Melhor resposta
Como o tubo é cilíndrico, podemos usar as coordenadas cilíndricas. Considere o eixo do tubo alinhado na direção z. A gravidade está agindo na direção y negativa. E não há fluxo na direção x. Suponha que apliquemos a pressão p1 na entrada ep2 na saída. (p1> p2).
O fluxo é considerado laminar, ou seja, o número de Reynolds é 000, está totalmente desenvolvido significa que não há variação na velocidade ao longo da direção z e é incompressível.
Para qualquer fluxo incompressível (número Mach ,3), a equação de conservação da massa dá,
\ nabla \ cdot \ mathbf V = 0
Teorema de Navier-Stokes para incompressível – newtoniano (viscosidade constante ) o fluxo é,
ρ * (\ dfrac {\ parcial V} {\ parcial t} + (\ mathbf V \ cdot \ nabla) * V) = – \ nabla p + ρ \ cdot \ vec g + μ * \ nabla ^ 2 V
Portanto, o balanço de massa na coordenada cilíndrica será:
\ dfrac {1} {r} \ cdot \ dfrac {\ parcial ( rV (r))} {\ parcial r} + \ dfrac {1} {r} \ cdot \ dfrac {\ parcial (V (θ))} {\ parcial θ} + \ dfrac {\ parcial (V (z) )} {\ partial z} = 0
que dá,
\ dfrac {1} {r} \ cdot \ dfrac {\ partial (rV (r))} {\ r parcial} = 0
já que não há velocidade na direção θ e nenhum fluxo na direção z.
Então,
rV (r) é um constante, agora em r = R, V (r) = 0 (por causa da condição de não escorregamento, um fato experimental), implica V (r) = 0 em todos os lugares, pois a constante será zero.
Agora,
a gravidade está na direção y:
\ hat \ jmath = sinθ \ hat e (r) + cosθ \ hat e (θ)
O que dá, -g \ hat \ jmath = -g (sinθ \ hat e (r) + cosθ \ hat e (θ))
Agora escrevendo a equação r- momentum:
0 = – \ dfrac {\ partial p} {\ partial r} + -ρgsinθ
escrevendo a equação θ momentum
0 = – \ dfrac {1} {r} \ dfrac {\ partial p} {\ partial θ} + -ρgcosθ
Combinando essas duas equações, obtemos,
p = – ρgy + f (z)
Agora escrevendo a equação de momento z final:
ρ * (\ dfrac {\ partial V (z)} {\ partial t } + V (r) \ dfrac {\ parcial V (z)} {\ parcial r} + \ dfrac {V (θ)} {r} \ dfrac {\ parcial V (z)} {\ parcial θ} + \ dfrac {\ partial V (z)} {\ partial z} = – \ dfrac {\ partial p} {\ partial z} + ρg (z) + μ (\ dfrac {1} {r} \ dfrac {\ partial ( r \ dfrac {\ partial V (z)} {\ partial r})} {\ partial r} + 0 + 0)
Os dois últimos termos são 0 porque o fluxo tem simetria de eixo e está totalmente desenvolvido.
Levando todas as suposições em consideração e a gravidade não está na direção z, esta equação fica reduzido a:
– \ dfrac {\ partial p} {\ partial z} + μ (\ dfrac {1} {r} \ dfrac {\ partial (r \ dfrac {\ partial V (z )} {\ partial r})} {\ partial r}) = 0
– \ dfrac {\ partial p} {\ partial z} = \ dfrac {\ delta p} {L}
onde L é o comprimento do tubo.
então
\ dfrac {\ delta p} {L} + μ (\ dfrac {1} {r} \ dfrac {\ partial (r \ dfrac {\ partial V (z)} {\ partial r})} {\ partial r}) = 0
A condição limite será V (z) em z = R e z = 0 serão 0 (sem condição de escorregamento),
Assim, o perfil de velocidade no tubo pode ser calculado como uma função de r,
V na direção z como uma função de r,
V (r) = \ dfrac {\ delta p} {μL} \ cdot R ^ 2/4 [1-r ^ 2 / R ^ 2]
qual é um perfil parabólico.
A taxa de fluxo volumétrico Q pode ser calculada da seguinte forma:
Q = \ int V \ cdot \ hat n \, dA
que dá,
Q = \ dfrac {π * δP * R ^ 4} {8 * μ * L}
Agora, no que diz respeito à sua pergunta, acho que se você considerar apenas regime laminar, podemos aplicar a fórmula acima para calcular a pressão dentro do tubo.
Espero que Isso ajuda!
Resposta
Sua pergunta é bem estranha. A pressão dentro de um tubo depende de fatores além das dimensões de um tubo. Essencialmente, a pressão é a força por unidade de área. Embora você possa obter uma equação para a área da superfície interna de um tubo que é um problema geométrico simples, sem o conhecimento do tipo de gás ou líquido que você estaria empurrando através do tubo, você ainda não seria capaz de determinar a pressão interna, você também precisaria saber o volume da substância, bem como suas taxas de fluxo pretendidas, todas as quais você precisará considerar que cria uma força e então você divide a área de superfície interna para a pressão