Najlepsza odpowiedź
\ dfrac {1} {1 ^ 2} + \ dfrac {1} {2 ^ 2} + \ dfrac {1} {3 ^ 2} + \ dfrac {1} {4 ^ 2} + \ dfrac {1} {5 ^ 2} + … = \ dfrac {\ pi ^ 2} {6} \ tag {1}
Jest na to doskonały dowód, a właśnie tym dowodem jest sposób, w jaki Euler po raz pierwszy udowodnił swoją tożsamość. Oczywiście muszę przyznać mojemu profesorowi, że pokazał mi tę tożsamość. (Wszystkie konta Quora są wymienione w zakładce „Cytaty” na końcu tej odpowiedzi) Na koniec, jedynym rachunkiem wymaganym do zrozumienia tego dowodu jest reguła władzy, którą nadal możesz uzyskać bez wiedzy.
\ dfrac {\ mathrm d} {\ mathrm dx} [x ^ n] = nx ^ {n-1} \ tag * {}
Zaczynamy od małej historii matematyki. Prawdziwa tożsamość Eulera to nie e ^ {i \ pi} + 1 = 0. W rzeczywistości matematyk Roger Cotes napisał o tych dekadach przed Eulerem, ale Euler był bardziej znany, więc przypisywano mu jego odkrycie. Tożsamość, która okazała się być roszczeniem Eulera do sławy, była w rzeczywistości
\ dfrac {1} {1 ^ 2} + \ dfrac {1} {2 ^ 2} + \ dfrac {1} {3 ^ 2} … = \ dfrac {\ pi ^ 2} {6} \ tag * {}
* Zabawny fakt, że istnieje prawo zwane prawem Stiglera, które stanowi, że żadne odkrycie naukowe pochodzi od swojego pierwotnego odkrywcy. Oczywiście dla zachowania spójności prawo to zostało po raz pierwszy zaproponowane przez Roberta Mertona. Przykłady tego prawa obejmują tożsamość Eulera, odkrytą przez Rogera Cotesa, prawo Hubblea, zaczerpnięte z Georgea Lemaitrea i twierdzenie Pitagorasa, odkryte przez matematyków babilońskich dużo przed Pitagorasem. W każdym razie, wracając do odpowiedzi.
Ten problem istniał dużo wcześniej niż Euler, ale nie został rozwiązany aż do niego. Matematycy w tamtych czasach, tacy jak Jacob Bernoulli, Johan Bernoulli, Leibniz i John Wallis, pracowali nad tym problemem dużo wcześniej niż Euler, ale nie potrafili podać dokładnej wartości tego problemu. W rzeczywistości ten problem zaczął stawać się tak duży, że otrzymał swoją własną nazwę: problem bazylejski.
Aby udowodnić, że suma Eulera jest zbieżna w pierwszej kolejności, musimy przepisać ją z tego
\ dfrac {1} {1 ^ 2} + \ dfrac {1} {2 ^ 2} + \ dfrac {1} {3 ^ 2} + \ dfrac {1} {4 ^ 2} … \ tag {1}
do tego.
\ dfrac {1} {1} \ cdot \ dfrac {1} {1} + \ dfrac 1 2 \ cdot \ dfrac 1 2+ \ dfrac 1 3 \ cdot \ dfrac 1 3+ \ dfrac 1 4 \ cdot \ dfrac 1 4 … \ tag {2}
Są to oczywiście te same rzeczy, ale wyrażone inaczej. Pokażę ci, dlaczego (2) jest bardziej przydatne niż (1) tutaj za sekundę.
Weź (2), a następnie zmień. Ponieważ bardzo trudno jest wyrazić to słowami, będę musiał tylko to pokazać:
\ dfrac {1} {1} \ cdot \ dfrac {1} {1} + \ dfrac 1 2 \ cdot \ dfrac 1 2+ \ dfrac 1 3 \ cdot \ dfrac 1 3+ \ dfrac 1 4 \ cdot \ dfrac 1 4 … \ tag {2}
\ implies
\ dfrac {1} {1} + \ dfrac 1 1 \ cdot \ dfrac 1 2+ \ dfrac 1 2 \ cdot \ dfrac 1 3+ \ dfrac 1 3 \ cdot \ dfrac 1 4 … \ tag {3}
Więc zmieniliśmy wartość nieskończonej sumy, nie martw się, nie próbuję przesuwać się obok ciebie. Przeanalizujmy (3).
Ta nowa seria wydaje się być większa niż (2). Pierwszy wyraz w obu (2) i (3) są oczywiście sobie równe. Drugi człon w (3) jest z pewnością większy niż (2) i widzimy, że proces ten trwa do nieskończoności. Oznacza to, że jeśli ta seria (3) jest zbieżna, to druga (2) też.
Więc ta część może nie być oczywista dla większości ludzi, co jest w porządku; na początku też nie było to dla mnie oczywiste.
\ dfrac {1} {1} + \ dfrac 1 1 \ cdot \ dfrac 1 2+ \ dfrac 1 2 \ cdot \ dfrac 1 3+ \ dfrac 1 3 \ cdot \ dfrac 1 4 … \ tag {3}
Odetniemy serię po pierwszych 4 wyrazach i znajdziemy sumę częściową.
\ dfrac {1} {1} + \ dfrac 1 1 \ cdot \ dfrac 1 2+ \ dfrac 1 2 \ cdot \ dfrac 1 3+ \ dfrac 1 3 \ cdot \ dfrac 1 4 \ tag * {}
Dla tych, którzy nie wiedzą, ta seria może zostać przepisana jako:
\ dfrac {1} {1} + \ left (\ dfrac 1 1- \ dfrac 1 2 \ right) + \ left (\ dfrac 1 2 – \ dfrac 1 3 \ right) + \ left (\ dfrac 1 3- \ dfrac 1 4 \ right) \ tag * {}
Edit:
Otrzymałem pytanie, w jaki sposób możemy dostać się do nowej serii, i taka była moja odpowiedź:
* Jeśli wiesz, jak przejdź do tego kroku, a następnie możesz pominąć następną cytowaną sekcję.
Tak, możesz przejść do tego kroku przez częściowe rozwinięcie ułamkowe. Szereg w jego aktualnej formie jest taki:
1+ \ Displaystyle \ sum\_ {n = 1} ^ {+ \ infty} \ dfrac {1} {n (n + 1)} \ tag * { }
Możesz założyć, że wnętrze sumy może być reprezentowane przez funkcję liczb rzeczywistych lub funkcję x, rozwiniętą do dwóch nowych ułamków,
\ dfrac {1 } {x (x + 1)} = \ dfrac {A} {x} + \ dfrac {B} {x + 1} \ tag * {}
Mnożenie przez wspólny mianownik,
1 = A (x + 1) + B (x) \ tag * {}
Ponieważ x \ in \ mathbb R, pozwolimy x = 0 i znajdziemy A = 1 .Podobnie, jeśli x = -1 daje nam B = -1, więc możemy przepisać argument sumy jako
1+ \ Displaystyle \ sum\_ {n = 1} ^ {+ \ infty} \ left (\ dfrac {1} {n} – \ dfrac {1} {n + 1} \ right) \ tag * {}
Dodawanie jest asocjacyjne, więc przepisz tę sumę częściową:
\ left (\ dfrac 1 1+ \ dfrac 1 1 \ right) + \ left (- \ dfrac 1 2+ \ dfrac 1 2 \ right) + \ left (- \ dfrac 1 3+ \ dfrac 1 3 \ right) ) – \ dfrac 1 4 \ tag * {}
Co wtedy staje się trywialne.
2- \ dfrac 1 4 \ tag * {}
Wróćmy teraz do naszej nieskończonej serii (3) i zamień pierwsze 4 wyrazy na 2- \ frac 1 4 i zobaczę, co się stamtąd wydarzy.
2- \ dfrac 1 4+ \ dfrac 1 4 \ cdot \ dfrac 1 5+ \ dfrac 1 5 \ cdot \ dfrac 1 6+ \ dfrac 1 6 \ cdot \ dfrac 1 7 … \ tag * {}
Korzystając ze sztuczki, której użyliśmy wcześniej,
2- \ dfrac 1 4+ \ dfrac 1 4- \ dfrac 1 5+ \ dfrac 1 5- \ dfrac 1 6+ \ dfrac 1 6- \ dfrac 1 7 … \ tag * {}
A teraz widoczna staje się wartość tej nieskończonej sumy.
\ dfrac {1} {1} + \ dfrac 1 1 \ cdot \ dfrac 1 2+ \ dfrac 1 2 \ cdot \ dfrac 1 3+ \ dfrac 1 3 \ cdot \ dfrac 1 4 … = 2 \ tag * {}
Świetnie! Więc teraz wiemy, że suma, o której mowa, zbiega się do wartości mniejszej niż 2. Dla ciekawskich \ frac {\ pi ^ 2} {6} \ około 1.644.
Możemy teraz zacząć udowadniać Prawdziwa tożsamość Eulera:
Załóżmy, że \ sin x można wyrazić jako jakiś nieskończony wielomian.
\ sin x = a + bx + cx ^ 2 + dx ^ 3 + … \ tag * {}
Możemy teraz znaleźć wszystkie wyrazy wielomianu w trywialny sposób. Zacznij od pozwolenia x = 0
\ sin 0 = a + b0 + c0 ^ 2 + d0 ^ 3 … \ tag * {}
0 = a \ tag * { }
Zatem nasz nowy nieskończony wielomian staje się
\ sin x = bx + cx ^ 2 + dx ^ 3 + … \ tag * {}
Różniczkowanie obu stron
\ cos x = b + 2cx + 3dx ^ 2 … \ tag * {}
Ustawienie x = 0,
1 = b \ tag * {}
Różniczkowanie i ustawienie x = 0 daje nam nieskończony wielomian dla \ sin x. Jeśli będziesz kontynuować to wiecznie, w końcu dojdziesz do wniosku, że
\ sin x = 0 + 1x- \ dfrac {1} {2 \ cdot 3} x ^ 3 + … \ tag * {}
Co upraszcza do
\ sin x = \ dfrac {x} {1!} – \ dfrac {x ^ 3} {3!} + \ dfrac {x ^ 5} {5!} – \ dfrac {x ^ 7} {7!} … \ tag * {}
Więc właśnie odzyskaliśmy serię Maclaurina dla \ sin x. Przepraszam, ale czułem potrzebę dołączenia na to dowodów, ponieważ i tak już udowadniamy inne rzeczy.
Chociaż jest to z pewnością opłacalne rozszerzenie \ sin x, Euler przyjął inne podejście. Spójrz na wykres \ sin x, \, x \ in [- \ pi, \ pi]. Wiemy, że w x = – \ pi, \, 0, \, \ pi są zera, więc gdybyśmy modelowali ten wykres, to możemy napisać sześcienną funkcję z zerami w – \ pi, \, 0, \, \ pi.
f (x) = x (\ pi + x) (\ pi-x) \ tag * {}
Co wygląda tak:
Oczywiście to wcale nie wygląda jak f (x) = \ sin x, ale możemy to skalować, mnożąc funkcji przez jakąś stałą. Po wielu drobiazgach widzimy, że stałą, która najlepiej pasuje do wykresu \ sin x, to \ frac {1} {\ pi ^ 2}. Zobaczmy nasz nowy wykres
f (x) = \ dfrac {1} {\ pi ^ 2} x (\ pi + x) (\ pi-x) \ tag * {}
Co, choć nie jest dokładne, jest dużo lepsze. Zmieńmy tutaj naszą funkcję, a zobaczysz, dlaczego tak się stanie później.
f (x) = \ dfrac {1} {\ pi ^ 2} x (\ pi + x) (\ pi -x) \ tag * {}
f (x) = \ dfrac {1} {\ pi} (\ pi + x) \ cdot \ dfrac {1} {\ pi} (\ pi- x) x \ tag * {}
f (x) = x \ left (1+ \ dfrac {x} {\ pi} \ right) \ left (1- \ dfrac {x} {\ pi} \ right) \ tag * {}
f (x) = x \ left (1- \ dfrac {x ^ 2} {\ pi ^ 2} \ right) \ tag * {}
Ale nie oszacowaliśmy całej funkcji. Aby to zrobić, musimy określić nowe terminy, które dodadzą nowe zera w miejscach x = 2 \ pi, \, – 2 \ pi. Nie pokażę ponownie algebry i możesz ją zweryfikować, jeśli chcesz, ale nasza nowa funkcja to:
f (x) = x \ left (1- \ dfrac {x ^ 2} {\ pi ^ 2} \ right) \ left (1- \ dfrac {x ^ 2} {(2 \ pi) ^ 2} \ right) \ tag * {}
I po tym wzorzec dodawania nowych terminów, aby otrzymać nowe zera, nasza nowa funkcja doskonale modeluje ten z \ sin x.
f (x) = \ sin x = x \ left (1- \ dfrac {x ^ 2} {\ pi ^ 2} \ right) \ left (1- \ dfrac {x ^ 2} {(2 \ pi) ^ 2} \ right) \ left (1- \ dfrac {x ^ 2} {(3 \ pi) ^ 2} \ right) \ left (1- \ dfrac {x ^ 2} {(4 \ pi) ^ 2} \ right) … \ tag {4}
A tutaj to wykresy umieszczone obok siebie.
* Chociaż nie są one dokładne, to jest to wykres złożony z 7 wyrazów . Przepraszam, że nie mogłem wyjść przed nieskończoność, ale nie miałem całej nocy. To jednak wystarczy, ponieważ jego celem było pokazanie podobieństw między tym wykresem a \ sin x.
Docieramy do celu, więc przygotujcie się! Jeśli chcesz, kliknij poza tą odpowiedzią i zobacz, czy możesz przejść dalej. Powodzenia, jeśli to zrobisz!
Zamierzamy poddać się czystym torturom, więc rozmnóż się (4). Pominę algebrę, ponieważ nie jesteśmy tutaj, aby oszaleć.
f (x) = x \ left (1- \ dfrac {x ^ 2} {\ pi ^ 2} \ right ) \ left (1- \ dfrac {x ^ 2} {(2 \ pi) ^ 2} \ right) \ left (1- \ dfrac {x ^ 2} {(3 \ pi) ^ 2} \ right) \ left (1- \ dfrac {x ^ 2} {(4 \ pi) ^ 2} \ right) … \ tag {4}
f (x) = \ left (x- \ dfrac {x ^ 3} {\ pi ^ 2} \ right) \ left (1- \ dfrac {x ^ 2} {(2 \ pi) ^ 2} \ right) … \ tag * {}
f (x) = \ left (x + \ left (- \ dfrac {1} {\ pi ^ 2} – \ dfrac {1} {(2 \ pi) ^ 2} \ right) x ^ 3 + \ dfrac {1} {\ pi ^ 2} \ cdot \ dfrac {1} {(2 \ pi) ^ 2} x ^ 5 \ right) \ left (1- \ dfrac {x ^ 2} {(3 \ pi) ^ 2} \ dobrze) …\ tag * {}
Skoncentrujemy się wyłącznie na współczynniku wyrażenia x ^ 3 stąd, więc zakreślmy to.
f (x) = \ left (x + \ boxed {\ left (- \ dfrac {1} {\ pi ^ 2} – \ dfrac {1} {(2 \ pi) ^ 2} \ right) x ^ 3} + \ dfrac {1} {\ pi ^ 2} \ cdot \ dfrac {1} {(2 \ pi) ^ 2} x ^ 5 \ right) \ left (1- \ dfrac {x ^ 2} {(3 \ pi) ^ 2} … \ right) \ tag * {}
OK, pomnóżmy teraz następny wyraz przez pierwszy. Jeszcze raz oszczędzę ci bitów algebry.
x + \ boxed {\ left (- \ dfrac {1} {\ pi ^ 2} – \ dfrac {1} {(2 \ pi)) ^ 2} – \ dfrac {1} {(3 \ pi) ^ 2} \ right) x ^ 3} + (…) x ^ 5 + (…) x ^ 7 \ tag * {}
Stąd jest całkiem jasne, jak będzie wyglądał współczynnik na x ^ 3. Nie musimy już wykonywać żadnej algebry, ponieważ możemy po prostu podążać za wzorcem i założyć, że będzie się to powtarzać w każdym semestrze. Następnie porównamy tę nieskończoną sumę z naszym szeregiem Maclaurina dla \ sin x.
\ sin x = x + \ boxed {\ left (- \ dfrac {1} {\ pi ^ 2} – \ dfrac {1} {(2 \ pi) ^ 2} – \ dfrac {1} {(3 \ pi) ^ 2} – \ dfrac {1} {(4 \ pi) ^ 2} – \ enspace … \ enspace \ right) x ^ 3} + (…) x ^ 5 + (…) x ^ 7 \ tag * {}
\ sin x = \ dfrac {x} {1 !} – \ dfrac {x ^ 3} {3!} + \ dfrac {x ^ 5} {5!} – \ dfrac {x ^ 7} {7!} + \ dfrac {x ^ 9} {9!} – \ dfrac {x ^ {11}} {11!} + … \ tag * {}
Po porównaniu współczynników widzimy, że
– \ dfrac {x ^ 3} {3!} = \ Left (- \ dfrac {1} {\ pi ^ 2} – \ dfrac {1} {(2 \ pi) ^ 2} – \ dfrac {1} {(3 \ pi) ^ 2} – \, … \ right) x ^ 3 \ tag * {}
Usuń x ^ 3 z obu stron.
– \ dfrac {1} {3 !} = – \ dfrac {1} {\ pi ^ 2} – \ dfrac {1} {(2 \ pi) ^ 2} – \ dfrac {1} {(3 \ pi) ^ 2} – \, .. . \ tag * {}
Pomnóż obie strony przez -1:
\ dfrac {1} {3!} = \ dfrac {1} {\ pi ^ 2} + \ dfrac {1} {(2 \ pi) ^ 2} + \ dfrac {1} {(3 \ pi) ^ 2} + \ dfrac {1} {(4 \ pi) ^ 2} + \ dfrac {1} { (5 \ pi) ^ 2} + … \ tag * {}
Pomnóż przez \ pi ^ 2
\ dfrac {\ pi ^ 2} {3!} = \ dfrac {1} {1 ^ 2} + \ dfrac {1} {2 ^ 2} + \ dfrac {1} {3 ^ 2} + \ dfrac {1} {4 ^ 2} + \ dfrac {1} { 5 ^ 2} + \ dfrac {1} {6 ^ 2} … \ tag * {}
Oceń 3! i oto jest:
\ dfrac {\ pi ^ 2} {6} = \ dfrac {1} {1 ^ 2} + \ dfrac {1} {2 ^ 2} + \ dfrac {1 } {3 ^ 2} + \ dfrac {1} {4 ^ 2} + \ dfrac {1} {5 ^ 2} + \ dfrac {1} {6 ^ 2} … \ tag * {}
Prawdziwa tożsamość Eulera.
Cytowania:
Mój profesor: Tan Nguyen
Odpowiedź
O rany, totalnie to zepsułeś! To nie jest sposób, w jaki zadajesz pytanie, przyjdź na !
Zadajesz to w ten sposób: Co to jest
\ Displaystyle \ lim\_ {n \ do \ infty} e ^ {- n} \ sum\_ {k = 0} ^ n \ Frac {n ^ k} {k!} \, \, \ tekst {?}
A potem usiądź wygodnie i ciesz się spektaklem, jak wszyscy mówią, że to oczywiście 1, a oni wyjaśniają dlaczego, i jest tak jasne, że tak nie jest nawet nie wymagasz dowodu, ale i tak prosisz ich, aby to udowodnili, a oni próbują i nie udaje im się (lub gorzej: odnoszą sukces), i pytasz ich, czy nadal uważają, że to 1, i mówią, że tak, ale część pewności przepadła, i grasz na nich tak długo, jak ci się podoba, dopóki nie poinformujesz ich, że są dokładnie w 100\% taniej.
Dlaczego więc wszyscy myślą, że ten limit jest równy 1 i dlaczego to nieprawda i dlaczego czy to faktycznie \ frac {1} {2}?
Cóż, dla n bardzo dużej suma \ sum\_ {k = 0} ^ n \ frac {n ^ k} {k!} wynosi około e ^ n. Dobrze? To tylko szereg Taylora funkcji wykładniczej. Więc pomnożymy to przez e ^ {- n} i otrzymamy około 1, a gdy pozwolimy n rosnąć, to staje się coraz dokładniejsze, więc limit musi wynosić po prostu 1. Mam na myśli to ma do.
Racja?
Źle.
Więc co tu jest nie tak? Cóż, możesz czuć się trochę nieswojo z powodu tej sprawy z Taylorem. To znaczy, oczywiście, suma
\ Displaystyle \ sum\_ {k = 0} ^ n \ Frac {x ^ k} {k!}
Jest częściową sumą Taylora szereg e ^ x, więc jego granica dla ustalonego x jako n \ do \ infty jest rzeczywiście e ^ x. Ale tutaj robimy coś trochę podejrzanego: prosimy n, aby wykonał podwójną funkcję zarówno jako zakres sumowania, jak i zmienną szeregu potęg.
W każdym razie jedno powinno być jasne: oświadczenie
\ Displaystyle e ^ n =? = \ lim\_ {n \ do \ infty} \ sum\_ {k = 0} ^ {n} \ Frac {n ^ k} {k!}
w ogóle nie ma sensu. Zmienna n jest wolna po lewej stronie i ograniczona po prawej.
Ok. Tak więc ta naiwna interpretacja wyszła na jaw. Jak robimy oceniamy ten limit?
Jest piękny, mistrzowski sposób rozwiązania tego problemu, który jest niemal sztuczką. Wygląda to tak: jest to dokładnie graniczne prawdopodobieństwo, że losowa zmienna Poissona z parametrem \ lambda = n będzie mniejsza niż oczekiwano. Taka zmienna jest rozkładana podobnie jak suma n niezależnych zmiennych Poissona z parametrem \ lambda = 1, a taka suma (znormalizowana przez jej wariancję, \ sqrt {n}, co nie ma tutaj znaczenia) zbiega się w rozkładzie do normalnej dystrybucja. Jakie jest prawdopodobieństwo, że normalna zmienna losowa będzie mniejsza niż jej średnia? Oczywiście, dlaczego \ frac {1} {2}. Gotowe. QED.
Czekaj, co?
Tak, naprawdę. Jeśli znasz Centralne Twierdzenie Graniczne, to dokładnie to mówi, jeśli weźmiesz zmienne losowe X\_1, X\_2, \ ldots, z których każda jest Poissona (1). Dobre, rutynowe ćwiczenie w stosowaniu CLT do losowych zmiennych Poissona.
Ale co, jeśli nie wiesz o CLT lub po prostu nie przyszło ci do głowy, aby zinterpretować ten limit jako prawdopodobieństwo?
To jest, szczerze, całkiem trudny problem. CLT to potężne twierdzenie, które skrywa sporo teorii, oferując ją praktycznie za darmo. Bez tego jesteś tutaj sam i nie znam naprawdę łatwego sposobu, aby to udowodnić. Potrzebne są sprytne integralne manipulacje i transformacje.