Najlepsza odpowiedź
Ponieważ rura jest cylindryczna, możemy zastosować współrzędne cylindryczne. Rozważ oś rury, która ma być wyrównana w kierunku z. Grawitacja działa wzdłuż ujemnego kierunku y. I nie ma przepływu w kierunku x. Załóżmy, że zastosujemy ciśnienie p1 na wejściu i p2 na wyjściu. (p1> p2).
Przepływ jest uważany za laminarny, tj. liczba Reynoldsa wynosi 000, jest w pełni rozwinięty, co oznacza, że nie ma zmian prędkości wzdłuż kierunku z i jest nieściśliwy.
każdy przepływ nieściśliwy (liczba Macha ,3), zachowanie równania masy daje,
\ nabla \ cdot \ mathbf V = 0
Twierdzenie Naviera-Stokesa o nieściśliwym – niutonowskim (stała lepkość ) przepływ wynosi,
ρ * (\ dfrac {\ częściowy V} {\ częściowy t} + (\ mathbf V \ cdot \ nabla) * V) = – \ nabla p + ρ \ cdot \ vec g + μ * \ nabla ^ 2 V
Tak więc bilans masy we współrzędnej cylindrycznej będzie wyglądał następująco:
\ dfrac {1} {r} \ cdot \ dfrac {\ częściowy ( rV (r))} {\ częściowy r} + \ dfrac {1} {r} \ cdot \ dfrac {\ częściowy (V (θ))} {\ częściowy θ} + \ dfrac {\ częściowy (V (z)) )} {\ części z} = 0
co daje,
\ dfrac {1} {r} \ cdot \ dfrac {\ Partial (rV (r))} {\ częściowe r} = 0
ponieważ nie ma prędkości w kierunku θ i nie ma przepływu w kierunku z.
Zatem
rV (r) jest stała, teraz przy r = R, V (r) = 0 (z powodu braku poślizgu, fakt doświadczalny), implikuje V (r) = 0 wszędzie, ponieważ stała będzie równa zero.
Teraz
grawitacja jest w kierunku y:
\ hat \ jmath = sinθ \ hat e (r) + cosθ \ hat e (θ)
Co daje, -g \ hat \ jmath = -g (sinθ \ hat e (r) + cosθ \ hat e (θ))
Teraz piszemy r- równanie pędu:
0 = – \ dfrac {\ cząstkowe p} {\ częściowe r} + -ρgsinθ
pisząc θ równanie pędu
0 = – \ dfrac {1} {r} \ dfrac {\ Partial p} {\ Partial θ} + -ρgcosθ
Łącząc te dwa równania, otrzymujemy
p = – ρgy + f (z)
Teraz piszemy końcowe równanie pędu z:
ρ * (\ dfrac {\ częściowe V (z)} {\ częściowe t } + V (r) \ dfrac {\ częściowe V (z)} {\ częściowe r} + \ dfrac {V (θ)} {r} \ dfrac {\ częściowe V (z)} {\ częściowe θ} + \ dfrac {\ częściowy V (z)} {\ częściowy z} = – \ dfrac {\ częściowy p} {\ częściowy z} + ρg (z) + μ (\ dfrac {1} {r} \ dfrac {\ częściowy ( r \ dfrac {\ częściowy V (z)} {\ częściowy r})} {\ częściowy r} + 0 + 0)
Ostatnie dwa wyrazy to 0, ponieważ przepływ jest symetryczny względem osi i jest w pełni rozwinięty.
Biorąc pod uwagę wszystkie założenia, a grawitacja nie jest w kierunku z, to równanie zostaje zredukowana do:
– \ dfrac {\ częściowe p} {\ częściowe z} + μ (\ dfrac {1} {r} \ dfrac {\ częściowe (r \ dfrac {\ częściowe V (z )} {\ częściowe r})} {\ częściowe r}) = 0
– \ dfrac {\ częściowe p} {\ częściowe z} = \ dfrac {\ delta p} {L}
gdzie L jest długością rury.
więc
\ dfrac {\ delta p} {L} + μ (\ dfrac {1} {r} \ dfrac {\ częściowe (r \ dfrac {\ częściowe V (z)} {\ częściowe r})} {\ częściowe r}) = 0
Warunkiem granicznym będzie V (z) przy z = R i z = 0 będą równe 0 (brak poślizgu),
Zatem profil prędkości w rurze można obliczyć jako funkcję r,
V w kierunku z jako funkcja r,
V (r) = \ dfrac {\ delta p} {μL} \ cdot R ^ 2/4 [1-r ^ 2 / R ^ 2]
który jest profilem parabolicznym.
Objętościowe natężenie przepływu Q można obliczyć w następujący sposób:
Q = \ int V \ cdot \ hat n \, dA
daje,
Q = \ dfrac {π * δP * R ^ 4} {8 * μ * L}
Jeśli chodzi o twoje pytanie, myślę, że jeśli weźmiesz pod uwagę tylko w trybie laminarnym, możemy zastosować powyższy wzór do obliczenia ciśnienia wewnątrz rury.
Mam nadzieję, że th jest pomocne!
Odpowiedź
Twoje pytanie jest dość dziwne. Ciśnienie w rurze zależy od czynników wykraczających poza wymiary rury. Zasadniczo ciśnienie to siła na jednostkę powierzchni. Chociaż możesz otrzymać równanie na wewnętrzną powierzchnię rury, które jest prostym problemem geometrycznym, bez wiedzy o rodzaju gazu lub cieczy, który przepychasz przez rurę, nadal nie byłbyś w stanie określić ciśnienia wewnątrz, musiałbyś również znać objętość substancji, jak również jej zamierzone natężenia przepływu, z których wszystkie musisz wziąć pod uwagę, że tworzy siłę, a następnie podzielisz wewnętrzną powierzchnię na ciśnienie