Beste Antwort
Das ist keine Rotation für 45 ^ o. Das ist die Transformation, um einen Vektor in \ mathbb {R} zu drehen ^ 2 um einen Winkel \ Theta. Sie können die Formel folgendermaßen ableiten:
Lassen Sie den Vektor \ mathbf {V} um einen Winkel \ theta unter drehen eine Transformation, um den neuen Vektor \ mathbf {V „} zu erhalten.
Sei r = | \ mathbf {V} |. Dann haben wir die Beziehungen:
v\_x = r \ cos \ alpha
v\_x „= r \ cos (\ alpha + \ theta)
v\_y = r \ sin \ alpha
v\_y“ = r \ sin (\ alpha + \ theta)
Woher haben Sie die Beziehungen:
v\_x „= v\_x \ cos \ theta – v\_y \ sin \ theta p>
v\_y „= v\_x \ cos \ theta + v\_y \ sin \ theta p>
Dies wird in Matrixform dargestellt als
\ begin {pmatrix} v\_x“ \\ v\_y „\ end {pmatrix} = \ begin {pmatrix} \ cos \ theta && – \ sin \ theta \\ \ sin \ theta && \ cos \ theta \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix} v\_x \\ v\_y \ end {pmatrix}
Antwort
Es gibt verschiedene Möglichkeiten, um dieses Problem zu lösen.
Die erste besteht darin, ganz einfach die Rotation von Euler aufzurufen Satz , der besagt, dass eine endliche Anzahl von Umdrehungen um einen einzelnen festen Punkt (aber um beliebige Achsen in nd Abmessungen) können als einzelne Drehung des Winkels \ Theta um eine Achse \ hat {n} ausgedrückt werden.
Wenn wir akzeptieren, dass jede Drehung durch eine Matrix dargestellt wird und dass die Methode zum Drehen eines Vektors ist Matrixmultiplikation, daraus folgt unmittelbar, dass das Produkt der Rotationsmatrizen A\_1 A\_2 … A\_n auch eine Rotationsmatrix sein muss – sonst haben wir den Rotationssatz von Euler verletzt.
Die Frage ist natürlich wie Sie tatsächlich diesen Satz beweisen .
Eulers ursprüngliche Arbeit ist… grob. Es handelt sich um viele, viele Dreiecke, die auf der Oberfläche von Kugeln gezeichnet sind (dh nichteuklidische Dreiecke).
Wenn Sie Lust haben, zu folgen Der Beweis bis zum Ende, die Wikipedia-Seite, die zuvor verlinkt wurde, scheint einen halbwegs anständigen Job zu machen.
Eine alternative Methode (oder äquivalent eine sekundäre Methode, um Eulers Theorem zu beweisen, denke ich) ist direkt Verwenden Sie die Eigenschaften von Rotationsmatrizen mit einem kleinen Ausflug in die Gruppentheorie.
Eine Rotation ist mathematisch gesehen jede Operation, bei der die Abstände zwischen allen Punkten im Raum konstant bleiben und die Punkte hinterlässt. oder eine Menge fester Punkte (vorausgesetzt, wir befinden uns in einem einfachen euklidischen Raum), zusätzlich zur Beibehaltung der Orientierungsstruktur des Objekts.
In der gruppentheoretischen Sprache nennen wir diese Operationen (im euklidischen Raum) ) die „Spezielle orthogonale Gruppe in n Dimensionen“ oder kurz SO (n).
Die Matrizen A, die Mitglieder von SO (n) sind, werden durch die folgenden zwei Eigenschaften definiert:
- A ^ TA = 1\_n (das orthogonale Bit)
- \ text {det} (A) = 1 (das spezielle Bit)
Dh Rotationsmatrizen sind orthogonale Matrizen mit einer Determinante. Hier ist 1\_n die Identitätsmatrix in n Dimensionen.
Die Bedingung „Orthogonalität“ ist die Bedingung, die sicherstellt, dass Abstände erhalten bleiben, da wir im euklidischen Raum die Länge d eines Vektors \ mathbf {v} haben:
\ displaystyle d ^ 2 = \ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {v} \ tag * {}
Wenn wir diesen Vektor drehen, so dass \ mathbf {v} ^ \ prime = A \ mathbf {v}, wobei A ein orthogonaler Vektor ist, also durch die Eigenschaften der Matrixmultiplikation:
\ displaystyle \ mathbf {v} ^ \ prime \ cdot \ mathbf {v} ^ \ prime = \ mathbf {v} ^ TA ^ TA \ mathbf {v} = \ mathbf {v} ^ T \ mathbf {v} = d ^ 2 \ tag * {}
Daher ist die Der Abstand d wurde von der Drehung nicht beeinflusst.
Alle orthogonalen Matrizen haben eine Determinante \ pm 1, aber diejenigen mit einer negativen Determinante enthalten auch eine Spiegel-Flip-Reflexion um eine Achse. Da wir reine Rotationen und keine Reflexionen wollen, um die Ausrichtung von Objekten in unserem Raum zu erhalten, beschränken wir uns daher auf solche mit positiven Determinanten – daher kommt das „spezielle“ Bit.
Die Tatsache, dass ich erwähnt habe, dass diese Strukturen eine Gruppe bilden (wobei die zugehörige Operation die Matrixmultiplikation ist), reicht tatsächlich aus, um zu schließen, dass das Produkt mehrerer Rotationsmatrizen tatsächlich auch eine Rotation ist, da Gruppen als c unter der Gruppenoperation verloren.
Dies bedeutet, dass zwei beliebige Elemente g\_1 und g\_2 in einer Gruppe G mit der Gruppenoperation g\_1 \ bullet g\_2 muss ein drittes Element zurückgeben, g\_3, das ebenfalls Mitglied der Gruppe G ist. Wenn also A und B Rotationsmatrizen sind, folgt aus der Definition einer Gruppe dass A \ bullet B = AB auch eine Rotationsmatrix ist.
Natürlich… das ist ein betrügerischer Ausweg. Um festzustellen, dass SO (n) eine Gruppe war, muss ich beweisen, dass dies wahr ist! Es kann auch explizit aus den folgenden allgemeinen Eigenschaften der Transponierten und Determinante gezeigt werden:
- (AB) ^ T = B ^ TA ^ T
- \ text {det} (AB) = \ text {det} (A) \ text {det} (B)
Wir konstruieren daher eine Matrix C = AB, in der A und Bare Mitglieder von SO (n) .
Wir betrachten dann:
- C ^ TC = (B ^ TA ^ T) (AB) = B ^ T (A ^ TA) B = B ^ TB = {1\_n}
- Da A ^ TA = 1\_n und B ^ TB = 1\_n und die Assoziativität der Matrixmultiplikation.
- \ text {det} (C) = \ text {det } (AB) = \ text {det} (A) \ text {det} (B) = 1 \ times 1 = 1
Wir sehen daher, dass C eine orthogonale Matrix mit ist Determinante Eins – dh es ist ein Mitglied von SO (n) und somit eine Rotationsmatrix.
Wir haben daher bewiesen, dass SO (n) (und tatsächlich O (n)) eine Gruppe bildet, die ist Unter Matrixmultiplikation geschlossen, und daher ist die Verkettung mehrerer Rotationen per Definition an sich eine Rotation.
Wir haben daher den Euler-Rotationssatz bewiesen.