Migliore risposta
Il testo Signals and Systems di Oppenheim e Willsky fornisce la seguente spiegazione (Sezione: 1.1 .2 – Signal Energy and Power):
Energy signal: ha energia finita. Questa energia finita, quando media su un periodo di tempo infinito, risulterà in potenza zero.
Segnale di potenza: ha una potenza finita. Questa potenza finita, quando accumulata per un periodo di tempo infinito, si tradurrà in energia infinita.
Quando ero uno studente di ingegneria alla NIT Calicut , questa definizione è stata trapanata in noi studenti dai nostri professori, che erano ragazzi abbastanza capaci. E poiché la fonte era Oppenheim e Willsky, non cera motivo di dubitarne.
Ma in seguito mi resi conto che si trattava di una mano ondulata, artificiale spiegazione. Il motivo è che mette il carro davanti ai buoi. Matematicamente parlando, lintegrale di potenza deriva dallintegrale di energia, quindi parlare di una fonte di energia finita che genera energia infinita sembra una definizione elaborata. Voglio dire, dovresti avere energia infinita per iniziare, per dissipare potenza costante per un periodo di tempo infinito.
Non spiega perché per un segnale periodico, devi calcolare lenergia su un periodo infinito di tempo e potere su un periodo di tempo finito. Voglio dire, per un segnale periodico, un periodo è rappresentativo del comportamento della funzione, quindi perché non possiamo usarlo per calcolare sia lenergia che la potenza.
Anche questa definizione non fornisce una spiegazione chiara su quali segnali che non sono né segnali di alimentazione o di energia. Il libro di Oppenheim cita lesempio del segnale f (t) = t, ma non spiega in modo intuitivo perché non è né un segnale di energia né di potenza.
Per capire quali sono i segnali di energia e potenza è necessario capire intuitivamente come si comporta l integrale energetico nel tempo. Anche se me ne sono reso conto prima, non sono riuscito a tradurlo in un risultato concreto.
È allora che mi sono imbattuto nella risposta di Nikhil Panikkar e devo ammettere che non ho mai visto un intuitiva spiegazione di come si comporta lintegrale energetico in tutte e tre le classi (energia, potenza e nessuna delle due) dei segnali. Ti consiglio vivamente di esaminarle:
Nikhil Panikkar “la risposta a Quali sono le differenze tra un segnale di alimentazione e un segnale di energia?
La risposta di Nikhil Panikkar a Perché è così che un segnale per essere un segnale di energia deve avere potenza r zero e per un segnale di potenza il valore dellenergia dovrebbe essere infinito?
Risposta
\ displaystyle E = \ int \ frac {V ^ 2 (t)} { R} dt
se \ displaystyle V (t) = x (t) e R = 1 \ Omega
E \ displaystyle = \ int V ^ 2 (t) dt
Espressione di energia e potenza sono espresse come espressione normalizzata (calcolata a R = 1 \ Omega)
Energia di un segnale ( Complesso o Reale) è dato da
\ displaystyle E = \ int \_ {- \ infty} ^ {\ infty} | x ^ 2 (t) | dt
La potenza di un segnale ( Quando è periodico ) è data da
\ displaystyle P = \ frac {1} {T} \ int\_ {T} ^ {} | x ^ 2 (t) | dt
La potenza di un segnale ( quando non è periodico ) è data da
\ displaystyle P = \ lim\_ {T \ to \ infty} \ frac {1} {T} \ int \_ {- \ frac {T} {2}} ^ {\ frac {T} {2}} | x ^ 2 (t) | dt
SEGNALI DI ENERGIA
\ displaystyle \ Rightarrow Un segnale si dice che sia un segnale di energia se ha una quantità finita di energia ad esso associata.
E \ displaystyle \ rightarrow finite
P \ displaystyle \ rightarrow 0
\ displaystyle \ Rightarrow Un segnale avrà una quantità finita di energia se è assolutamente integrabile
\ displaystyle \ int \_ {- \ infty} ^ {\ infty} | x (t) | dt infty
Esempio 1
\ displaystyle x (t) = e ^ {- at} u (t) and a> 0
\ displaystyle \ int\_ {0} ^ {\ infty} e ^ {- at} dt = \ frac {1} {a} \ Rightarrow Energy signal
\ displaystyle E = \ int \_ {- \ infty} ^ {\ infty} e ^ {- 2at} dt = \ frac {1} {2a }
Esempio 2
\ displaystyle x (t) = e ^ {- a | t |} and a> 0
\ displaystyle x (t) = e ^ {- at} u (t) + e ^ {at} u (-t) e a> 0
\ displaystyle \ int\_ {0} ^ {\ infty} e ^ {- at} dt + \ int \_ {- \ infty} ^ {0} e ^ {at } dt = \ frac {1} {a} + \ frac {1} {a} \ Rightarrow Energy signal
\ displaystyle E = \ int \_ {- \ infty} ^ {0} e ^ {2at } dt + \ int\_ {0} ^ {\ infty} e ^ {- 2at} dt = \ frac {1} {2a} + \ frac {1} {2a} = \ frac {1} {a}
Esempio 3
\ displaystyle x (t ) = e ^ {at} u (t) and a> 0
\ displaystyle \ int\_ {0} ^ {\ infty} e ^ {at} dt \ rightarrow \ infty \ Rightarrow Non è un segnale energetico
Esempio 4
\ displaystyle x (t) = Au (t)
\ displaystyle \ int\_ {0} ^ {\ infty} dt \ rightarrow \ infty \ Rightarrow Non è un segnale energetico
Esempio 5
\ displaystyle x (t) = \ sin (\ omega\_0 t)
\ displaystyle \ int \_ {- \ infty} ^ {\ infty} | \ sin (\ omega\_0 t) | dt \ rightarrow \ infty \ Rightarrow Segnale non energetico
NOTA: Tutti i segnali periodici sono segnali non energetici perché non sono assolutamente integrabili.
SEGNALI DI POTENZA
Un segnale è detto segnale di potenza se ha una quantità finita di potenza associata a it.
Potenza \ displaystyle \ Longrightarrow finite
Energia \ displaystyle \ Longrightarrow \ infty
Un segnale periodico avrà una quantità di potenza finita se è assolutamente integrabile nel suo periodo di tempo.
\ displaystyle \ int\_ {T} ^ {} | x (t) | dt infty
Un segnale non periodico sarà il segnale di alimentazione se
(i). \ displaystyle \ int \_ {- \ infty} ^ {\ infty} | x (t) | dt infty
(ii) \ displaystyle x (t) \ neq \ infty in qualsiasi momento
Esempio 1
\ displaystyle x (t ) = A u (t)
\ displaystyle P = \ lim\_ {T \ to \ infty} \ frac {1} {T} \ int\_ {0} ^ {\ frac {T} {2} } A ^ 2 dt = \ frac {A ^ 2} {2}
Esempio 2 ( SEGNALE CC )
\ displaystyle x (t) = A
\ displaystyle P = \ lim\_ {T \ to \ infty} \ frac {1} {T} \ int \_ {- \ frac {T} {2}} ^ {\ frac {T} {2}} A ^ 2 dt = A ^ 2
Esempio 3
\ displaystyle x (t) = A \ sin (\ omega\_0 t)
\ displaystyle P = \ frac {1} {T} \ int \_ {- \ frac {T} {2}} ^ {\ frac {T} {2}} A ^ 2 \ sin ^ 2 (\ omega\_0 t) dt = A ^ 2
\ displaystyle P = \ frac {A ^ 2} {2}
NOTA: Sinusiodal I segnali con lo stesso valore di modulo contengono la stessa quantità di potenza indipendentemente dalla loro fase e frequenza .
\ displaystyle P [A \ sin (\ omega\_0 t)] = P [A \ sin (\ omega\_0 t + \ phi)] = P [A \ sin (n \ omega\_0 t + \ phi)] = \ frac {A ^ 2} {2}
Esempio 4
\ displaystyle x (t) = A \ sin (\ omega\_0 t) u (t)
\ displaystyle P = \ lim\_ {T \ to \ infty} \ frac {1} {T} \ int\_ {0} ^ {\ frac {T} {2}} A ^ 2 \ sin ^ 2 (\ omega\_0 t) dt = A ^ 2
\ displaystyle P = \ frac {A ^ 2} {4}
Esempio 5
\ displaystyle x (t) = A e ^ {j \ omega\_0 t}
\ displaystyle \ Rightarrow | x (t) | = A
\ displaystyle P = \ frac {1} {T} \ int \_ {- \ frac {T} {2}} ^ {\ frac {T} {2}} A ^ 2 dt = A ^ 2
Né energia né segnali di potenza
Esempio 1
\ displaystyle x (t) = \ tan (t)
Periodico \ displaystyle \ rightarrow Segnale non di alimentazione
Non assolutamente integrabile nel suo periodo di tempo \ rightarrow Segnale non di alimentazione
Esempio 2
\ displaystyle x (t) = e ^ {at} u (t)
\ displaystyle \ int\_ {0} ^ {\ infty} e ^ {at} dt \ Longrightarrow \ infty
In \ displaystyle t \ rightarrow \ infty \ Rightarrow x (t) \ Longrightarrow \ infty
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