Nejlepší odpověď
Líbí se mi tento problém, protože ukazuje některé základy pravděpodobnosti, které používám k vyzývání svých studentů.
Předpoklad: Každá z kostek je „spravedlivá“, což není nijak ovlivněno.
Protože každá kostka má 6 stran a každá strana má jedinečné číslo od 1 do 6, při hodu kostkami je celkem 6 * 6 * 6 různých číselných kombinací.
To znamená, že je možné dosáhnout 216 různých různých číselných kombinací, ALE NE VŠECHNY CELKEM 8.
Nyní musíme zjistit, kolik kombinací DO celkem 8.
Pokud vezmeme čísla 1, 1, 6, (což je celkem 8), můžeme tato čísla uspořádat do
( 3! / 2) = 3 různé způsoby.
Podobně lze čísla 1, 2, 5 uspořádat do (3!) = 6 různých způsobů
Čísla 1, 3, 4 lze být uspořádány
(3!) = 6 různými způsoby
Čísla 3, 3, 2 lze uspořádat
(3!) / 2 = 3 lze uspořádat různými způsoby
a čísla 4, 2, 2 (3!) / 2 = 3 různé způsoby
Poskytnutí celkem 21 různých číselných kombinací (z 216 možných kombinací), jejichž součet je 8.
Takže existuje (21) / (216) možné správné kombinace, které splňují požadavky otázky.
To dává pravděpodobnost (21) / (216) nebo 9,72222\% nebo 0,097222 získání součtu 8, když jsou hozeny 3 kostky .
Docela zajímavá otázka.
Odpověď
Vyřešil bych to jako problém s podmíněnou pravděpodobností (což ostatní odpovědi udělaly), dostanu 100\% domácí úkoly a pokračujte ve svém životě. Dal bych však také obrovský eyeroll samotné otázce, protože to není nijak zvlášť rozumné se ptát.
Co tím myslím? Podmíněná pravděpodobnost se používá k vyjádření aktuálního stavu informací (nebo spíše dezinformací) o výsledku systému. Problém říká: „Jeden z nich ukazuje šestku“, což bychom měli interpretovat takto: z 6 ^ 4 původně možných výsledků je nějak známo, že skutečný výsledek ukazuje alespoň jednu šestku, ale všechny takové výsledky jsou stejně pravděpodobné.
Pokud jsme náhodou viděli jednu z kostek a všimli jsme si, že přistála na šestce, ale neviděli jsme ostatní, byli bychom v tomto stavu informací? Ne, ne. Věděli bychom, že která umírá ukazuje šest a ponechává 6 ^ 3 možných výsledků, které by tvořily vlastní podmnožinu 6 ^ 4-5 ^ 4 výsledků ve kterém „alespoň jedna kostka ukazuje 6“.
Zde je v podstatě jediný způsob, jak bychom mohli být v tomto informačním stavu 6 ^ 4-5 ^ 4: muselo by to být zmanipulováno. Dáme důvěryhodnému příteli nebo poslušnému počítači pokyn, aby mimo naše zorné pole udělal následující:
- Hodte čtyřmi kostkami.
- Pokud žádná z kostek neukazuje šestku, jděte zpět na krok 1, nic neohlášení.
- Hlášení „JEDEN Z NICH SE ZOBRAZÍ ŠEST.“
Pokud budeme hrát toto zmanipulovaná hra mnohokrát, pak ano – podmíněná pravděpodobnost, že přesně jedna ukáže šestku, protože JEDEN Z NICH VYNIKAJE ŠEST, se rovná
\ frac {4 * 5 ^ 3 } {6 ^ 4-5 ^ 4}.
Jediný možný způsob, jak se v této situaci dostat, je však za pomoci entity s úplnou znalostí výsledku, která záměrně podává zprávu pouze o části informace pro vás. Proto nazývám situaci „zmanipulovanou“. Mimochodem, to je přesně ten samý důvod, proč je slavný Monty Hall aka „3 door“ problém neintuitivní – taky jej lze hrát pouze za pomoci vševědoucího hostitele.