Nejlepší odpověď
Doufám, že jste s Teorií množin v pořádku. Nevím, jak nádherná jsou přirozená čísla. 🙂
Takže nejprve, než prokážeme 2 + 2 = 4 , pojďme nejprve poznat, co jsou přirozená čísla. V nematematickém jazyce by to byla jen jména daná počtu, který dáme. Potom voláme nula, jedna, dvě, atd. ………. Zároveň jsme jim ale mohli pojmenovat nějaké TOM, DICK, HARRY atd. …);
Nyní je definujeme Teoreticky –
Vzhledem k tomu, že všechna čísla od 1 do N existuje, číslo N + 1 je definováno jako –
N + 1 = N∪ \ {N \}
Jinými slovy můžeme říci, že operátor „ +1 ” nedělá nic jiného než spojení největší sady menší než je sada, kterou provozujeme se sadou obsahující tento největší set menší než set, na kterém jsme operovali. (Toto je pouze definice výše uvedené rovnice: P)
Definujeme 0 jako prázdnou množinu,
0 = \ {\} = Φ
Nyní rekurzivně definujeme další čísla –
1 = 0∪ \ {0 \} = Φ∪ \ {0 \} = \ {0 \}
2 = 1∪ \ {1 \} = \ {0 \} ∪ \ {1 \} = \ {0,1 \}
3 = 2 ∪ \ {2 \} = \ {0,1 \} ∪ \ {1 \} = \ {0,1,2 \}
4 = 3∪ \ {3 \} = \ {0 , 1,2 \} ∪ \ {3 \} = \ {0,1,2,3 \}
a tak dále …….
Můžeme vlastně tímto způsobem dokázat, že – N = \ {0,1,2,3, …, N-1 \}
Nyní N + 2 = N + (1 + 1) = (N + 1) + 1 = (N + 1) ∪ \ {(N + 1) \} = \ {0,1,2,3 …, N- 1 \} ∪ \ {N \} ∪ \ {(N + 1) \} = \ {0,1,2,3 …, N + 1 \}
Dobrá otázka by byla proč se operátor „ +2 “ stal rovným „ + (1 + 1) ”, Je to jednoduše proto, že jsme 2 tímto způsobem definovali. Také proč se závorky spojily? Jednoduše proto, že máme co do činění s množinami (to také bez netriviálních operátorů), můžeme to udělat. 😉
Nyní připojíme N = 2 a Voila !!
2 + 2 = \ { 0,1,2,3 \} = 4
PS. Omlouváme se za to, že jsme tak dlouho, ale takto to děláme.
Můžete se odvolat na Set-teoretická definice přirozených čísel
A ano, učili mě to na mém kurzu Diskrétní matematiky. Děkuji instruktorovi.
Odpověď
Samozřejmě. Toto je formální matematika . Pokud bychom nemohli dokázat 2 + 2 = 4, netvrdili bychom, že je to na prvním místě pravda.
První otázka, kterou bychom si měli položit, je: Co vlastně 2 + 2 = 4 znamenat? Co je 2? Co je 4? Co je +? A co je =? Obecněji řečeno, co je přirozené číslo? A jak jsou nad nimi definovány operace a vztahy?
Rovnost
Pravděpodobně to už víte, ale já přesto to uvést. Moje odpověď musí být logicky uzavřena (jen buďte vděční, že jsem nevycházel z axiomů ZFC, ale ať už…). Rovnost je každopádně vztah mezi dvěma věcmi. Jistě, ale co je to relace?
Binární relace R mezi množinami A a B je definována následovně:
R \ subseteq A \ times B
Kde \ times je kartézský součin. Takže aRb je pravdivé právě tehdy, když (a, b) \ v R.
Rovnost = je vztah s následujícími vlastnostmi:
- Reflexivita: \ forall x: x = x
- Symetrie: \ forall x, y: x = y \ implikuje y = x
- Transitivita: \ forall x, y, z: ((x = y \ land y = z) \ implikuje x = z)
Přírodní čísla: Nejkrásnější nepřirozená věc vůbec
Pokud se někoho zeptáte, co je přirozené číslo, obvykle uslyšíte „1,2,3,…“, jako by to záležitost vyřešilo. Skutečná definice odstraňuje nejednoznačnost a činí věc mnohem atraktivnější. Co jsou to přirozená čísla?
Sada {} ^ {(*)} \ N, jejíž prvky prokazatelně respektují Peanoovy axiomy, je množina přirozených čísel. Rovnost je definována přes tuto sadu, což znamená, že přirozená čísla jsou uzavřena pod rovností (samozřejmě). Zde jsou Peanoovy axiomy:
- 0 \ in \ N
- Nástupnická funkce S: \ N \ to \ N má následující vlastnosti:
- \ forall n \ in \ N: S (n) \ in \ N
- \ forall n, m \ in \ N: m = n \ iff S (n) = S (m)
- \ nexists n \ in \ N: S (n) = 0
Skončili jsme? Podívejme se, co tyto axiomy znamenají. První věc, kterou nám bylo řečeno, je, že 0 je přirozené číslo. Podle axiomu 2a je S (0) také v \ N. Stejně tak S (S (0)), S (S (S (0))) a S (S (… S (S (0)))). Vypadá to jako nějaká „řádková struktura“, jako by sada připustila celkovou objednávku. Ale co když \ existuje n \ v \ N, n \ neq 0: (\ nexists m \ in \ N: S (m) = n)? To znamená, že by mohlo existovat přirozené číslo, které není nástupcem žádného přirozeného čísla? Uvidíme. Vezměte množinu:
M = \ {0, S (0), S (S (0)), …, z, S (z), S (S (z)) ,. .. \}
To znamená, že množina obsahuje 0 a všechny jeho nástupce az a všechny jeho nástupce.Má výše uvedenou vlastnost, že z není nástupcem žádného jiného přirozeného čísla. Ověřuje M axiomy? Axiom 1 je triviálně ověřen pohledem na něj. Axiom 2a je také ověřen: podle toho, jak jsme definovali množinu, se ukázalo, že je uzavřena pod funkcí nástupce. Podobně platí, že 2b a 2c platí i pro M. Množina, kterou jsem zkonstruoval výše, má dvě zcela nezávislé „linky“ (říkejte jim 0 linie a z linie), a proto neumožňuje celkové pořadí.
Ale … ale … to není to, co chceme.
Přirozená čísla vznikla jako intuitivní způsob, jak nejprve porozumět některým aspektům reality, a definice byla zachycena až mnohem, mnohem později formálně. A už jsme měli intuitivní pochopení toho, jak by se měli chovat. Abychom se vyhnuli M, potřebujeme další axiom.
- Indukční axiom: (0 \ in X \ land (\ forall n \ in \ N: n \ in X \ implikuje S ( n) \ v X) \ implikuje \ N \ subseteq X
Z toho vyplývá, že každé přirozené číslo, kromě 0, je nástupcem jiného přirozeného čísla. S axiomem indukce je celkem (nebo někdy nazývaný lineární ) řád lze vyvolat v \ N. Protože to v této odpovědi nemá velký význam, nebudeme pojem formálně definovat z celkové objednávky.
Většina čtenářů, kteří se dostali do tohoto bodu, mohou vidět 2 = S (S (0)) a 4 = S (S (S (S (0)))), ale aby k dosažení matematických formalizmů, jak můžeme sestrojit \ N čistě ze stanovených teoretických představ?
Von Neumannova konstrukce přirozených čísel
Ukážu, jak lze takového výkonu dosáhnout. Definujte 0 = \ {\} a S (n) = n \ cup \ {n \}. Potom:
S (0 ) = \ {\ {\} \}
S (S (0)) = \ {\ {\}, \ {\ {\} \} \}
S (S (S (0))) = \ {\ {\}, \ {\ {\} \}, \ {\ {\}, \ {\ {\} \} \} \}
(…)
Doufám, že mi tam nic nechybělo, to je v La docela matoucí. Každopádně jde o to, že nástupce n bude obsahovat každé předchozí přirozené číslo, včetně n. Je snadnější vidět, že pokud to napíšeme takto:
0 = \ {\}
1 = S (0) = \ {0 \}
2 = S (S (0)) = \ {0, 1 \}
3 = S (S (S (0))) = \ {0, 1, 2 \}
(…)
Jak vidíte, existuje mnoho sad vyhovujících Peano Axioms, kterým říkáme „reprezentace“ nebo modely abstraktního objektu \ N. To znamená, že množiny jsou definovány různými způsoby, ale sémanticky jsou přesně stejné.
Dost už samotných přirozených čísel. Pojďme k jediné nedefinované věci: +
Doplněk k přirozeným číslům
Definujte operaci + nad \ N jako:
\ forall n \ in \ N: n + 0 = n
\ forall a, b \ in \ N: S (a + b) = a + S (b)
Jistě, to znamená, že S (n) = n + 1, protože n + 1 = n + S (0) a podle definice n + S (0) = S (n + 0) = S (n). Je + asociativní a komutativní, jak bychom očekávali? Samozřejmě! A jako by to nebylo dost krásy, použijeme Axiom indukce. Nejprve musíme vědět, jestli \ forall n \ in \ N: 0 + n = n:
- 0 je identita doplňku :
Definujte predikát P (n) jako \ forall n \ in \ N: 0 + n = n. P (0) jasně platí: 0 + 0 = 0 podle první definice. Podle axiomu indukce:
n + 0 = 0 + n \ naznačuje
S (n + 0) = S (0 + n) \ naznačuje
S (n) = 0 + S (n) \ implikuje
\ forall n \ in \ N: 0 + n = n
- Asociativita:
Definujte P (c) jako \ forall a, b \ in \ N: (a + b) + c = a + (b + c)
P (0):
(a + b) + 0 = a + b
a + (b + 0) = a + b
Nyní musíme ukázat, že:
P (c) \ implikuje P (S (c)):
Předpokládejme P (c):
(a + b) + c = a + (b + c) \ implikuje
S ((a + b) + c) = S (a + (b + c)) \ implikuje
(a + b) + S (c ) = a + S (b + c) \ implikuje
(a + b) + S (c) = a + (b + S (c))
- Commutativity :
Přiřaďte název P (\ ell) (\ ell \ in \ N) predikátu \ forall n \ in \ N: n + \ ell = \ ell + n. Pro \ ell = 1:
P (1):
Jako základní případ použijeme 1 (protože jsme již zobrazili 0 dojíždění se vším) a dokážeme P (1 ) s indukcí nad G (a): a + 1 = 1 + a. G (0) je samozřejmě triviální. Nyní dokážme, že G (a) \ znamená G (a + 1).
S (a) + 1 = S (a) + S (0) \ naznačuje
S ( a) + 1 = S (S (a) + 0) \ implikuje
S (a) + 1 = S (a + 1) \ implikuje
Indukční hypotézou:
S (a) + 1 = S (1 + a) \ znamená
S (a) + 1 = 1 + S (a)
základní případ je hotový, indukční krok k postupu!
P (\ ell) \ implikuje P (S (\ ell)):
Předpokládejme P (\ ell):
n + \ ell = \ ell + n \ implikuje
S (n + \ ell) = S (\ ell + n) \ implikuje
n + S ( \ ell) = \ ell + S (n) \ implikuje
n + \ ell + 1 = \ ell + n + 1
Podle základního případu (1 dojíždí se vším) :
n + \ ell + 1 = \ ell + 1 + n
n + S (\ ell) = S (\ ell) + n
A naše oblíbené vlastnosti přidání jsme prokázali přímo z definice!
Aktuální otázka
Nyní, Dokážu 2 + 2 = 4. Je to trochu nudné, ale doufejme, že cesta byla nějak poučná. 2 = S (S (0)) a 4 = S (S (S (S (0)))).
2 + 2 = S (S (0)) + S (S (0)) \ naznačuje
2 + 2 = S (S (S (0)) + S (0)) \ implikuje
2 + 2 = S (S (S (0 ()) + 1) \ implikuje
2 + 2 = S (S (S (S ( 0)))) = 4
Skvělé! Udělali jsme to!
Jistě, můžete také definovat desítkovou notaci, ale 2 a 4 si zachovají stejný význam pouhou definicí. Stručně řečeno, celá tato odpověď je gigantická „podle definice“ a stejně jako matematika.
Doufám, že se vám to líbilo!
Pokud jsem udělal chybu, nebo je tu něco, co přidám nebo upravím odpověď, rád bych věděl.