Cel mai bun răspuns
Știm că \ pi = \ frac {C} {d} unde C și d sunt circumferința și diametrul oricărui cerc (respectiv).
Este ușor de văzut că \ pi nu este un număr întreg. O modalitate de a face acest lucru este pur și simplu să faci un cerc, de exemplu, folosind o ceașcă. Măsurați circumferința cu un șir, apoi calculați lungimea șirului cu o riglă. Măsurați și diametrul. În curând ar trebui să credeți că \ pi este mai mult de 3, dar mai puțin de 4. S-ar putea, de asemenea, să vă convingeți că \ pi nu depinde de dimensiunea cercului.
Ați putea lua și o foaie de metal ( sau cartonul umed ar funcționa) și decupează două forme: Una este un pătrat cu lungimea laterală 1. Cealaltă este un cerc cu raza 1. Veți găsi (dacă aveți o scală sensibilă) că cercul cântărește de aproximativ 3,14 ori mai mult ca pătrat. Raportul dintre greutăți este (în mod ideal) \ pi.
Prin utilizarea metodei de epuizare a lui Arhimede ( Metoda lui Arhimede ) puteți ( cum a făcut Arhimede) a concluzionat că \ pi este mai mic de 3 \ frac {1} {7}, dar mai mult de 3 \ frac {10} {71}.
Acum știm că \ pi nu este un număr întreg Poate fi o zecimală care se repetă (un număr rațional) sau o zecimală care nu se repetă. De fapt este o zecimală care nu se repetă. Numim aceste numere iraționale. Nu pot găsi o dovadă cu adevărat elementară că \ pi este irațional, dar acesta este cel puțin foarte scurt și folosește doar calculul: O simplă dovadă că $ \ pi $ este irațional .
Acest lucru ar putea răspunde întrebarea ta.
Dar poate vrei să spui „există vreo descriere algebrică naturală a \ pi care folosește numeroși numere întregi finite” Cel mai natural mod de a formaliza acest lucru este să presupunem că \ pi ar putea fi soluția unui polinom cu coeficienți raționali. Numărul \ sqrt {2} de exemplu este irațional, dar are o scurtă descriere folosind numere întregi. Este o soluție la ecuație
x ^ 2-2 = 0.
Deci, chiar dacă \ sqrt {2} este irațional, ar putea fi codificat succint ca (1,0, -2), coeficienții lui x ^ 2 + 0x-2.
Numerele care pot fi denumite în acest fel folosind numere întregi se numesc „algebric” ( Număr algebric – Wikipedia ).
Se pare că \ pi nu este nici măcar algebric; este un număr transcendental ( Număr transcendental – Wikipedia ) .
Argumentul potrivit căruia \ pi este transcendental este ușor dacă accepți teorema Lindemann – Weierstrass – Wikipedia . Această teoremă implică faptul că ori de câte ori \ alfa este un număr algebric, numărul e ^ \ alfa este transcendental. Dacă \ pi ar fi algebric, atunci și pi ar fi la fel de bine ( Cum se demonstrează că suma și produsul a două numere algebrice sunt algebrice? ). Dar după identitatea lui Euler, e ^ {\ pi i} = -1. Rețineți că -1 nu este transcendental. Prin urmare, \ pi nu este algebric.
Răspuns
În secolul al XVIII-lea, Johann Heinrich Lambert a demonstrat că numărul π (pi) este irațional. Adică, nu poate fi exprimat ca o fracțiune a / b , unde a este un întreg și b este un întreg diferit de zero. În secolul al XIX-lea, Charles Hermite a găsit o dovadă care nu necesită cunoștințe prealabile decât calculul de bază. Trei simplificări ale dovezii lui Hermite se datorează Mary Cartwright, Ivan Niven și Bourbaki. O altă dovadă, care este o simplificare a dovezii lui Lambert, se datorează lui Miklós Laczkovich. În 1882, Ferdinand von Lindemann a demonstrat că π nu este doar irațional, ci și transcendental.
Dovada lui Lambert
În 1761, Lambert a dovedit că π este irațional arătând mai întâi că această expansiune continuă a fractiunii este valabilă:
Apoi Lambert a demonstrat că, dacă x este diferit de zero și rațional, atunci această expresie trebuie să fie irațională. Deoarece tan (π / 4) = 1, rezultă că π / 4 este irațional și, prin urmare, că π este irațional.
Dovada Hermite
Această dovadă utilizează caracterizarea lui π ca cel mai mic număr pozitiv a cărui jumătate este azero a funcției cosinusului și demonstrează de fapt că π2 este irațional. La fel ca în multe dovezi ale iraționalității, argumentul decurge prin reductio ad absurdum.Luați în considerare secvențele ( An ) n ≥ 0 și ( Un ) n ≥ 0ofuncții de la R R astfel definit:
Se poate dovedi prin inducție că
și că
și prin urmare că
Deci
care este echivalent cu
Urmează prin inducție din aceasta, împreună cu faptul că A 0 ( x ) = sin ( x ) și că A 1 ( x ) = – x cos ( x ) + sin ( x ), că Un ( x ) poate fi scris ca Pn ( x 2) sin ( x ) + x Qn ( x 2) cos ( x ), unde Pn și Qn sunt funcții polinomiale cu coeficienți întregi și unde gradul de Pn este mai mic sau egal cu ⌊ n / 2⌋. În special, An (π / 2) = Pn (π2 / 4). Hermite a dat, de asemenea, o expresie închisă pentru funcția An , și anume
El nu a justificat această afirmație, dar poate fi dovedită cu ușurință. În primul rând, această afirmație este echivalentă cu
Procedând prin inducție, luați n = 0.
și, pentru pasul inductiv, luați în considerare orice n ∈ Z +. Dacă
atunci, utilizând integrarea pe părți și regula lui Leibniz, una devine
Dacă π2 / 4 = p / q , cu p și q în N , apoi, din moment ce coeficienții lui Pn sunt numere întregi și gradul său este mai mic sau egal cu ⌊ n / 2⌋, q ⌊ n / 2⌋ Pn (π2 / 4) este un număr întreg N . Cu alte cuvinte,
Dar acest număr este clar mai mare decât 0; prin urmare, N ∈ N . Pe de altă parte,
și așa , dacă n este suficient de mare, N . Prin urmare, se ajunge la o contradicție. Hermite nu și-a prezentat dovada ca un scop în sine, ci ca o gândire ulterioară în căutarea unei dovezi a transcendenței lui π. El a discutat despre relațiile de recurență pentru a motiva și a obține o reprezentare integrală convenabilă. Odată obținută această reprezentare integrală, există diverse moduri de a prezenta o dovadă succintă și autonomă începând de la integrală (ca în prezentările lui Cartwright, Bourbaki sau Niven), pe care Hermite le-ar putea vedea cu ușurință (așa cum a făcut el în dovada sa despre transcendența e ). Mai mult, dovada lui Hermite este mai aproape de dovada lui Lambert decât pare. De fapt, Un ( x ) este „reziduul” (sau „restul”) din fracția continuată a lui Lambert pentru tan ( x ).
Dovada lui Laczkovick
Dovada lui Miklós Laczkovich este o simplificare a dovezii originale a lui Lambert. El consideră funcțiile
Aceste funcții sunt clar definite pentru toate x ∈ R .Pe lângă
Revendicarea 1: Următoarele relații de recurență:
Dovadă: Acest lucru poate fi dovedit comparând coeficienții puterilor x . Revendicarea 2: Pentru fiecare x ∈ R ,
Dovadă: De fapt, secvența x 2 n / n ! este delimitat (deoarece converge la 0) și dacă C este o limită superioară și dacă k 1, apoi
Revendicarea 3: Dacă x ≠ 0 și dacă x 2 este rațional , apoi
Dovadă: În caz contrar, ar exista un număr y ≠ 0 și numere întregi a și b astfel încât fk ( x ) = ay și fk + 1 ( x ) = de . Pentru a vedea de ce, luați y = fk + 1 ( x ), a = 0 și b = 1 if fk ( x ) = 0; în caz contrar, alegeți numere întregi a și b astfel încât fk + 1 ( x ) / fk ( x ) = b / a și definește y = fk ( x ) / a = fk + 1 ( x ) / b . În fiecare caz, y nu poate fi 0, pentru că altfel ar urma din revendicarea 1 că fiecare fk + n ( x ) ( n ∈ N ) ar fi 0, ceea ce ar contrazice revendicarea 2. Acum, luați un număr natural c astfel încât toate cele trei numere bc / k , ck / x 2 și c / x 2 sunt numere întregi și consideră secvența
Apoi
Pe de altă parte, din revendicarea 1 rezultă că
care este o combinație liniară de gn + 1 și gn cu coeficienți întregi. Prin urmare, fiecare gn este un multiplu întreg al y . În plus, din revendicarea 2 rezultă că fiecare gn este mai mare decât 0 (și, prin urmare, gn ≥ | y |) dacă n este suficient de mare și că secvența tuturor gn „s converge la 0. Dar o secvență de numere mai mare sau egală cu | y | nu poate converge la 0. Deoarece f 1/2 (π / 4) = cos (π / 2) = 0, rezultă din revendicarea 3 că π2 / 16 este irațional și, prin urmare, π este irațional. Pe de altă parte, deoarece
o altă consecință a revendicării 3 este că, dacă x ∈ Q \ {0}, atunci tan x este irațional. Dovada lui Laczkovich se referă într-adevăr la funcția hipergeometrică. De fapt, fk ( x ) = 0 F 1 (k; – x 2) și Gauss a găsit o expansiune continuă a fracției a funcției hipergeometrice folosind ecuația sa funcțională. Acest lucru ia permis lui Laczkovich să găsească o dovadă nouă și mai simplă a faptului că funcția tangentă are expansiunea continuă a fracției pe care Lambert o descoperise.Rezultatul lui Laczkovich poate fi, de asemenea, exprimat în funcții Bessel de primul tip J ν ( x De fapt, Γ ( k ) Jk – 1 (2 x ) = xk – 1 fk ( x ). Deci rezultatul lui Laczkovich este echivalent cu: Dacă x ≠ 0 și dacă x 2 este rațional, atunci