Beste Antwort
Da das Rohr zylindrisch ist, können wir zylindrische Koordinaten verwenden. Betrachten Sie die Rohrachse, die in z-Richtung ausgerichtet werden soll. Die Schwerkraft wirkt entlang der negativen y-Richtung. Und es gibt keinen Fluss in x-Richtung. Angenommen, wir üben am Eingang den Druck p1 und am Ausgang p2 aus. (p1> p2).
Die Strömung wird als laminar betrachtet, dh die Reynolds-Zahl ist 000, ist voll entwickelt, bedeutet, dass es keine Geschwindigkeitsschwankungen entlang der z-Richtung gibt, und ist inkompressibel.
Für Für jeden inkompressiblen Fluss (Machzahl ,3) ergibt die Erhaltung der Massengleichung:
\ nabla \ cdot \ mathbf V = 0
Navier-Stokes-Theorem für inkompressibel – Newton (konstante Viskosität) ) Fluss ist,
ρ * (\ dfrac {\ partielles V} {\ partielles t} + (\ mathbf V \ cdot \ nabla) * V) = – \ nabla p + ρ \ cdot \ vec g + μ * \ nabla ^ 2 V
Der Massenausgleich in der Zylinderkoordinate lautet also:
\ dfrac {1} {r} \ cdot \ dfrac {\ partiell ( rV (r))} {\ partiell r} + \ dfrac {1} {r} \ cdot \ dfrac {\ partiell (V (θ))} {\ partiell θ} + \ dfrac {\ partiell (V (z)) )} {\ partiell z} = 0
was ergibt,
\ dfrac {1} {r} \ cdot \ dfrac {\ partiell (rV (r))} {\ partielles r} = 0
, da es keine Geschwindigkeit in θ-Richtung und keinen Fluss in z-Richtung gibt.
Also ist
rV (r) a Konstante, jetzt bei r = R, V (r) = 0 (aufgrund der rutschfesten Bedingung, eine experimentelle Tatsache), impliziert V. (r) = 0 überall, da die Konstante Null ist.
Nun ist
die Schwerkraft in y-Richtung:
\ hat \ jmath = sinθ \ hat e (r) + cos & thgr; \ hat e (& thgr;)
Was ergibt, -g \ hat \ jmath = -g (sin & thgr; \ hat e (r) + cos & thgr; \ hat e (& thgr;))
Schreiben Sie nun die r-Impulsgleichung:
0 = – \ dfrac {\ partielle p} {\ partielle r} + -ρgsinθ
Schreiben der θ-Impulsgleichung
0 = – \ dfrac {1} {r} \ dfrac {\ partiell p} {\ partiell θ} + -ρgcosθ
Wenn wir diese beiden Gleichungen kombinieren, erhalten wir
p = – ρgy + f (z)
Schreiben Sie nun die endgültige z-Impulsgleichung:
ρ * (\ dfrac {\ partielles V (z)} {\ partielles t } + V (r) \ dfrac {\ partielles V (z)} {\ partielles r} + \ dfrac {V (θ)} {r} \ dfrac {\ partielles V (z)} {\ partielles θ} + \ dfrac {\ partielles V (z)} {\ partielles z} = – \ dfrac {\ partielles p} {\ partielles z} + ρg (z) + μ (\ dfrac {1} {r} \ dfrac {\ partielles ( r \ dfrac {\ partielles V (z)} {\ partielles r})} {\ partielles r} + 0 + 0)
Die letzten beiden Terme sind 0, da der Fluss achsensymmetrisch und vollständig entwickelt ist.
Unter Berücksichtigung aller Annahmen und der Schwerkraft ist diese Gleichung nicht in z-Richtung wird reduziert auf:
– \ dfrac {\ partielles p} {\ partielles z} + μ (\ dfrac {1} {r} \ dfrac {\ partielles (r \ dfrac {\ partielles V (z )} {\ partielles r})} {\ partielles r}) = 0
– \ dfrac {\ partielles p} {\ partielles z} = \ dfrac {\ delta p} {L}
wobei L die Länge des Rohrs ist.
also
\ dfrac {\ delta p} {L} + μ (\ dfrac {1} {r} \ dfrac {\ partiell (r \ dfrac {\ partiell V (z)} {\ partiell r})} {\ partiell r}) = 0
Die Randbedingung ist V (z) bei z = R und z = 0 sind 0 (keine Schlupfbedingung),
Das Geschwindigkeitsprofil im Rohr kann also als Funktion von r,
V in z-Richtung als Funktion von berechnet werden r,
V (r) = \ dfrac {\ delta p} {μL} \ cdot R ^ 2/4 [1-r ^ 2 / R ^ 2]
welche ist ein parabolisches Profil.
Der Volumenstrom Q kann wie folgt berechnet werden:
Q = \ int V \ cdot \ hat n \, dA
welche gibt,
Q = \ dfrac {π * δP * R ^ 4} {8 * μ * L}
Nun, was Ihre Frage betrifft, denke ich, wenn Sie überlegen Nur im laminaren Bereich können wir die obige Formel anwenden, um den Druck im Rohr zu berechnen.
Hoffe th Das hilft!
Antwort
Ihre Frage ist ziemlich seltsam. Der Druck innerhalb eines Rohrs hängt von Faktoren ab, die über die Abmessungen eines Rohrs hinausgehen. Im Wesentlichen ist der Druck die Kraft pro Flächeneinheit. Während Sie eine Gleichung für die innere Oberfläche eines Rohrs erhalten können, die ein einfaches geometrisches Problem darstellt, wären Sie ohne Kenntnis der Art des Gases oder der Flüssigkeit, die Sie durch das Rohr drücken würden, immer noch nicht in der Lage, den Druck im Inneren zu bestimmen müsste auch das Volumen der Substanz sowie die beabsichtigten Durchflussraten kennen, die Sie alle berücksichtigen müssen, um eine Kraft zu erzeugen, und dann teilen Sie die innere Oberfläche für den Druck