Bästa svaret
Eftersom röret är cyllindriskt så kan vi gå för cyllindriska koordinater. Tänk på rörets axel som ska riktas in i z-riktningen. Gravitation verkar i negativ y-riktning. Och det finns inget flöde i x-riktning. Antag att vi applicerar tryck p1 vid inträde och p2 vid utgång. (p1> p2).
Flödet betraktas som laminärt, dvs Reynolds-talet är 000, är fullt utvecklat betyder att det inte finns någon variation i hastighet längs z-riktningen och inte kan komprimeras.
För eventuellt okomprimerbart flöde (Mach-nummer ,3), bevarande av massekvationen ger,
\ nabla \ cdot \ mathbf V = 0
Navier-Stokes-sats för inkomprimerbar – newtonsk (konstant viskositet ) flöde är,
ρ * (\ dfrac {\ partial V} {\ partial t} + (\ mathbf V \ cdot \ nabla) * V) = – \ nabla p + ρ \ cdot \ vec g + μ * \ nabla ^ 2 V
Så massbalansen i cyllindrisk koordinat kommer att vara:
\ dfrac {1} {r} \ cdot \ dfrac {\ partial ( rV (r))} {\ partial r} + \ dfrac {1} {r} \ cdot \ dfrac {\ partial (V (θ))} {\ partial θ} + \ dfrac {\ partial (V (z) )} {\ partial z} = 0
vilket ger,
\ dfrac {1} {r} \ cdot \ dfrac {\ partial (rV (r))} {\ partiell r} = 0
eftersom det inte finns någon hastighet i θ riktning och inget flöde i z-riktning.
Så,
rV (r) är en konstant, nu vid r = R, V (r) = 0 (på grund av halksäkerhet, ett experimentellt faktum), antyder V (r) = 0 överallt, eftersom konstanten är noll.
Nu är
tyngdkraften i y-riktning:
\ hat \ jmath = sinθ \ hat e (r) + cosθ \ hat e (θ)
Vilket ger, -g \ hat \ jmath = -g (sinθ \ hat e (r) + cosθ \ hat e (θ))
Skriver nu r- momentum ekvation:
0 = – \ dfrac {\ partial p} {\ partial r} + -ρgsinθ
skrivning θ momentum ekvation
0 = – \ dfrac {1} {r} \ dfrac {\ partial p} {\ partial θ} + -ρgcosθ
Genom att kombinera dessa två ekvationer får vi,
p = – ρgy + f (z)
Skriver nu slutlig z momentum ekvation:
ρ * (\ dfrac {\ partial V (z)} {\ partial t } + V (r) \ dfrac {\ partial V (z)} {\ partial r} + \ dfrac {V (θ)} {r} \ dfrac {\ partial V (z)} {\ partial θ} + \ dfrac {\ partial V (z)} {\ partial z} = – \ dfrac {\ partial p} {\ partial z} + ρg (z) + μ (\ dfrac {1} {r} \ dfrac {\ partial ( r \ dfrac {\ partial V (z)} {\ partial r})} {\ partial r} + 0 + 0)
De sista två termerna är 0 eftersom flödet är axelsymmetriskt och är fullt utvecklat.
Att ta alla antaganden i beaktande och tyngdkraften är inte i z riktning, denna ekvation blir reducerad till:
– \ dfrac {\ partial p} {\ partial z} + μ (\ dfrac {1} {r} \ dfrac {\ partial (r \ dfrac {\ partial V (z )} {\ partial r})} {\ partial r}) = 0
– \ dfrac {\ partial p} {\ partial z} = \ dfrac {\ delta p} {L}
där L är rörets längd.
så
\ dfrac {\ delta p} {L} + μ (\ dfrac {1} {r} \ dfrac {\ partial (r \ dfrac {\ partial V (z)} {\ partial r})} {\ partial r}) = 0
Gränsvillkoret kommer att vara V (z) vid z = R och z = 0 kommer att vara 0 (inget glidförhållande),
Så hastighetsprofilen i röret kan beräknas som en funktion av r,
V i z-riktning som en funktion av r,
V (r) = \ dfrac {\ delta p} {μL} \ cdot R ^ 2/4 [1-r ^ 2 / R ^ 2]
vilken är en parabolisk profil.
Volymflöde Q kan beräknas enligt följande:
Q = \ int V \ cdot \ hat n \, dA
vilken ger,
Q = \ dfrac {π * δP * R ^ 4} {8 * μ * L}
När det gäller din fråga tror jag att om du funderar på endast laminärt system kan vi tillämpa formeln ovan för att beräkna trycket inuti röret.
Hoppas th är hjälper!
Svar
Din fråga är ganska konstig. Trycket i ett rör är beroende av faktorer som ligger utanför rörets dimensioner. I huvudsak är trycket kraft per ytenhet. Medan du kan få en ekvation för den inre ytan av ett rör som är ett enkelt geometriskt problem, utan kunskap om vilken typ av gas eller vätska du skulle trycka genom röret skulle du fortfarande inte kunna bestämma trycket inuti, du skulle också behöva känna till ämnets volym såväl som dess avsedda flödeshastigheter som du alla måste tänka på som skapar en kraft och sedan delar du den inre ytan för trycket