Mejor respuesta
El texto Signals and Systems de Oppenheim y Willsky da la siguiente explicación (Sección: 1.1 .2 – Energía y potencia de señal):
Señal de energía: Tiene energía finita. Esta energía finita, cuando promediada durante un período infinito de tiempo, resultará en potencia cero.
Señal de potencia: Tiene potencia finita. Este poder finito cuando se acumula durante una cantidad infinita de tiempo, resultará en energía infinita.
Cuando era estudiante de ingeniería en NIT Calicut , esta definición nos la inculcaron nuestros profesores, que eran muchachos muy capaces. Y dado que la fuente era Oppenheim y Willsky, no había razón para dudarlo.
Pero luego me di cuenta de que se trataba de una artificial explicación. La razón es que pone el carro delante del caballo. Matemáticamente hablando, la integral de potencia se deriva de la integral de energía, por lo que hablar de una fuente de energía finita que genera energía infinita parece una definición elaborada. Quiero decir, debería tener energía infinita para empezar, para disipar la potencia constante durante un período de tiempo infinito.
No explica por qué para una señal periódica, necesita calcular la energía durante un período infinito de tiempo y poder durante un período de tiempo finito. Quiero decir, para una señal periódica, un período es representativo del comportamiento de la función, entonces, ¿por qué no podemos usarlo para calcular tanto la energía como la potencia?
Además, esta definición no da una explicación clara sobre qué señales que no son ni potencia ni señales de energía. El libro de Oppenheim cita el ejemplo de la señal f (t) = t, pero no explica intuitivamente por qué no es ni una señal de energía ni de potencia.
Para entender qué son las señales de energía y potencia, uno debe comprender intuitivamente cómo se comporta la integral de energía con el tiempo. Aunque me di cuenta de esto antes, no pude traducirlo en un resultado concreto.
Fue entonces cuando me encontré con la respuesta de Nikhil Panikkar sobre la misma y debo admitir que nunca he visto una explicación intuitiva de cómo se comporta la integral de energía en las tres clases (energía, potencia y ninguna) de señales. Le recomiendo encarecidamente que las revise:
La respuesta de Nikhil Panikkar a ¿Cuáles son las diferencias entre una señal de potencia y una señal de energía?
La respuesta de Nikhil Panikkar a ¿Por qué es así que para que una señal sea una señal de energía debe tener poder r cero y para una señal de potencia el valor de energía debería ser infinito?
Respuesta
\ displaystyle E = \ int \ frac {V ^ 2 (t)} { R} dt
si \ displaystyle V (t) = x (t) y R = 1 \ Omega
E \ displaystyle = \ int V ^ 2 (t) dt
La expresión de energía y potencia se expresa como expresión normalizada (calculada en R = 1 \ Omega)
Energía de una señal ( Complejo o Real) viene dado por
\ displaystyle E = \ int \_ {- \ infty} ^ {\ infty} | x ^ 2 (t) | dt
La potencia de una señal ( cuando es periódica ) viene dada por
\ displaystyle P = \ frac {1} {T} \ int\_ {T} ^ {} | x ^ 2 (t) | dt
La potencia de una señal ( cuando no es periódica ) viene dada por
\ displaystyle P = \ lim\_ {T \ to \ infty} \ frac {1} {T} \ int \_ {- \ frac {T} {2}} ^ {\ frac {T} {2}} | x ^ 2 (t) | dt
SEÑALES DE ENERGÍA
\ displaystyle \ Rightarrow Se dice que una señal es una señal de energía si tiene una cantidad finita de energía asociada a él.
E \ displaystyle \ rightarrow finite
P \ displaystyle \ rightarrow 0
\ displaystyle \ Rightarrow Una señal tendrá una cantidad finita de energía si es absolutamente integrable
\ displaystyle \ int \_ {- \ infty} ^ {\ infty} | x (t) | dt infty
Ejemplo 1
\ displaystyle x (t) = e ^ {- at} u (t) y a> 0
\ displaystyle \ int\_ {0} ^ {\ infty} e ^ {- at} dt = \ frac {1} {a} \ Señal de energía de flecha derecha
\ displaystyle E = \ int \_ {- \ infty} ^ {\ infty} e ^ {- 2at} dt = \ frac {1} {2a }
Ejemplo 2
\ Displaystyle x (t) = e ^ {- a | t |} y a> 0
\ Displaystyle x (t) = e ^ {- at} u (t) + e ^ {at} u (-t) y a> 0
\ Displaystyle \ int\_ {0} ^ {\ infty} e ^ {- at} dt + \ int \_ {- \ infty} ^ {0} e ^ {at } dt = \ frac {1} {a} + \ frac {1} {a} \ Señal de energía de flecha derecha
\ displaystyle E = \ int \_ {- \ infty} ^ {0} e ^ {2at } dt + \ int\_ {0} ^ {\ infty} e ^ {- 2at} dt = \ frac {1} {2a} + \ frac {1} {2a} = \ frac {1} {a}
Ejemplo 3
\ displaystyle x (t ) = e ^ {at} u (t) y a> 0
\ displaystyle \ int\_ {0} ^ {\ infty} e ^ {at} dt \ rightarrow \ infty \ Rightarrow No es una señal de energía
Ejemplo 4
\ displaystyle x (t) = Au (t)
\ displaystyle \ int\_ {0} ^ {\ infty} dt \ rightarrow \ infty \ Rightarrow No es una señal de energía
Ejemplo 5
\ displaystyle x (t) = \ sin (\ omega\_0 t)
\ Displaystyle \ int \_ {- \ infty} ^ {\ infty} | \ sin (\ omega\_0 t) | dt \ rightarrow \ infty \ Rightarrow No es una señal de energía
NOTA: Todas las señales periódicas son señales sin energía porque no son absolutamente integrables.
SEÑALES DE POTENCIA
Se dice que una señal es una señal de potencia si tiene una cantidad finita de potencia asociada con
Poder \ displaystyle \ Longrightarrow finite
Energy \ displaystyle \ Longrightarrow \ infty
Una señal periódica tendrá una cantidad finita de potencia si es absolutamente integrable durante su período de tiempo.
\ displaystyle \ int\_ {T} ^ {} | x (t) | dt infty
Una señal no periódica será señal de potencia si
(i). \ displaystyle \ int \_ {- \ infty} ^ {\ infty} | x (t) | dt infty
(ii) \ displaystyle x (t) \ neq \ infty en cualquier momento
Ejemplo 1
\ displaystyle x (t ) = A u (t)
\ Displaystyle P = \ lim\_ {T \ to \ infty} \ frac {1} {T} \ int\_ {0} ^ {\ frac {T} {2} } A ^ 2 dt = \ frac {A ^ 2} {2}
Ejemplo 2 ( DC SIGNAL )
\ displaystyle x (t) = A
\ displaystyle P = \ lim\_ {T \ to \ infty} \ frac {1} {T} \ int \_ {- \ frac {T} {2}} ^ {\ frac {T} {2}} A ^ 2 dt = A ^ 2
Ejemplo 3
\ displaystyle x (t) = A \ sin (\ omega\_0 t)
\ Displaystyle P = \ frac {1} {T} \ int \_ {- \ frac {T} {2}} ^ {\ frac {T} {2}} A ^ 2 \ sin ^ 2 (\ omega\_0 t) dt = A ^ 2
\ displaystyle P = \ frac {A ^ 2} {2}
NOTA: Sinusiodal Las señales que tienen el mismo valor de módulo contienen la misma cantidad de potencia independientemente de su fase y frecuencia .
\ Displaystyle P [A \ sin (\ omega\_0 t)] = P [A \ sin (\ omega\_0 t + \ phi)] = P [A \ sin (n \ omega\_0 t + \ phi)] = \ frac {A ^ 2} {2}
Ejemplo 4
\ displaystyle x (t) = A \ sin (\ omega\_0 t) u (t)
\ displaystyle P = \ lim\_ {T \ to \ infty} \ frac {1} {T} \ int\_ {0} ^ {\ frac {T} {2}} A ^ 2 \ sin ^ 2 (\ omega\_0 t) dt = A ^ 2
\ displaystyle P = \ frac {A ^ 2} {4}
Ejemplo 5
\ displaystyle x (t) = A e ^ {j \ omega\_0 t}
\ displaystyle \ Rightarrow | x (t) | = A
\ Displaystyle P = \ frac {1} {T} \ int \_ {- \ frac {T} {2}} ^ {\ frac {T} {2}} A ^ 2 dt = A ^ 2
Ni energía ni señales de potencia
Ejemplo 1
\ displaystyle x (t) = \ tan (t)
Periódico \ displaystyle \ rightarrow Señal sin energía
No absolutamente integrable durante su período de tiempo \ rightarrow Señal sin energía
Ejemplo 2
\ displaystyle x (t) = e ^ {at} u (t)
\ displaystyle \ int\_ {0} ^ {\ infty} e ^ {at} dt \ Longrightarrow \ infty
En \ displaystyle t \ rightarrow \ infty \ Rightarrow x (t) \ Longrightarrow \ infty
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