Melhor resposta
Sua afirmação é
- às vezes verdadeiro (com um número infinito de exemplos tornando-o verdadeiro); e
- às vezes falso (com um número infinito de exemplos provando que é falso);
mas como sua declaração usa a palavra qualquer,
- sua declaração inteira é falsa, porque
- há um número infinito de exemplos onde o produto de dois números irracionais forma um número racional.
Aqui está como encontrar um dos muitos (infinitos) exemplos que provam que esta afirmação é falsa .
- Seja A igual a qualquer número composto (o produto de quaisquer dois ou mais números primos). Em outras palavras, A será qualquer número não primo maior que 1. (por exemplo, 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, etc.)
- Calcule B igual ao quadrado de A. (Por exemplo, 16, 36, 64, 81, 100, 144, 196, 225, 256, 324, 400, etc.)
- Seja C igual a qualquer fator de A que não seja um quadrado perfeito, que pode incluir o próprio A. (Por exemplo, 2; 2/3/6; 2/8; 3; 2/5/10; 2/3/6/12; 2/7/14; 3/5/15; 2/8; 2 / 3/6/18; 2/5/10/20; etc.)
- Calcule D igual a B dividido por C.
- Seus dois números irracionais são √C e √D .
- O produto racional de √C e √D é igual a A.
Deixe-me ilustrar isso com um exemplo:
- Meu aniversário é no dia 26 de (alguma coisa), então A = 26
- B = 676
- C pode ser 2, 13 ou 26, então usarei 13, meu número da sorte C = 13
- D = 676 ÷ 13 = 52
- Qual é o produto dos dois números irracionais: √13 e √52?
- √ 13 x √52 = √676 que é igual ao número racional: 26
Como você pode ver, há um número INFINITO de exemplos onde o produto é racional, mas também há um Número INFINITO de exemplos em que o produto é irracional.
Você pode usar um método semelhante para encontrar qualquer um dos muitos exemplos de dois números irracionais com um produto irracional. Comece com A igual a qualquer número composto que não seja um quadrado perfeito e deixe B igual a A. As etapas 3–5 serão idênticas e a etapa 6 fornecerá uma resposta irracional.
Resposta
Considere \ sqrt {2} \ não \ in \ mathbb {Q}. Por definição, \ sqrt {2} \ times \ sqrt {2} = 2 \ in \ mathbb {Z} \ subseteq \ mathbb {Q}. Uma vez que os números irracionais (reais) estão no complemento dos números racionais nos reais (por definição), ou, em outras palavras, os números irracionais são \ mathbb {R} \ setminus \ mathbb {Q}, podemos ver claramente que encontramos um exemplo de dois números irracionais cujo produto não é um número irracional.
Ok, eu trapaceei aqui, porque escolhi o mesmo número irracional, mas ilustra o ponto de que um produto de irracionais não será necessariamente irracional (mesmo que seja esse o caso na maior parte do tempo).
Agora, o produto de dois números transcendentais (que não são as raízes de nenhum polinômio com coeficientes inteiros e são um subconjunto dos números irracionais – na verdade, eles constituem a maior parte deles!), mesmo que não é garantido que seja irracional. Afinal, se x é transcendental, então \ frac {1} {x} também é. Mas x \ times \ frac {1} {x} = 1, que é um inteiro, portanto não irracional. O que reforça o ponto!