Cel mai bun răspuns
\ dfrac {1} {1 ^ 2} + \ dfrac {1} {2 ^ 2} + \ dfrac {1} {3 ^ 2} + \ dfrac {1} {4 ^ 2} + \ dfrac {1} {5 ^ 2} + … = \ dfrac {\ pi ^ 2} {6} \ tag {1}
Există o dovadă excelentă pentru acest lucru, iar această dovadă este de fapt modul în care Euler a dovedit prima dată această identitate. Desigur, trebuie să-mi recunosc profesorul că mi-a arătat această identitate. (Toate conturile Quora sunt listate în fila „Referințe” la sfârșitul acestui răspuns) În cele din urmă, singurul calcul necesar pentru a înțelege această dovadă este regula puterii, pe care o puteți obține în continuare fără să știți.
\ dfrac {\ mathrm d} {\ mathrm dx} [x ^ n] = nx ^ {n-1} \ tag * {}
Începem cu o mică istorie a matematicii. Identitatea reală a lui Euler nu e ^ {i \ pi} + 1 = 0. De fapt, un matematician pe nume Roger Cotes a scris despre acest lucru cu câteva decenii înainte de Euler, dar Euler era mai faimos, așa că i s-a atribuit descoperirea. Identitatea care s-a dovedit a fi pretenția lui Euler de faimă a fost de fapt
\ dfrac {1} {1 ^ 2} + \ dfrac {1} {2 ^ 2} + \ dfrac {1} {3 ^ 2} … = \ dfrac {\ pi ^ 2} {6} \ tag * {}
* Ca fapt amuzant, există o lege, numită Legea lui Stigler, care afirmă că nu există descoperiri științifice este numit după descoperitorul său original. Desigur pentru coerență, această lege a fost propusă pentru prima dată de Robert Merton. Exemple ale acestei legi includ Identitatea lui Euler, descoperită de Roger Cotes, Legea lui Hubble, derivată din George Lemaitre și Teorema lui Pitagora descoperită de matematicienii babilonieni cu mult înainte de Pitagora. Oricum, revenim la răspuns.
Această problemă a fost mult înaintea lui Euler, dar nu a fost rezolvată până la el. Matematicienii de la acea vreme, precum Jacob Bernoulli, Johan Bernoulli, Leibniz și John Wallis, lucraseră la problemă mult înainte de Euler, dar nu puteau găsi o valoare exactă a problemei în cauză. De fapt, această problemă a început să devină atât de mare încât și-a luat propriul nume: Problema de la Basel.
Pentru a demonstra că suma lui Euler converge în primul rând, trebuie să o rescriem din aceasta
\ dfrac {1} {1 ^ 2} + \ dfrac {1} {2 ^ 2} + \ dfrac {1} {3 ^ 2} + \ dfrac {1} {4 ^ 2} … \ tag {1}
la aceasta.
\ dfrac {1} {1} \ cdot \ dfrac {1} {1} + \ dfrac 1 2 \ cdot \ dfrac 1 2+ \ dfrac 1 3 \ cdot \ dfrac 1 3+ \ dfrac 1 4 \ cdot \ dfrac 1 4 … \ tag {2}
Amândouă acestea sunt în mod evident aceleași lucruri, dar doar exprimate diferit. Vă voi arăta de ce (2) este mai util decât (1) aici într-o secundă.
Luați (2) și apoi schimbați-l. Deoarece este foarte dificil de exprimat în cuvinte, va trebui doar să vă arăt:
\ dfrac {1} {1} \ cdot \ dfrac {1} {1} + \ dfrac 1 2 \ cdot \ dfrac 1 2+ \ dfrac 1 3 \ cdot \ dfrac 1 3+ \ dfrac 1 4 \ cdot \ dfrac 1 4 … \ tag {2}
\ implica
\ dfrac {1} {1} + \ dfrac 1 1 \ cdot \ dfrac 1 2+ \ dfrac 1 2 \ cdot \ dfrac 1 3+ \ dfrac 1 3 \ cdot \ dfrac 1 4 … \ tag {3}
Deci, am schimbat valoarea sumei infinite, nu vă faceți griji, nu încerc să alunec lucruri pe lângă dvs. Să analizăm (3).
Această nouă serie pare să fie mai mare decât (2). Primul termen atât în (2), cât și în (3) este evident egal unul cu celălalt. Al doilea termen din (3) este cu siguranță mai mare decât (2) și vedem că acest proces continuă la infinit. Aceasta înseamnă că, dacă această serie (3) converge, atunci și cealaltă (2) o face.
Deci, această parte poate să nu fie evidentă pentru majoritatea oamenilor, ceea ce este bine; nici la început nu mi-a fost evident.
\ dfrac {1} {1} + \ dfrac 1 1 \ cdot \ dfrac 1 2+ \ dfrac 1 2 \ cdot \ dfrac 1 3+ \ dfrac 1 3 \ cdot \ dfrac 1 4 … \ tag {3}
Vom întrerupe seria după primii 4 termeni și vom găsi suma parțială.
\ dfrac {1} {1} + \ dfrac 1 1 \ cdot \ dfrac 1 2+ \ dfrac 1 2 \ cdot \ dfrac 1 3+ \ dfrac 1 3 \ cdot \ dfrac 1 4 \ tag * {}
Pentru cei care nu știu, această serie poate fi rescrisă ca:
\ dfrac {1} {1} + \ left (\ dfrac 1 1- \ dfrac 1 2 \ right) + \ left (\ dfrac 1 2 – \ dfrac 1 3 \ right) + \ left (\ dfrac 1 3- \ dfrac 1 4 \ right) \ tag * {}
Edit:
Am primit o întrebare prin care întrebam cum putem ajunge la noua serie și acesta a fost răspunsul meu:
* Dacă știi cum să ajungeți la acel pas, apoi puteți sări peste următoarea secțiune citată.
Da, puteți ajunge la acel pas prin extinderea fracției parțiale. Seria în forma sa actuală este următoarea:
1+ \ displaystyle \ sum\_ {n = 1} ^ {+ \ infty} \ dfrac {1} {n (n + 1)} \ tag * { }
Puteți presupune că interiorul sumei poate fi reprezentat printr-o funcție a numerelor reale sau o funcție a lui x, extinsă în două fracții noi,
\ dfrac {1 } {x (x + 1)} = \ dfrac {A} {x} + \ dfrac {B} {x + 1} \ tag * {}
Înmulțind printr-un numitor comun,
1 = A (x + 1) + B (x) \ tag * {}
Deoarece x \ in \ mathbb R, vom lăsa x = 0 și vom găsi A = 1 .În mod similar, lăsând x = -1 ne dă B = -1, deci putem rescrie argumentul sumei ca
1+ \ displaystyle \ sum\_ {n = 1} ^ {+ \ infty} \ left (\ dfrac {1} {n} – \ dfrac {1} {n + 1} \ right) \ tag * {}
Adăugarea este asociativă, deci rescrieți această sumă parțială:
\ left (\ dfrac 1 1+ \ dfrac 1 1 \ right) + \ left (- \ dfrac 1 2+ \ dfrac 1 2 \ right) + \ left (- \ dfrac 1 3+ \ dfrac 1 3 \ right ) – \ dfrac 1 4 \ tag * {}
Care apoi devine banal.
2- \ dfrac 1 4 \ tag * {}
We Vom reveni acum la seria noastră infinită (3) și înlocuim primii 4 termeni cu 2- \ frac 1 4 și vom vedea ce se întâmplă de acolo.
2- \ dfrac 1 4+ \ dfrac 1 4 \ cdot \ dfrac 1 5+ \ dfrac 1 5 \ cdot \ dfrac 1 6+ \ dfrac 1 6 \ cdot \ dfrac 1 7 … \ tag * {}
Folosind trucul folosit anterior,
2- \ dfrac 1 4+ \ dfrac 1 4- \ dfrac 1 5+ \ dfrac 1 5- \ dfrac 1 6+ \ dfrac 1 6- \ dfrac 1 7 … \ tag * {}
Și acum valoarea pentru această sumă infinită devine evidentă.
\ dfrac {1} {1} + \ dfrac 1 1 \ cdot \ dfrac 1 2+ \ dfrac 1 2 \ cdot \ dfrac 1 3+ \ dfrac 1 3 \ cdot \ dfrac 1 4 … = 2 \ tag * {}
Excelent! Deci știm acum că suma în cauză converge la o valoare mai mică de 2. Pentru cei curioși, \ frac {\ pi ^ 2} {6} \ aproximativ 1.644.
Acum putem începe să dovedim Identitatea reală a lui Euler:
Să presupunem că \ sin x poate fi exprimat ca un polinom infinit.
\ sin x = a + bx + cx ^ 2 + dx ^ 3 + … \ tag * {}
Acum putem găsi toți termenii polinomului în mod trivial. Începeți prin a lăsa x = 0
\ sin 0 = a + b0 + c0 ^ 2 + d0 ^ 3 … \ tag * {}
0 = a \ tag * { }
Deci, noul nostru polinom infinit devine apoi
\ sin x = bx + cx ^ 2 + dx ^ 3 + … \ tag * {}
Diferențierea ambelor părți
\ cos x = b + 2cx + 3dx ^ 2 … \ tag * {}
Setarea x = 0,
1 = b \ tag * {}
Diferențierea și setarea x = 0 ne oferă un polinom infinit pentru \ sin x. Dacă ați continuat să faceți asta pentru totdeauna, veți ajunge la concluzia că
\ sin x = 0 + 1x- \ dfrac {1} {2 \ cdot 3} x ^ 3 + … \ tag * {}
Care se simplifică la
\ sin x = \ dfrac {x} {1!} – \ dfrac {x ^ 3} {3!} + \ dfrac {x ^ 5} {5!} – \ dfrac {x ^ 7} {7!} … \ tag * {}
Deci tocmai am recuperat seria Maclaurin pentru \ sin x. Îmi cer scuze, dar am simțit nevoia să includ dovezi pentru asta, întrucât deja dovedim alte lucruri.
Deși aceasta este cu siguranță o expansiune viabilă pentru \ sin x, Euler a adoptat o abordare diferită. Aruncați o privire la graficul \ sin x, \, x \ din [- \ pi, \ pi]. Știm că există zero la x = – \ pi, \, 0, \, \ pi, deci dacă ar fi să modelăm acest grafic, atunci putem scrie o funcție cubică cu zero la – \ pi, \, 0, \, \ pi.
f (x) = x (\ pi + x) (\ pi-x) \ tag * {}
Care arată astfel:
Desigur, acest lucru nu seamănă deloc cu f (x) = \ sin x, dar îl putem scala multiplicând funcționează cu o constantă. După o mulțime de lăutări, vedem că constanta care face ca graficul să se potrivească cel mai bine \ sin x este \ frac {1} {\ pi ^ 2}. Să vedem noul nostru grafic
f (x) = \ dfrac {1} {\ pi ^ 2} x (\ pi + x) (\ pi-x) \ tag * {}
Care este, deși nu este exact, mult mai bun. Să manipulăm funcția noastră aici și veți vedea de ce se întâmplă acest lucru mai târziu.
f (x) = \ dfrac {1} {\ pi ^ 2} x (\ pi + x) (\ pi -x) \ tag * {}
f (x) = \ dfrac {1} {\ pi} (\ pi + x) \ cdot \ dfrac {1} {\ pi} (\ pi- x) x \ tag * {}
f (x) = x \ left (1+ \ dfrac {x} {\ pi} \ right) \ left (1- \ dfrac {x} {\ pi} \ right) \ tag * {}
f (x) = x \ left (1- \ dfrac {x ^ 2} {\ pi ^ 2} \ right) \ tag * {}
Dar nu am aproximat întreaga funcție. Pentru a face acest lucru, va trebui să stabilim termeni noi care să adauge noi zerouri la x = 2 \ pi, \, – 2 \ pi. Nu voi mai arăta algebra și sunteți liber să o verificați dacă doriți, dar noua noastră funcție devine:
f (x) = x \ left (1- \ dfrac {x ^ 2} {\ pi ^ 2} \ right) \ left (1- \ dfrac {x ^ 2} {(2 \ pi) ^ 2} \ right) \ tag * {}
Și după aceasta model de adăugare în termeni noi pentru a primi noile noastre zerouri, noua noastră funcție modelează perfect cea a \ sin x.
f (x) = \ sin x = x \ left (1- \ dfrac {x ^ 2} {\ pi ^ 2} \ right) \ left (1- \ dfrac {x ^ 2} {(2 \ pi) ^ 2} \ right) \ left (1- \ dfrac {x ^ 2} {(3 \ pi) ^ 2} \ right) \ left (1- \ dfrac {x ^ 2} {(4 \ pi) ^ 2} \ right) … \ tag {4}
Și aici sunt graficele, unul lângă altul.
* Deși nu sunt exacte, acesta este graficul scris în 7 termeni . Îmi cer scuze că nu am putut ieși până la infinit, dar nu am avut toată noaptea. Acest lucru va fi suficient, totuși, deoarece scopul său a fost să arate asemănările dintre acest grafic și \ sin x.
Ajungem acolo, așa că pregătiți-vă! Dacă doriți, faceți clic departe de acest răspuns și vedeți dacă puteți merge tot restul de aici. Noroc dacă o faci!
Ne vom supune torturii pure, deci înmulțește-te (4). Voi trece peste algebră pentru că nu suntem aici pentru a înnebuni.
f (x) = x \ left (1- \ dfrac {x ^ 2} {\ pi ^ 2} \ right ) \ left (1- \ dfrac {x ^ 2} {(2 \ pi) ^ 2} \ right) \ left (1- \ dfrac {x ^ 2} {(3 \ pi) ^ 2} \ right) \ left (1- \ dfrac {x ^ 2} {(4 \ pi) ^ 2} \ right) … \ tag {4}
f (x) = \ left (x- \ dfrac {x ^ 3} {\ pi ^ 2} \ right) \ left (1- \ dfrac {x ^ 2} {(2 \ pi) ^ 2} \ right) … \ tag * {}
f (x) = \ left (x + \ left (- \ dfrac {1} {\ pi ^ 2} – \ dfrac {1} {(2 \ pi) ^ 2} \ right) x ^ 3 + \ dfrac {1} {\ pi ^ 2} \ cdot \ dfrac {1} {(2 \ pi) ^ 2} x ^ 5 \ right) \ left (1- \ dfrac {x ^ 2} {(3 \ pi) ^ 2} \ dreapta) …\ tag * {}
Ne vom concentra exclusiv pe coeficientul termenului x ^ 3 de aici, deci să-l boxăm.
f (x) = \ left (x + \ boxed {\ left (- \ dfrac {1} {\ pi ^ 2} – \ dfrac {1} {(2 \ pi) ^ 2} \ right) x ^ 3} + \ dfrac {1} {\ pi ^ 2} \ cdot \ dfrac {1} {(2 \ pi) ^ 2} x ^ 5 \ right) \ left (1- \ dfrac {x ^ 2} {(3 \ pi) ^ 2} … \ right) \ tag * {}
Bine, să multiplicăm acum următorul termen cu primul. Din nou, te scutesc de biții de algebră.
x + \ boxed {\ left (- \ dfrac {1} {\ pi ^ 2} – \ dfrac {1} {(2 \ pi) ^ 2} – \ dfrac {1} {(3 \ pi) ^ 2} \ right) x ^ 3} + (…) x ^ 5 + (…) x ^ 7 \ tag * {}
Deci, de aici, este destul de clar cum va arăta coeficientul de pe x ^ 3. Nu mai trebuie să facem algebră, deoarece putem urmări tiparul și presupunem că acest lucru se va întâmpla în continuare pentru fiecare termen. După aceasta, vom compara această sumă infinită cu seria noastră Maclaurin pentru \ sin x.
\ sin x = x + \ boxed {\ left (- \ dfrac {1} {\ pi ^ 2} – \ dfrac {1} {(2 \ pi) ^ 2} – \ dfrac {1} {(3 \ pi) ^ 2} – \ dfrac {1} {(4 \ pi) ^ 2} – \ enspace … \ enspace \ right) x ^ 3} + (…) x ^ 5 + (…) x ^ 7 \ tag * {}
\ sin x = \ dfrac {x} {1 !} – \ dfrac {x ^ 3} {3!} + \ dfrac {x ^ 5} {5!} – \ dfrac {x ^ 7} {7!} + \ dfrac {x ^ 9} {9!} – \ dfrac {x ^ {11}} {11!} + … \ tag * {}
Prin compararea coeficientului, vedem că
– \ dfrac {x ^ 3} {3!} = \ Left (- \ dfrac {1} {\ pi ^ 2} – \ dfrac {1} {(2 \ pi) ^ 2} – \ dfrac {1} {(3 \ pi) ^ 2} – \, … \ right) x ^ 3 \ tag * {}
Eliminați x ^ 3 de ambele părți.
– \ dfrac {1} {3 !} = – \ dfrac {1} {\ pi ^ 2} – \ dfrac {1} {(2 \ pi) ^ 2} – \ dfrac {1} {(3 \ pi) ^ 2} – \, .. . \ tag * {}
Înmulțiți ambele părți cu -1:
\ dfrac {1} {3!} = \ dfrac {1} {\ pi ^ 2} + \ dfrac {1} {(2 \ pi) ^ 2} + \ dfrac {1} {(3 \ pi) ^ 2} + \ dfrac {1} {(4 \ pi) ^ 2} + \ dfrac {1} { (5 \ pi) ^ 2} + … \ tag * {}
Înmulțiți cu \ pi ^ 2
\ dfrac {\ pi ^ 2} {3!} = \ dfrac {1} {1 ^ 2} + \ dfrac {1} {2 ^ 2} + \ dfrac {1} {3 ^ 2} + \ dfrac {1} {4 ^ 2} + \ dfrac {1} { 5 ^ 2} + \ dfrac {1} {6 ^ 2} … \ tag * {}
Evaluează 3! și iată:
\ dfrac {\ pi ^ 2} {6} = \ dfrac {1} {1 ^ 2} + \ dfrac {1} {2 ^ 2} + \ dfrac {1 } {3 ^ 2} + \ dfrac {1} {4 ^ 2} + \ dfrac {1} {5 ^ 2} + \ dfrac {1} {6 ^ 2} … \ tag * {}
Identitatea reală a lui Euler.
Referințe:
Profesorul meu: Tan Nguyen
Răspunde
Oh, omule, l-ai stricat! Nu așa puneți întrebarea, veniți pe !
Îl puneți astfel: Ce este
\ displaystyle \ lim\_ {n \ to \ infty} e ^ {- n} \ sum\_ {k = 0} ^ n \ frac {n ^ k} {k!} \, \, \ text {?}
Și apoi te așezi și te bucuri de spectacolul tuturor spunând că este evident 1 și ei explică de ce, și este atât de clar că nu Chiar nu aveți nevoie de dovezi, dar le cereți să le demonstreze oricum și încearcă și nu reușesc (sau mai rău: reușiți) și îi întrebați dacă încă mai cred că este 1 și spun că da, dar o parte din încredere a dispărut și le joci atât timp cât îți face plăcere până îi informezi că au o reducere de 100\%.
Deci, de ce toată lumea crede că această limită este egală cu 1 și de ce nu este adevărat și de ce este de fapt \ frac {1} {2}?
Ei bine, pentru n foarte mare, suma \ sum\_ {k = 0} ^ n \ frac {n ^ k} {k!} este de aproximativ e ^ n. Dreapta? Este doar seria Taylor a funcției exponențiale. Deci, înmulțim asta cu e ^ {- n} și obținem doar aproximativ 1 și, pe măsură ce lăsăm n să crească, acest lucru devine din ce în ce mai precis, deci limita trebuie să fie pur și simplu 1. Îl spun „> are să.
Nu?
Greșit.
Deci, ce se întâmplă aici? Ei bine, s-ar putea să vă simțiți puțin incomod în legătură cu afacerea Taylor. Adică, sigur, suma
\ displaystyle \ sum\_ {k = 0} ^ n \ frac {x ^ k} {k!}
Este o sumă parțială a lui Taylor serie de e ^ x, deci limita sa pentru x fix ca n \ to \ infty este într-adevăr e ^ x. Dar aici facem ceva puțin suspect: îi cerem lui n să efectueze o funcție dublă, atât ca interval de însumare, cât și ca variabilă a seriei de putere.
Un lucru, în orice caz, ar trebui să fie clar: declarația
\ displaystyle e ^ n =? = \ lim\_ {n \ to \ infty} \ sum\_ {k = 0} ^ {n} \ frac {n ^ k} {k!}
nu are deloc sens. Variabila n este liberă în partea stângă și legată în dreapta.
Ok. Deci, această interpretare naivă este pe fereastră. Cum evaluăm această limită?
Există o modalitate frumoasă și magistrală de a rezolva acest lucru, care este aproape o mână de mână. Merge astfel: aceasta este tocmai probabilitatea limitativă a unei variabile Poisson aleatorii cu parametrul \ lambda = n să fie mai mică decât așteptarea ei. O astfel de variabilă este distribuită la fel ca suma a n variabile Poisson independente cu parametrul \ lambda = 1 și o astfel de sumă (normalizată prin varianța sa, \ sqrt {n}, care nu contează aici) converge în distribuție într-o normală distribuție. Care este probabilitatea ca o variabilă normală aleatorie să fie mai mică decât media sa? De ce este \ frac {1} {2}, desigur. Terminat. QED.
Stai, ce?
Da, într-adevăr. Dacă știți despre teorema limitei centrale, aceasta este exact ceea ce spune dacă luați variabile aleatoare X\_1, X\_2, \ ldots fiecare dintre ele fiind Poisson (1). Exercițiu bun, de rutină, în aplicarea CLT variabilelor Poisson aleatorii.
Dar dacă nu știi despre CLT sau pur și simplu nu ți-a trecut prin cap să interpretezi această limită ca pe o probabilitate?
Atunci acesta este, sincer, destul de problemă grea. CLT este o teoremă puternică care ascunde destul de puține teorii, oferindu-l practic gratuit. Fără el, sunteți pe cont propriu aici și nu știu o modalitate foarte ușoară de a demonstra acest lucru. Sunt necesare unele manipulări și transformări inteligente inteligente.