Beste antwoord
Ik hoop dat je het goed vindt met Set Theory. Ik kan niet zeggen hoe geweldig natuurlijke getallen zijn. 🙂
Laten we dus eerst kijken wat natuurlijke getallen zijn, voordat we 2 + 2 = 4 bewijzen. In een niet-wiskundige taal zouden het alleen maar namen zijn die aan de telling worden gegeven. We noemen dan nul, een, twee, enzovoort ………. Maar tegelijkertijd hadden we ze gewoon een paar TOM, DICK, HARRY , enzovoort kunnen noemen ……;).
Laten we ze nu definiëren Theoretisch ingesteld –
Gezien het feit dat alle getallen van 1 tot N bestaan, het nummer N + 1 is gedefinieerd als –
N + 1 = N∪ \ {N \}
Met andere woorden, we kunnen zeggen dat de operator “ +1 ” niets anders doet dan de grootste set kleiner maakt dan de set die we gebruiken met de set met deze grootste set kleiner dan de set waarmee we opereerden. (Dit is slechts de definitie van de bovenstaande vergelijking: P)
We definiëren 0 als een lege set,
0 = \ {\} = Φ
Nu definiëren we recursief de volgende nummers –
1 = 0∪ \ {0 \} = Φ∪ \ {0 \} = \ {0 \}
2 = 1∪ \ {1 \} = \ {0 \} ∪ \ {1 \} = \ {0,1 \}
3 = 2 ∪ \ {2 \} = \ {0,1 \} ∪ \ {1 \} = \ {0,1,2 \}
4 = 3∪ \ {3 \} = \ {0 , 1,2 \} ∪ \ {3 \} = \ {0,1,2,3 \}
enzovoort …….
We kunnen op deze manier daadwerkelijk bewijzen dat – N = \ {0,1,2,3, …, N-1 \}
Nu N + 2 = N + (1 + 1) = (N + 1) + 1 = (N + 1) ∪ \ {(N + 1) \} = \ {0,1,2,3 …, N- 1 \} ∪ \ {N \} ∪ \ {(N + 1) \} = \ {0,1,2,3 …, N + 1 \}
Een goede vraag zou zijn waarom is de operator “ +2 ” gelijk geworden aan “ + (1 + 1) ”, Dit is simpelweg omdat we 2 op die manier hebben gedefinieerd. Waarom associëren de haakjes zich ook? Simpelweg omdat we te maken hebben met sets (ook dat zonder niet-triviale operatoren), kunnen we dat doen. 😉
Nu pluggen we gewoon N = 2 in en voila !!
2 + 2 = \ { 0,1,2,3 \} = 4
PS. Sorry dat het zo lang duurt, maar dit is hoe we het doen.
U kunt verwijzen naar Set-theoretische definitie van natuurlijke getallen
En ja, ik heb dit geleerd in mijn Discrete Mathematics Course. Ik bedank de instructeur.
Antwoord
Natuurlijk. Dit is formele wiskunde . Als we 2 + 2 = 4 niet konden bewijzen, zouden we in de eerste plaats niet beweren dat het waar is.
De eerste vraag die we onszelf zouden moeten stellen is: wat betekent 2 + 2 = 4 eigenlijk gemeen? Wat is 2? Wat is 4? Wat is +? En wat is =? Meer in het algemeen, wat is een natuurlijk getal? En hoe worden bewerkingen en relaties erover gedefinieerd?
Gelijkheid
U weet dit waarschijnlijk al, maar ik heb om het toch te zeggen. Mijn antwoord moet logisch gesloten zijn (wees gewoon dankbaar dat ik niet ben uitgegaan van ZFC-axiomas, maar wat dan ook …). Hoe dan ook, gelijkheid is een relatie tussen twee dingen. Zeker, maar wat is een relatie?
Een binaire relatie R tussen sets A en B wordt als volgt gedefinieerd:
R \ subseteq A \ maal B
Waar \ times is het cartesiaanse product. Dus aRb is waar als en slechts als (a, b) \ in R.
Equality = een relatie is met de volgende eigenschappen:
- Reflexiviteit: \ forall x: x = x
- Symmetrie: \ forall x, y: x = y \ impliceert y = x
- Transitiviteit: \ forall x, y, z: ((x = y \ land y = z) \ impliceert x = z)
Natuurlijke getallen: het mooiste onnatuurlijke ooit
Als je iemand vraagt wat een natuurlijk getal is, hoor je gewoonlijk 1,2,3, … alsof daarmee de zaak is opgelost. De feitelijke definitie neemt de dubbelzinnigheid weg en maakt de zaak een stuk aantrekkelijker. Dus, wat zijn natuurlijke getallen?
De {} ^ {(*)} set \ N waarvan de elementen blijken te voldoen aan de Peano-axiomas is de set van natuurlijke getallen. Gelijkheid wordt gedefinieerd over deze set, wat betekent dat de natuurlijke getallen onder gelijkheid worden gesloten (uiteraard). Dit zijn de Peano Axiomas:
- 0 \ in \ N
- De opvolgerfunctie S: \ N \ to \ N heeft de volgende eigenschappen:
- \ forall n \ in \ N: S (n) \ in \ N
- \ forall n, m \ in \ N: m = n \ iff S (n) = S (m)
- \ nexists n \ in \ N: S (n) = 0
Zijn we klaar? Laten we eens kijken wat deze axiomas inhouden. Het eerste dat ons wordt verteld, is dat 0 een natuurlijk getal is. Volgens axioma 2a staat S (0) ook in \ N. Dus is S (S (0)), S (S (S (0))) en S (S (… S (S (0)))). Dit ziet eruit als een soort “lijnstructuur”, alsof de set een totale bestelling toelaat. Maar wat als \ bestaat n \ in \ N, n \ neq 0: (\ nexists m \ in \ N: S (m) = n)? Dat wil zeggen: zou er een natuurlijk getal kunnen zijn dat niet de opvolger is van een natuurlijk getal? Laten we zien. Neem de set:
M = \ {0, S (0), S (S (0)), …, z, S (z), S (S (z)) ,. .. \}
Dat wil zeggen, de set inclusief 0 en al zijn opvolgers en z en al zijn opvolgers.Het heeft de bovengenoemde eigenschap dat z niet de opvolger is van een ander natuurlijk getal. Verifieert M de axiomas? Welnu, axioma 1 wordt triviaal geverifieerd door ernaar te kijken. Axioma 2a wordt ook geverifieerd: door hoe we de set hebben gedefinieerd, blijkt deze gesloten te zijn onder de opvolgerfunctie. Evenzo zijn 2b en 2c ook waar voor M. De set die ik hierboven heb geconstrueerd heeft twee totaal onafhankelijke “lijnen” (noem ze de 0-lijn en de z-lijn) en staat daarom geen totale volgorde toe.
Maar … maar … dit is niet wat we willen.
Natural Numbers ontstond als een intuïtieve manier om eerst enkele aspecten van de werkelijkheid te begrijpen, en pas veel, veel later werd de definitie vastgelegd formeel. En we hadden al het intuïtieve begrip van hoe ze zich zouden moeten gedragen. Om M te vermijden, hebben we een extra axioma nodig.
- Axioma van inductie: (0 \ in X \ land (\ forall n \ in \ N: n \ in X \ impliceert S ( n) \ in X) \ impliceert \ N \ subseteq X
Dit houdt in dat elk natuurlijk getal, behalve 0, de opvolger is van een ander natuurlijk getal. Met het axioma van inductie, een totaal (of soms lineair genoemd) volgorde kan worden geïnduceerd in \ N. Aangezien het niet erg relevant is in dit antwoord, zullen we het begrip niet formeel definiëren van de totale volgorde.
De meeste lezers die op dit punt zijn gekomen, kunnen 2 = S (S (0)) en 4 = S (S (S (S (0)))) zien, maar om om wiskundige formalismen te bereiken, hoe kunnen we \ N dan puur uit verzamelde theoretische begrippen construeren?
De Von Neumann-constructie van de natuurlijke getallen
Ik zal laten zien hoe zon prestatie kan worden bereikt. Definieer 0 = \ {\} en S (n) = n \ cup \ {n \}. Dan:
S (0 ) = \ {\ {\} \}
S (S (0)) = \ {\ {\}, \ {\ {\} \} \}
S (S (S (0))) = \ {\ {\}, \ {\ {\} \}, \ {\ {\}, \ {\ {\} \} \} \}
(…)
Ik hoop dat ik daar niets gemist heb, dat is behoorlijk verwarrend in La. Hoe dan ook, het idee is dat de opvolger van n bevat elk vorig natuurlijk getal, inclusief n. Het is gemakkelijker om te zien dat als we het zo schrijven:
0 = \ {\}
1 = S (0) = \ {0 \}
2 = S (S (0)) = \ {0, 1 \}
3 = S (S (S (0))) = \ {0, 1, 2 \}
(…)
Zoals je kunt zien, zijn er veel sets die voldoen aan de Peano Axiomas, die we “representaties” of noemen modellen van het abstracte object \ N. Dat wil zeggen, de sets worden op verschillende manieren gedefinieerd, maar semantisch gezien zijn ze precies hetzelfde.
Genoeg met natuurlijke getallen zelf. Laten we naar het enige dat nog ongedefinieerd is gaan: +
Toevoeging aan de natuurlijke getallen
Definieer een bewerking + over \ N as:
\ forall n \ in \ N: n + 0 = n
\ forall a, b \ in \ N: S (a + b) = a + S (b)
Zeker, dat impliceert dat S (n) = n + 1, aangezien n + 1 = n + S (0) en per definitie n + S (0) = S (n + 0) = S (n). Is + associatief en commutatief zoals we zouden verwachten? Natuurlijk! En alsof dat nog niet genoeg schoonheid is, zullen we het Axioma van Inductie gebruiken. Eerst moeten we weten of \ forall n \ in \ N: 0 + n = n:
- 0 is de additieve identiteit :
Definieer het predikaat P (n) als \ forall n \ in \ N: 0 + n = n. P (0) geldt duidelijk: 0 + 0 = 0 volgens de eerste definitie. Volgens het inductie-axioma:
n + 0 = 0 + n \ impliceert
S (n + 0) = S (0 + n) \ impliceert
S (n) = 0 + S (n) \ impliceert
\ forall n \ in \ N: 0 + n = n
- Associativiteit:
Definieer P (c) als \ forall a, b \ in \ N: (a + b) + c = a + (b + c)
P (0):
(a + b) + 0 = a + b
a + (b + 0) = a + b
Nu moeten we aantonen dat:
P (c) \ impliceert P (S (c)):
Veronderstel P (c):
(a + b) + c = a + (b + c) \ impliceert
S ((a + b) + c) = S (a + (b + c)) \ impliceert
(a + b) + S (c ) = a + S (b + c) \ impliceert
(a + b) + S (c) = a + (b + S (c))
- Commutativiteit :
Geef de naam P (\ ell) (\ ell \ in \ N) aan het predikaat \ forall n \ in \ N: n + \ ell = \ ell + n. Voor \ ell = 1:
P (1):
We zullen 1 gebruiken (aangezien we al 0 pendelen met alles hebben getoond) als het basisscenario en P (1 ) met inductie via G (a): a + 1 = 1 + a. G (0) is natuurlijk triviaal. Laten we nu bewijzen dat G (a) \ impliceert G (a + 1).
S (a) + 1 = S (a) + S (0) \ impliceert
S ( a) + 1 = S (S (a) + 0) \ impliceert
S (a) + 1 = S (a + 1) \ impliceert
Door de inductiehypothese:
S (a) + 1 = S (1 + a) \ impliceert
S (a) + 1 = 1 + S (a)
De basisscenario is voltooid, inductieve stap te gaan!
P (\ ell) \ impliceert P (S (\ ell)):
Veronderstel P (\ ell):
n + \ ell = \ ell + n \ impliceert
S (n + \ ell) = S (\ ell + n) \ impliceert
n + S ( \ ell) = \ ell + S (n) \ impliceert
n + \ ell + 1 = \ ell + n + 1
Door het basisscenario (1 pendelt met alles) :
n + \ ell + 1 = \ ell + 1 + n
n + S (\ ell) = S (\ ell) + n
En we hebben onze favoriete toevoegeigenschappen rechtstreeks vanuit de definitie bewezen!
The Actual Question
Nu, Ik zal bewijzen 2 + 2 = 4. Het is een beetje saai, maar hopelijk was de weg op de een of andere manier verhelderend. Hoe dan ook, 2 = S (S (0)) en 4 = S (S (S (S (0)))).
2 + 2 = S (S (0)) + S (S (0)) \ impliceert
2 + 2 = S (S (S (0)) + S (0)) \ impliceert
2 + 2 = S (S (S (0)) + 1) \ impliceert
2 + 2 = S (S (S (S ( 0)))) = 4
Geweldig! We hebben het gedaan!
Natuurlijk, je zou ook de decimale notatie kunnen gaan definiëren, maar 2 en 4 behouden dezelfde betekenis door louter een definitie. Kortom, dit hele antwoord is “per definitie” een gigantische, net als wiskunde.
Ik hoop dat je genoten hebt van je manier!
Als ik een fout heb gemaakt of als er iets is dat je zou toevoegen of wijzigen aan het antwoord, zou ik graag willen weten.