Nejlepší odpověď
Vaše prohlášení je
- někdy pravda (s nekonečným počtem příkladů, které ji činí pravdivou); a
- někdy nepravdivé (s nekonečným počtem příkladů, které dokazují, že je nepravdivé);
ale protože vaše prohlášení používá slovo any,
- celé vaše prohlášení je nepravdivé, protože
- existuje nekonečné množství příkladů, kde součin dvou iracionálních čísel vytváří racionální číslo.
Zde je návod, jak najít jeden z mnoha (nekonečných) příkladů, které dokazují, že toto tvrzení je nepravdivé. .
- Nechť A se rovná libovolnému složenému číslu (součin dvou nebo více prvočísel). Jinými slovy, A bude jakékoli jiné než prvočíslo větší než 1. (Například 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20 atd.)
- Vypočítejte B rovnou druhé mocnině A. (Například 16, 36, 64, 81, 100, 144, 196, 225, 256, 324, 400 atd.)
- Nechť C je rovná se jakémukoli faktoru A, který není dokonalým čtvercem, který by mohl zahrnovat A sám. (Například 2; 2/3/6; 2/8; 3; 2/5/10; 2/3/6/12; 2/7/14; 3/5/15; 2/8; 2 / 3/6/18; 2/5/10/20; atd.)
- Vypočítejte D rovné B děleno C.
- Vaše dvě iracionální čísla jsou √C a √D .
- Racionální součin √C a √D se rovná A.
Dovolte mi to ilustrovat na příkladu:
- Moje narozeniny jsou 26. (něco), takže A = 26
- B = 676
- C může být 2, 13 nebo 26, takže použiji 13, můj šťastné číslo C = 13
- D = 676 ÷ 13 = 52
- Jaký je výsledek dvou iracionálních čísel: √13 a √52?
- √ 13 x √52 = √676, což se rovná racionálnímu číslu: 26
Jak vidíte, existuje NEKONEČNÉ množství příkladů, kde je produkt racionální, ale existuje také NEKONEČNÝ počet příkladů, kde je produkt iracionální.
Podobnou metodou můžete najít některý z mnoha příkladů dvou iracionálních čísel s iracionálním produktem. Stačí začít s A rovným libovolnému složenému číslu, které není dokonalým čtvercem, a nechat B rovné A. Kroky 3–5 budou identické a krok 6 vám dá iracionální odpověď.
Odpověď
Zvažte \ sqrt {2} \ not \ in \ mathbb {Q}. Podle definice \ sqrt {2} \ times \ sqrt {2} = 2 \ in \ mathbb {Z} \ subseteq \ mathbb {Q}. Protože iracionální (reálná) čísla jsou v doplňku racionálních čísel v realitách (podle definice), nebo, jinými slovy, iracionální čísla jsou \ mathbb {R} \ setminus \ mathbb {Q}, můžeme jasně vidět, že našli jsme příklad dvou iracionálních čísel, jejichž součin není iracionální číslo.
Dobře, podváděl jsem tady, protože jsem zvolil stejné iracionální číslo, ale ilustruje to, že součin iracionálních čísel nemusí být nutně iracionální (i když tomu tak bude většinou času).
Nyní, produkt dvou transcendentní čísla (která nejsou kořeny žádného polynomu s celočíselnými koeficienty a jsou podmnožinou iracionálních čísel – tvoří je převážnou část!), i že není zaručeně iracionální. Koneckonců, pokud x je transcendentální, pak také \ frac {1} {x}. Ale x \ times \ frac {1} {x} = 1, což je celé číslo, tedy není iracionální. Což posiluje smysl!