Melhor resposta
Sabemos que \ pi = \ frac {C} {d} onde C e d são a circunferência e o diâmetro de qualquer círculo (respectivamente).
É fácil ver que \ pi não é um inteiro. Uma maneira de fazer isso é simplesmente fazer um círculo, usando uma xícara, por exemplo. Meça a circunferência com uma corda e depois calcule o comprimento da corda com uma régua. Meça também o diâmetro. Você logo deve acreditar que \ pi é maior que 3, mas menor que 4. Você também pode se convencer de que \ pi não depende do tamanho do círculo.
Você também pode pegar uma folha de metal ( ou papelão molhado funcionaria) e recorte duas formas: Uma é um quadrado com comprimento lateral 1. A outra é um círculo com raio 1. Você descobrirá (se tiver uma escala sensível) que o círculo pesa cerca de 3,14 vezes mais como o quadrado. A proporção dos pesos é (idealmente) \ pi.
Usando o método de exaustão de Arquimedes ( Método de Arquimedes “) você pode ( como Arquimedes) concluiu que \ pi é menor que 3 \ frac {1} {7}, mas maior que 3 \ frac {10} {71}.
Agora sabemos que \ pi não é um inteiro . Pode ser um decimal repetido (um número racional) ou um decimal não repetido. Na verdade, é um decimal não repetido. Chamamos esses números de irracionais. Não consigo encontrar uma prova realmente elementar de que \ pi é irracional, mas este é pelo menos muito curto e usa apenas cálculo: Uma prova simples de que $ \ pi $ é irracional .
Isso pode responder sua pergunta.
Mas talvez você queira dizer “existe alguma descrição algébrica natural de \ pi que usa um número finito de números inteiros”. A forma mais natural de formalizar isso é supor que \ pi pode ser a solução de um polinômio com coeficientes racionais. O número \ sqrt {2} por exemplo é irracional, mas tem uma descrição curta usando números inteiros. É uma solução para o equação
x ^ 2-2 = 0.
Portanto, embora \ sqrt {2} seja irracional, pode ser codificado sucintamente como (1,0, -2), o coeficientes de x ^ 2 + 0x-2.
Os números que podem ser nomeados dessa forma usando inteiros são chamados de “algébricos” ( Número algébrico – Wikipedia ).
Acontece que \ pi nem mesmo é algébrico; é um número transcendental ( Número transcendental – Wikipedia ) .
O argumento de que \ pi é transcendental é fácil se você aceitar o teorema de Lindemann-Weierstrass – Wikipedia . Este teorema implica que sempre que \ alpha é um número algébrico, o número e ^ \ alpha é transcendental. Se \ pi fosse algébrico, então \ pi i também seria ( Como provar que a soma e o produto de dois números algébricos são algébricos? ). Mas pela identidade de Euler, e ^ {\ pi i} = -1. Observe que -1 não é transcendental. Portanto, \ pi não é algébrico.
Resposta
No século 18, Johann Heinrich Lambert provou que o número π (pi) é irracional. Ou seja, não pode ser expresso como uma fração a / b , onde a é um número inteiro e b é um número inteiro diferente de zero. No século 19, Charles Hermite encontrou uma prova que não requer nenhum conhecimento pré-requisito além do cálculo básico. Três simplificações da prova de Hermite são devidas a Mary Cartwright, Ivan Niven e Bourbaki. Outra prova, que é uma simplificação da prova de Lambert, é devida a Miklós Laczkovich. Em 1882, Ferdinand von Lindemann provou que π não é apenas irracional, mas também transcendental.
Prova de Lambert
Em 1761, Lambert provou que π é irracional mostrando pela primeira vez que essa expansão de fração contínua se mantém:
Então Lambert provou que se x for diferente de zero e racional, então esta expressão deve ser irracional. Visto que tan (π / 4) = 1, segue-se queπ / 4 é irracional e, portanto, π é irracional.
Prova de Hermite “
Esta prova usa a caracterização de π como o menor número positivo cuja metade é azero da função cosseno e realmente prova que π2 é irracional. Como em muitas provas de irracionalidade, o argumento procede por reductio ad absurdum.Considere as sequências ( An ) n ≥ 0 e ( Un ) n ≥ 0 de funções de R em R assim definido:
Pode ser provado por indução que
e que
e, portanto,
Então,
que é equivalente a
Segue-se por indução disso, juntamente com o fato de que A 0 ( x ) = sin ( x ) e que A 1 ( x ) = – x cos ( x ) + sin ( x ), que Um ( x ) pode ser escrito como Pn ( x 2) sin ( x ) + x Qn ( x 2) cos ( x ), onde Pn e Qn são funções polinomiais com coeficientes inteiros e onde o grau de Pn é menor ou igual a ⌊ n / 2⌋. Em particular, An (π / 2) = Pn (π2 / 4). Hermite também forneceu uma expressão fechada para a função An , a saber
Ele não justificou esta afirmação, mas pode ser provada facilmente. Em primeiro lugar, esta afirmação é equivalente a
Procedendo por indução, tome n = 0.
e, para a etapa indutiva, considere qualquer n ∈ Z +. Se
então, usando a integração por partes e a regra de Leibniz, um obtém
Se π2 / 4 = p / q , com p e q em N , então, como os coeficientes de Pn são inteiros e seu grau é menor ou igual a ⌊ n / 2⌋, q ⌊ n / 2⌋ Pn (π2 / 4) é algum inteiro N . Em outras palavras,
Mas esse número é claramente maior do que 0; portanto, N ∈ N . Por outro lado,
e assim , se n for grande o suficiente, N . Desse modo, uma contradição é alcançada. Hermite não apresentou sua prova como um fim em si mesmo, mas como uma reflexão tardia em sua busca por uma prova da transcendência de π. Ele discutiu as relações de recorrência para motivar e obter uma representação integral conveniente. Uma vez que esta representação integral é obtida, existem várias maneiras de apresentar uma prova sucinta e independente a partir da integral (como nas apresentações de Cartwright, Bourbaki ou Niven), que Hermite poderia facilmente ver (como ele fez em sua prova da transcendência de e ). Além disso, a prova de Hermite está mais próxima da prova de Lambert do que parece. Na verdade, Um ( x ) é o “resíduo” (ou “resto”) da fração contínua de Lambert para tan ( x ).
Prova de Laczkovick “
A prova de Miklós Laczkovich é uma simplificação da prova original de Lambert. Ele considera as funções
Essas funções são claramente definidas para todos os x ∈ R .Além de
Reivindicação 1: A seguinte relação de recorrência é mantida:
Prova: Isso pode ser provado comparando os coeficientes das potências de x . Reivindicação 2: para cada x ∈ R ,
Prova: na verdade, a sequência x 2 n / n ! é limitado (uma vez que converge para 0) e se C é um limite superior e se k 1, então
Reivindicação 3: Se x ≠ 0 e se x 2 for racional , então
Prova: Caso contrário, haveria um número y ≠ 0 e inteiros a e b de modo que fk ( x ) = ay e fk + 1 ( x ) = por . Para ver o motivo, use y = fk + 1 ( x ), a = 0 e b = 1 if fk ( x ) = 0; caso contrário, escolha inteiros a e b de modo que fk + 1 ( x ) / fk ( x ) = b / a e definir y = fk ( x ) / a = fk + 1 ( x ) / b . Em cada caso, y não pode ser 0, porque caso contrário, resultaria da reivindicação 1 que cada fk + n ( x ) ( n ∈ N ) seria 0, o que contradiz a reivindicação 2. Agora, pegue um número natural c de modo que todos os três números bc / k , ck / x 2 e c / x 2 são inteiros e consideram a sequência
Então
Por outro lado, segue da reivindicação 1 que
que é uma combinação linear de gn + 1 e gn com coeficientes inteiros. Portanto, cada gn é um múltiplo inteiro de y . Além disso, segue da reivindicação 2 que cada gn é maior que 0 (e, portanto, que gn ≥ | y |) se n for grande o suficiente e a sequência de todos gn “s converge para 0. Mas uma sequência de números maior ou igual a | y | não pode convergir para 0. Como f 1/2 (π / 4) = cos (π / 2) = 0, segue da reivindicação 3 que π2 / 16 é irracional e, portanto, π é irracional. Por outro lado, uma vez que
outra consequência da reivindicação 3 é que, se x ∈ Q \ {0}, então tan x é irracional. A prova de Laczkovich é realmente sobre a função hipergeométrica. Na verdade, fk ( x ) = 0 F 1 (k; – x 2) e Gauss encontrou uma expansão contínua da fração da função hipergeométrica usando sua equação funcional. Isso permitiu a Laczkovich encontrar uma prova nova e mais simples do fato de que a função tangente tem a expansão de fração contínua que Lambert descobriu.O resultado de Laczkovich “também pode ser expresso em funções de Bessel de primeiro tipo J ν ( x ). Na verdade, Γ ( k ) Jk – 1 (2 x ) = xk – 1 fk ( x ). Portanto, o resultado de Laczkovich “é equivalente a: If x ≠ 0 e se x 2 for racional, então