Beste Antwort
Ich mag dieses Problem, weil es einige Grundlagen der Wahrscheinlichkeit zeigt, mit denen ich meine Schüler herausfordere.
Eine Annahme: Jeder der Würfel ist „fair“, das ist in keiner Weise voreingenommen.
Da jeder Würfel 6 Seiten hat und jede Seite eindeutig mit 1 bis 6 nummeriert ist, Es gibt insgesamt 6 * 6 * 6 verschiedene Zahlenkombinationen, wenn die Würfel geworfen werden.
Das heißt, es sind 216 mögliche verschiedene Zahlenkombinationen erreichbar, ABER NICHT ALLE GESAMT 8.
Wir müssen jetzt herausfinden, wie viele Kombinationen insgesamt 8 ergeben.
Wenn wir die Zahlen 1, 1, 6 (welche insgesamt 8) nehmen, können wir diese Zahlen in
( 3! / 2) = 3 verschiedene Arten.
In ähnlicher Weise können die Nummern 1, 2, 5 auf (3!) = 6 verschiedene Arten angeordnet werden.
Die Nummern 1, 3, 4 können in
(3!) = 6 verschiedenen Arten angeordnet werden
Die Nummern 3, 3, 2 können in
(3!) / 2 = 3 angeordnet werden Es können verschiedene Arten
und die Nummern 4, 2, 2 angeordnet werden (3!) / 2 = 3 verschiedene Möglichkeiten
Geben Sie insgesamt 21 verschiedene Zahlenkombinationen (von 216 möglichen Kombinationen) an, die sich zu 8 summieren.
Es gibt also (21) / (216) mögliche korrekte Kombinationen, die die Anforderungen der Frage erfüllen.
Dies ergibt eine Wahrscheinlichkeit von (21) / (216) oder 9,72222\% oder 0,097222, eine Summe von 8 zu erhalten, wenn 3 Würfel geworfen werden .
Eine ziemlich interessante Frage.
Antwort
Ich würde dies als bedingtes Wahrscheinlichkeitsproblem lösen (was andere Antworten getan haben) und meine 100\% erreichen die Hausaufgaben und mach weiter mit meinem Leben. Ich würde der Frage selbst jedoch auch ein massives Eyeroll geben, da dies keine besonders vernünftige Frage ist.
Was meine ich damit? Nun, die bedingte Wahrscheinlichkeit wird verwendet, um einen aktuellen Informationszustand (oder vielmehr Desinformation) über das Ergebnis des Systems darzustellen. Das Problem sagt „Einer von ihnen zeigt eine Sechs“, was wir „so interpretieren sollen“: Von den ursprünglich möglichen 6 ^ 4 Ergebnissen ist irgendwie bekannt, dass das tatsächliche Ergebnis mindestens eine Sechs zeigt, aber alle solche Ergebnisse sind ebenso wahrscheinlich.
Wenn wir zufällig einen der Würfel sehen und bemerken würden, dass er auf einer Sechs landet, die anderen aber nicht sehen könnten, wären wir dann in diesem Informationszustand? Nein, würden wir nicht. Wir würden wissen, dass dieser Würfel eine Sechs anzeigt, was 6 ^ 3 mögliche Ergebnisse hinterlässt, die eine richtige Teilmenge der 6 ^ 4-5 ^ 4 Ergebnisse bilden würden in dem „mindestens ein Würfel eine 6 zeigt“.
Hier ist im Wesentlichen die einzige Möglichkeit, wie wir uns in diesem 6 ^ 4-5 ^ 4-Informationszustand befinden könnten: Es müsste manipuliert werden. Wir weisen einen vertrauenswürdigen Freund oder gehorsamen Computer an, außerhalb unseres Sichtfelds Folgendes zu tun:
- Wirf vier Würfel.
- Wenn keiner der Würfel eine Sechs zeigt, gehe Zurück zu Schritt 1, nichts melden.
- Melden Sie „EINER VON IHNEN ZEIGT SECHS“.
Wenn wir dies spielen manipuliertes Spiel viele Male, dann ja – die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass genau eins eine Sechs zeigt, wenn EINER VON IHNEN SECHS ZEIGT, ist gleich
\ frac {4 * 5 ^ 3 } {6 ^ 4-5 ^ 4}.
Der einzig mögliche Weg, in dieser Situation zu sein, ist die Unterstützung einer Entität mit vollständiger Kenntnis des Ergebnisses, die absichtlich nur einen Teil von zurückmeldet die Informationen an Sie. Deshalb nenne ich die Situation „manipuliert“. Das ist übrigens genau der gleiche Grund, warum das berühmte Problem „3 Türen“ von Monty Hall a.k.a. nicht intuitiv ist – es kann auch nur mit Hilfe eines allwissenden Gastgebers gespielt werden.