Beste svaret
Ettersom rør er cyllindrisk slik at vi kan gå for cyllindriske koordinater. Tenk på røraksen som skal tilrettelegges i z-retning. Tyngdekraften virker i negativ y-retning. Og det er ingen flyt i x retning. Anta at vi bruker trykk p1 ved inngangen og p2 ved utgangen. (p1> p2).
Strømning betraktes som laminær, dvs. Reynolds-tallet er 000, er fullt utviklet betyr at det ikke er noen variasjon i hastighet langs z-retning, og er ukomprimerbar.
For hvilken som helst ukomprimerbar strømning (Mach-nummer ,3), bevaring av masseligningen gir,
\ nabla \ cdot \ mathbf V = 0
Navier-Stokes-setning for ukomprimerbar – newtonsk (konstant viskositet ) flyt er,
ρ * (\ dfrac {\ partial V} {\ partial t} + (\ mathbf V \ cdot \ nabla) * V) = – \ nabla p + ρ \ cdot \ vec g + μ * \ nabla ^ 2 V
Så massebalanse i cyllindrisk koordinat vil være:
\ dfrac {1} {r} \ cdot \ dfrac {\ partial ( rV (r))} {\ partial r} + \ dfrac {1} {r} \ cdot \ dfrac {\ partial (V (θ))} {\ partial θ} + \ dfrac {\ partial (V (z) )} {\ partial z} = 0
som gir,
\ dfrac {1} {r} \ cdot \ dfrac {\ partial (rV (r))} {\ delvis r} = 0
da det ikke er noen hastighet i θ retning og ingen flyt i z- retning.
Så,
rV (r) er en konstant, nå ved r = R, V (r) = 0 (på grunn av glidende tilstand, et eksperimentelt faktum), innebærer V (r) = 0 overalt, som konstant vil være null.
Nå er
tyngdekraften i y-retning:
\ hat \ jmath = sinθ \ hat e (r) + cosθ \ hat e (θ)
Som gir, -g \ hat \ jmath = -g (sinθ \ hat e (r) + cosθ \ hat e (θ))
Skriver nå r- momentumligning:
0 = – \ dfrac {\ partial p} {\ partial r} + -ρgsinθ
writing θ momentum equation
0 = – \ dfrac {1} {r} \ dfrac {\ partial p} {\ partial θ} + -ρgcosθ
Ved å kombinere disse to ligningene får vi,
p = – ρgy + f (z)
Skriver nå endelig z momentumligning:
ρ * (\ dfrac {\ partial V (z)} {\ partial t } + V (r) \ dfrac {\ partial V (z)} {\ partial r} + \ dfrac {V (θ)} {r} \ dfrac {\ partial V (z)} {\ partial θ} + \ dfrac {\ partial V (z)} {\ partial z} = – \ dfrac {\ partial p} {\ partial z} + ρg (z) + μ (\ dfrac {1} {r} \ dfrac {\ partial ( r \ dfrac {\ partial V (z)} {\ partial r})} {\ partial r} + 0 + 0)
De siste to begrepene er 0 fordi flyt er aksesymmetrisk og er fullt utviklet.
Å ta alle antakelser i betraktning og tyngdekraften er ikke i z retning, denne ligningen blir redusert til:
– \ dfrac {\ partial p} {\ partial z} + μ (\ dfrac {1} {r} \ dfrac {\ partial (r \ dfrac {\ partial V (z )} {\ partial r})} {\ partial r}) = 0
– \ dfrac {\ partial p} {\ partial z} = \ dfrac {\ delta p} {L}
hvor L er lengden på røret.
så
\ dfrac {\ delta p} {L} + μ (\ dfrac {1} {r} \ dfrac {\ partial (r \ dfrac {\ partial V (z)} {\ partial r})} {\ partial r}) = 0
Grensetilstand vil være V (z) ved z = R og z = 0 vil være 0 (ingen glidebetingelser),
Så hastighetsprofil i rør kan beregnes som en funksjon av r,
V i z-retning som en funksjon av r,
V (r) = \ dfrac {\ delta p} {μL} \ cdot R ^ 2/4 [1-r ^ 2 / R ^ 2]
som er en parabolsk profil.
Volumetrisk strømningshastighet Q kan beregnes som følger:
Q = \ int V \ cdot \ hat n \, dA
som gir,
Q = \ dfrac {π * δP * R ^ 4} {8 * μ * L}
Nå når det gjelder spørsmålet ditt, tror jeg hvis du vurderer bare laminært regime, kan vi bruke formelen ovenfor for å beregne trykket inne i røret.
Håper th er hjelper!
Svar
Spørsmålet ditt er ganske rart. Trykket i et rør er avhengig av faktorer utenfor dimensjonene til et rør. I hovedsak er trykk kraft per arealenhet. Mens du kan få en ligning for det indre overflatearealet til et rør som er et enkelt geometrisk problem, uten kunnskap om typen gass eller væske du vil skyve gjennom røret, vil du fremdeles ikke kunne bestemme trykket inni deg trenger også å kjenne stoffets volum så vel som dets tiltenkte strømningshastigheter som du alle må vurdere som skaper en kraft, og deretter deler du det indre overflatearealet for trykket