde voor deze oneindige som duidelijk.

\ dfrac {1} {1} + \ dfrac 1 1 \ cdot \ dfrac 1 2+ \ dfrac 1 2 \ cdot \ dfrac 1 3+ \ dfrac 1 3 \ cdot \ dfrac 1 4 … = 2 \ tag * {}

Geweldig! We weten nu dus dat de som in kwestie convergeert naar een waarde kleiner dan 2. Voor nieuwsgierigen, \ frac {\ pi ^ 2} {6} \ ongeveer 1.644.

We kunnen nu beginnen te bewijzen Eulers echte identiteit:

Stel dat \ sin x uitgedrukt kan worden als een oneindige polynoom.

\ sin x = a + bx + cx ^ 2 + dx ^ 3 + … \ tag * {}

We kunnen nu alle termen van de polynoom triviaal vinden. Begin met x = 0

\ sin 0 = a + b0 + c0 ^ 2 + d0 ^ 3 … \ tag * {}

0 = a \ tag * { }

Dus onze nieuwe oneindige polynoom wordt dan

\ sin x = bx + cx ^ 2 + dx ^ 3 + … \ tag * {}

Beide kanten onderscheiden

\ cos x = b + 2cx + 3dx ^ 2 … \ tag * {}

Instelling x = 0,

1 = b \ tag * {}

Het differentiëren en instellen van x = 0 geeft ons een oneindige polynoom voor \ sin x. Als je dit voor altijd blijft doen, zul je uiteindelijk tot de conclusie komen dat

\ sin x = 0 + 1x- \ dfrac {1} {2 \ cdot 3} x ^ 3 + … \ tag * {}

Wat vereenvoudigt tot

\ sin x = \ dfrac {x} {1!} – \ dfrac {x ^ 3} {3!} + \ dfrac {x ^ 5} {5!} – \ dfrac {x ^ 7} {7!} … \ tag * {}

We hebben dus zojuist de Maclaurin-serie voor \ sin x hersteld. Mijn excuses, maar ik voelde de behoefte om het bewijs ervoor op te nemen, aangezien we sowieso al andere dingen bewijzen.

Hoewel dit zeker een haalbare uitbreiding is voor \ sin x, koos Euler voor een andere benadering. Bekijk de grafiek van \ sin x, \, x \ in [- \ pi, \ pi]. We weten dat er nullen staan ​​op x = – \ pi, \, 0, \, \ pi, dus als we deze grafiek zouden modelleren, kunnen we een kubieke functie schrijven met nullen op – \ pi, \, 0, \, \ pi.

f (x) = x (\ pi + x) (\ pi-x) \ tag * {}

Wat er als volgt uitziet:

Natuurlijk lijkt dit helemaal niet veel op f (x) = \ sin x, maar we kunnen het schalen door de functie door een constante. Na veel gehannes zien we dat de constante die ervoor zorgt dat de grafiek het beste bij \ sin x past, \ frac {1} {\ pi ^ 2} is. Laten we eens kijken naar onze nieuwe grafiek van

f (x) = \ dfrac {1} {\ pi ^ 2} x (\ pi + x) (\ pi-x) \ tag * {}

Dat is, hoewel niet exact, veel beter. Laten we onze functie hier manipuleren, en u zult zien waarom dit later gebeurt.

f (x) = \ dfrac {1} {\ pi ^ 2} x (\ pi + x) (\ pi -x) \ tag * {}

f (x) = \ dfrac {1} {\ pi} (\ pi + x) \ cdot \ dfrac {1} {\ pi} (\ pi- x) x \ tag * {}

f (x) = x \ left (1+ \ dfrac {x} {\ pi} \ right) \ left (1- \ dfrac {x} {\ pi} \ right) \ tag * {}

f (x) = x \ left (1- \ dfrac {x ^ 2} {\ pi ^ 2} \ right) \ tag * {}

Maar we hebben niet de hele functie benaderd. Om dat te doen, moeten we nieuwe termen bepalen die nieuwe nullen toevoegen op x = 2 \ pi, \, – 2 \ pi. Ik zal de algebra niet meer laten zien en je bent vrij om het te verifiëren als je wilt, maar onze nieuwe functie wordt:

f (x) = x \ left (1- \ dfrac {x ^ 2} {\ pi ^ 2} \ right) \ left (1- \ dfrac {x ^ 2} {(2 \ pi) ^ 2} \ right) \ tag * {}

En daarna patroon van het toevoegen van nieuwe termen om onze nieuwe nullen te ontvangen, onze nieuwe functie modelleert perfect dat van \ sin x.

f (x) = \ sin x = x \ left (1- \ dfrac {x ^ 2} {\ pi ^ 2} \ right) \ left (1- \ dfrac {x ^ 2} {(2 \ pi) ^ 2} \ right) \ left (1- \ dfrac {x ^ 2} {(3 \ pi) ^ 2} \ right) \ left (1- \ dfrac {x ^ 2} {(4 \ pi) ^ 2} \ right) … \ tag {4}

En hier zijn de grafieken naast elkaar.

* Hoewel ze niet exact zijn, is dit de grafiek uitgeschreven in 7 termen . Het spijt me dat ik niet tot in de oneindigheid uit kon gaan, maar ik had niet de hele nacht. Dit is echter voldoende, aangezien het doel was om de overeenkomsten tussen deze grafiek en \ sin x aan te tonen.

We komen eraan, dus bereid je voor! Klik desgewenst weg van dit antwoord en kijk of je de rest van de weg kunt afleggen. Veel succes als je dat doet!

We gaan onszelf aan pure marteling onderwerpen, dus vermenigvuldig ons (4). Ik sla de algebra over, want we zijn hier niet om gek te worden.

f (x) = x \ left (1- \ dfrac {x ^ 2} {\ pi ^ 2} \ right ) \ left (1- \ dfrac {x ^ 2} {(2 \ pi) ^ 2} \ right) \ left (1- \ dfrac {x ^ 2} {(3 \ pi) ^ 2} \ right) \ left (1- \ dfrac {x ^ 2} {(4 \ pi) ^ 2} \ right) … \ tag {4}

f (x) = \ left (x- \ dfrac {x ^ 3} {\ pi ^ 2} \ right) \ left (1- \ dfrac {x ^ 2} {(2 \ pi) ^ 2} \ right) … \ tag * {}

f (x) = \ left (x + \ left (- \ dfrac {1} {\ pi ^ 2} – \ dfrac {1} {(2 \ pi) ^ 2} \ right) x ^ 3 + \ dfrac {1} {\ pi ^ 2} \ cdot \ dfrac {1} {(2 \ pi) ^ 2} x ^ 5 \ right) \ left (1- \ dfrac {x ^ 2} {(3 \ pi) ^ 2} \ rechts) …\ tag * {}

We gaan ons vanaf hier uitsluitend richten op de coëfficiënt van de x ^ 3-term, dus laten we het in een kader plaatsen.

f (x) = \ left (x + \ boxed {\ left (- \ dfrac {1} {\ pi ^ 2} – \ dfrac {1} {(2 \ pi) ^ 2} \ right) x ^ 3} + \ dfrac {1} {\ pi ^ 2} \ cdot \ dfrac {1} {(2 \ pi) ^ 2} x ^ 5 \ right) \ left (1- \ dfrac {x ^ 2} {(3 \ pi) ^ 2} … \ right) \ tag * {}

Oké, laten we nu de volgende term vermenigvuldigen met de eerste. Nogmaals, ik zal je de algebra-bits besparen.

x + \ boxed {\ left (- \ dfrac {1} {\ pi ^ 2} – \ dfrac {1} {(2 \ pi) ^ 2} – \ dfrac {1} {(3 \ pi) ^ 2} \ right) x ^ 3} + (…) x ^ 5 + (…) x ^ 7 \ tag * {}

Dus vanaf hier is het vrij duidelijk hoe de coëfficiënt op de x ^ 3 eruit zal zien. We hoeven geen algebra meer te doen, omdat we gewoon het patroon kunnen volgen en ervan uitgaan dat dit voor elke termijn zal blijven gebeuren. Hierna zullen we deze oneindige som vergelijken met onze Maclaurin-reeks voor \ sin x.

\ sin x = x + \ boxed {\ left (- \ dfrac {1} {\ pi ^ 2} – \ dfrac {1} {(2 \ pi) ^ 2} – \ dfrac {1} {(3 \ pi) ^ 2} – \ dfrac {1} {(4 \ pi) ^ 2} – \ enspace … \ enspace \ right) x ^ 3} + (…) x ^ 5 + (…) x ^ 7 \ tag * {}

\ sin x = \ dfrac {x} {1 !} – \ dfrac {x ^ 3} {3!} + \ dfrac {x ^ 5} {5!} – \ dfrac {x ^ 7} {7!} + \ dfrac {x ^ 9} {9!} – \ dfrac {x ^ {11}} {11!} + … \ tag * {}

Door coëfficiëntenvergelijking zien we dat

– \ dfrac {x ^ 3} {3!} = \ Left (- \ dfrac {1} {\ pi ^ 2} – \ dfrac {1} {(2 \ pi) ^ 2} – \ dfrac {1} {(3 \ pi) ^ 2} – \, … \ right) x ^ 3 \ tag * {}

Verwijder de x ^ 3 van beide kanten.

– \ dfrac {1} {3 !} = – \ dfrac {1} {\ pi ^ 2} – \ dfrac {1} {(2 \ pi) ^ 2} – \ dfrac {1} {(3 \ pi) ^ 2} – \, .. . \ tag * {}

Beide zijden vermenigvuldigen met -1:

\ dfrac {1} {3!} = \ dfrac {1} {\ pi ^ 2} + \ dfrac {1} {(2 \ pi) ^ 2} + \ dfrac {1} {(3 \ pi) ^ 2} + \ dfrac {1} {(4 \ pi) ^ 2} + \ dfrac {1} { (5 \ pi) ^ 2} + … \ tag * {}

Vermenigvuldig met \ pi ^ 2

\ dfrac {\ pi ^ 2} {3!} = \ dfrac {1} {1 ^ 2} + \ dfrac {1} {2 ^ 2} + \ dfrac {1} {3 ^ 2} + \ dfrac {1} {4 ^ 2} + \ dfrac {1} { 5 ^ 2} + \ dfrac {1} {6 ^ 2} … \ tag * {}

Evalueer 3! en daar is het:

\ dfrac {\ pi ^ 2} {6} = \ dfrac {1} {1 ^ 2} + \ dfrac {1} {2 ^ 2} + \ dfrac {1 } {3 ^ 2} + \ dfrac {1} {4 ^ 2} + \ dfrac {1} {5 ^ 2} + \ dfrac {1} {6 ^ 2} … \ tag * {}

Eulers echte identiteit.

Citaten:

Mijn professor: Tan Nguyen

Antwoord

Oh man, je hebt het helemaal bedorven! Dit is niet hoe je de vraag stelt, kom op !

Je stelt het als volgt: Wat is

\ displaystyle \ lim\_ {n \ to \ infty} e ^ {- n} \ sum\_ {k = 0} ^ n \ frac {n ^ k} {k!} \, \, \ text {?}

En dan leun je achterover en geniet je van het spektakel van iedereen die zegt dat het duidelijk 1 is, en ze leggen uit waarom, en het is zo duidelijk dat het niet Je hebt zelfs bewijs nodig, maar je vraagt ​​ze om het toch te bewijzen, en ze proberen het, en ze falen (of erger: slagen), en je vraagt ​​ze of ze nog steeds denken dat het 1 is, en ze zeggen ja, maar een deel van het vertrouwen is weg, en je speelt ze net zo lang als je wilt, totdat je ze laat weten dat ze precies 100\% korting hebben.

Dus waarom denkt iedereen dat deze limiet gelijk is aan 1, en waarom is dat niet waar, en waarom is het eigenlijk \ frac {1} {2}?

Nou, voor n heel groot is de som \ sum\_ {k = 0} ^ n \ frac {n ^ k} {k!} ongeveer e ^ n. Rechtsaf? Het is gewoon de Taylor-reeks van de exponentiële functie. Dus vermenigvuldigen we dat met e ^ {- n} en krijgen zo ongeveer 1, en naarmate we n laten groeien, wordt dit alleen maar nauwkeuriger, dus de limiet moet gewoon 1 zijn. Ik bedoel het heeft to.

Klopt?

Fout.

Dus wat is er hier mis? Misschien voel je je een beetje ongemakkelijk bij dat Taylor-bedrijf. Ik bedoel, natuurlijk, de som

\ displaystyle \ sum\_ {k = 0} ^ n \ frac {x ^ k} {k!}

Is een gedeeltelijke som van de Taylor reeks van e ^ x, dus de limiet voor vaste x als n \ tot \ oneindig is inderdaad e ^ x. Maar hier doen we iets verdachts: we vragen n om een ​​dubbele taak uit te voeren als zowel het sommatiebereik als de variabele van de machtreeks.

Eén ding moet in ieder geval duidelijk zijn: de uitspraak

\ displaystyle e ^ n =? = \ lim\_ {n \ to \ infty} \ sum\_ {k = 0} ^ {n} \ frac {n ^ k} {k!}

slaat helemaal nergens op. De variabele n is aan de linkerkant vrij en aan de rechterkant gebonden.

Ok. Dus die naïeve interpretatie is uit het raam. Hoe beoordelen we die limiet?

Er is een prachtige, meesterlijke manier om dit op te lossen die bijna goochelarij is. Het gaat als volgt: dit is precies de beperkende kans dat een willekeurige Poisson-variabele met parameter \ lambda = n kleiner is dan de verwachting. Zon variabele wordt verdeeld net als de som van n onafhankelijke Poisson-variabelen met parameter \ lambda = 1, en zon som (genormaliseerd door zijn variantie, \ sqrt {n}, wat hier niet uitmaakt) convergeert in distributie naar een normaal distributie. Wat is de kans dat een normale willekeurige variabele kleiner is dan het gemiddelde? Waarom het \ frac {1} {2} is, natuurlijk. Gedaan. QED.

Wacht, wat?

Ja, echt waar. Als je de centrale limietstelling kent, is dit precies wat het zegt als je willekeurige variabelen X\_1, X\_2, \ ldots neemt, die elk Poisson (1) zijn. Goede routineoefening bij het toepassen van CLT op willekeurige Poisson-variabelen.

Maar wat als u niets weet over de CLT of het gewoon niet bij u opkomt om deze limiet als een waarschijnlijkheid te interpreteren?

Dan is dit, eerlijk gezegd, nogal een moeilijk probleem. De CLT is een krachtige stelling die nogal wat theorie verbergt en deze vrijwel gratis aanbiedt. Zonder dit sta je hier alleen, en ik weet niet echt een gemakkelijke manier om dit te bewijzen. Er zijn enkele slimme integrale manipulaties en transformaties nodig.

Geef een reactie

Het e-mailadres wordt niet gepubliceerd. Vereiste velden zijn gemarkeerd met *