Beste Antwort
Ihre Aussage lautet
- manchmal wahr (mit einer unendlichen Anzahl von Beispielen, die es wahr machen); und
- manchmal false (mit einer unendlichen Anzahl von Beispielen, die beweisen, dass es falsch ist);
Da Ihre Anweisung jedoch das Wort any verwendet,
- ist Ihre gesamte Anweisung falsch, da
- Es gibt unendlich viele Beispiele, bei denen das Produkt zweier irrationaler Zahlen eine rationale Zahl ergibt.
So finden Sie eines der vielen (unendlichen) Beispiele, die beweisen, dass diese Aussage falsch ist .
- Sei A gleich einer zusammengesetzten Zahl (das Produkt aus zwei oder mehr Primzahlen). Mit anderen Worten, A ist eine beliebige Nicht-Primzahl größer als 1. (Zum Beispiel 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20 usw.)
- Berechnen Sie B gleich dem Quadrat von A. (Zum Beispiel 16, 36, 64, 81, 100, 144, 196, 225, 256, 324, 400 usw.)
- Sei C gleich jedem Faktor von A, der kein perfektes Quadrat ist, einschließlich A selbst. (Zum Beispiel 2; 2/3/6; 2/8; 3; 2/5/10; 2/3/6/12; 2/7/14; 3/5/15; 2/8; 2 / 3/6/18; 2/5/10/20; etc.)
- Berechnen Sie D gleich B geteilt durch C.
- Ihre beiden irrationalen Zahlen sind √C und √D
- Das rationale Produkt von √C und √D ist gleich A.
Lassen Sie mich dies anhand eines Beispiels veranschaulichen:
- Mein Geburtstag ist am 26. von (etwas), also könnte A = 26
- B = 676
- C 2, 13 oder 26 sein, also verwende ich 13, my Glückszahl C = 13
- D = 676 ÷ 13 = 52
- Was ist das Produkt der beiden irrationalen Zahlen: √13 und √52?
- √ 13 x √52 = √676, was der rationalen Zahl entspricht: 26
Wie Sie sehen können, gibt es eine UNENDLICHE Anzahl von Beispielen, bei denen das Produkt rational ist, aber es gibt auch eine UNENDLICHE Anzahl von Beispielen, bei denen das Produkt irrational ist.
Mit einer ähnlichen Methode können Sie eines von vielen Beispielen für zwei irrationale Zahlen mit einem irrationalen Produkt finden. Beginnen Sie einfach mit A, das einer zusammengesetzten Zahl entspricht, die kein perfektes Quadrat ist, und lassen Sie B gleich A sein. Die Schritte 3 bis 5 sind identisch, und Schritt 6 gibt Ihnen eine irrationale Antwort.
Antwort
Betrachten Sie \ sqrt {2} \ not \ in \ mathbb {Q}. Per Definition ist \ sqrt {2} \ times \ sqrt {2} = 2 \ in \ mathbb {Z} \ subseteq \ mathbb {Q}. Da irrationale (reelle) Zahlen (per Definition) im Komplement der rationalen Zahlen in den reellen Zahlen stehen oder mit anderen Worten irrationale Zahlen \ mathbb {R} \ setminus \ mathbb {Q} sind, können wir das ziemlich deutlich sehen Wir haben ein Beispiel für zwei irrationale Zahlen gefunden, deren Produkt keine irrationale Zahl ist.
OK, ich habe hier betrogen, weil ich dieselbe irrationale Zahl gewählt habe, aber es zeigt den Punkt, dass ein Produkt irrationaler Zahlen ist wird nicht unbedingt irrational sein (selbst wenn dies der Fall sein wird meistens ).
Nun ist das Produkt von zwei transzendentale Zahlen (die nicht die Wurzeln eines Polynoms mit ganzzahligen Koeffizienten sind und eine Teilmenge der irrationalen Zahlen sind – tatsächlich machen sie den größten Teil davon aus!), Selbst , dass nicht garantiert irrational ist. Wenn x transzendent ist, ist es schließlich auch \ frac {1} {x}. Aber x \ times \ frac {1} {x} = 1, eine ganze Zahl, also nicht irrational. Was den Punkt verstärkt!