Beste antwoord
Uw verklaring is
- soms waar (met een oneindig aantal voorbeelden die het waar maken); en
- soms false (met een oneindig aantal voorbeelden die bewijzen dat het onwaar is);
maar aangezien uw verklaring het woord any gebruikt,
- is uw volledige verklaring onjuist, omdat
- er is een oneindig aantal voorbeelden waarbij het product van twee irrationele getallen een rationaal getal vormt.
Hier is hoe je een van de vele (oneindige) voorbeelden kunt vinden die bewijzen dat deze bewering onwaar is .
- Laat A gelijk zijn aan een willekeurig samengesteld getal (het product van twee of meer priemgetallen). Met andere woorden, A is elk niet-priemgetal groter dan 1. (bijvoorbeeld 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, etc.)
- Bereken B gelijk aan het kwadraat van A. (bijvoorbeeld 16, 36, 64, 81, 100, 144, 196, 225, 256, 324, 400, etc.)
- Laat C gelijk aan elke factor van A die geen perfect vierkant is, inclusief A zelf. (Bijvoorbeeld 2; 2/3/6; 2/8; 3; 2/5/10; 2/3/6/12; 2/7/14; 3/5/15; 2/8; 2 / 3/6/18; 2/5/10/20; etc.)
- Bereken D gelijk aan B gedeeld door C.
- Je twee irrationele getallen zijn √C en √D .
- Het rationele product van √C en √D is gelijk aan A.
Laat me dit illustreren met een voorbeeld:
- Mijn verjaardag is op de 26 van (iets), dus A = 26
- B = 676
- C kan 2, 13 of 26 zijn, dus ik gebruik 13, mijn geluksgetal C = 13
- D = 676 ÷ 13 = 52
- Wat is het product van de twee irrationele getallen: √13 en √52?
- √ 13 x √52 = √676 wat gelijk is aan het rationale getal: 26
Zoals je kunt zien, is er een ONEINDIG aantal voorbeelden waarbij het product rationeel is, maar er zijn ook een ONEINDIG aantal voorbeelden waarbij het product irrationeel is.
Je kunt een vergelijkbare methode gebruiken om een van de vele voorbeelden te vinden van twee irrationele getallen met een irrationeel product. Begin gewoon met A gelijk aan een willekeurig samengesteld getal dat geen perfect vierkant is, en laat B gelijk zijn aan A. Stappen 3-5 zullen identiek zijn, en stap 6 geeft je een irrationeel antwoord.
Antwoord
Beschouw \ sqrt {2} \ niet \ in \ mathbb {Q}. Per definitie is \ sqrt {2} \ tijden \ sqrt {2} = 2 \ in \ mathbb {Z} \ subseteq \ mathbb {Q}. Aangezien irrationele (reële) getallen het complement zijn van de rationale getallen in de reële getallen (per definitie), of met andere woorden, irrationele getallen zijn \ mathbb {R} \ setminus \ mathbb {Q}, kunnen we heel duidelijk zien dat we hebben een voorbeeld gevonden van twee irrationele getallen waarvan het product geen irrationeel getal is.
OK, ik heb hier vals gespeeld, omdat ik hetzelfde irrationele getal heb gekozen, maar het illustreert het punt dat een product van irrationele getallen hoeft niet per se irrationeel te zijn (zelfs als dat het geval is de meeste van de tijd).
Nu is het product van twee transcendentale getallen (die niet de wortels zijn van een polynoom met gehele coëfficiënten, en een subset zijn van de irrationele getallen – inderdaad, ze vormen het grootste deel ervan!), zelfs dat is niet gegarandeerd irrationeel. Immers, als x transcendentaal is, dan is \ frac {1} {x} dat ook. Maar x \ times \ frac {1} {x} = 1, wat een geheel getal is, dus niet irrationeel. Wat het punt versterkt!