Beste svaret
Jeg håper du har det bra med Set Theory. Jeg kan ikke fortelle hvor fantastiske er naturlige tall. 🙂
Så før vi beviser 2 + 2 = 4 , la oss først bli kjent med hva som er naturlige tall. På et ikke-matematisk språk vil det bare være navn gitt til antallet vi gir. Vi kaller da null, en, to, og så videre ………. Men samtidig kunne vi bare ha kalt dem noen TOM, DICK, HARRY og så videre ……;).
La oss nå definere dem Sett teoretisk –
Gitt at alle tallene fra 1 til N eksisterer, tallet N + 1 er definert som –
N + 1 = N∪ \ {N \}
Med andre ord kan vi si at operatøren “ +1 ” ikke gjør annet enn å forene det største settet mindre enn settet vi opererer videre med settet som inneholder dette største settet mindre enn settet vi opererte på. (Dette er bare definisjonen av ligningen ovenfor: P)
Vi definerer 0 som et tomt sett,
0 = \ {\} = Φ
Nå definerer vi rekursivt de neste tallene –
1 = 0∪ \ {0 \} = Φ∪ \ {0 \} = \ {0 \}
2 = 1∪ \ {1 \} = \ {0 \} ∪ \ {1 \} = \ {0,1 \}
3 = 2 ∪ \ {2 \} = \ {0,1 \} ∪ \ {1 \} = \ {0,1,2 \}
4 = 3∪ \ {3 \} = \ {0 , 1,2 \} ∪ \ {3 \} = \ {0,1,2,3 \}
og så videre …
Vi kan faktisk på denne måten bevise at – N = \ {0,1,2,3, …, N-1 \}
Nå N + 2 = N + (1 + 1) = (N + 1) + 1 = (N + 1) ∪ \ {(N + 1) \} = \ {0,1,2,3 …, N- 1 \} ∪ \ {N \} ∪ \ {(N + 1) \} = \ {0,1,2,3 …, N + 1 \}
Et godt spørsmål vil være hvorfor ble operatøren « +2 » lik « + (1 + 1) ”, Dette er ganske enkelt fordi vi definerte 2 på den måten. Også hvorfor forbinder parentesene? Bare fordi vi har å gjøre med sett (det også uten noen ikke-trivielle operatører), kan vi gjøre det. 😉
Nå plugger vi bare inn N = 2 og Voila !!
2 + 2 = \ { 0,1,2,3 \} = 4
PS. Beklager at jeg er så lang, men det er slik vi gjør det.
Du kan referere til Settteoretisk definisjon av naturlige tall
Og ja, jeg ble undervist i dette på mitt diskrete matematikkurs. Jeg takker instruktøren.
Svar
Selvfølgelig. Dette er formell matematikk . Hvis vi ikke kunne bevise 2 + 2 = 4, ville vi ikke påstå at det er sant i utgangspunktet.
Det første spørsmålet vi burde stille oss selv er: Hva gjør 2 + 2 = 4 egentlig mener? Hva er 2? Hva er 4? Hva er +? Og hva er =? Mer generelt, hva er et naturlig tall? Og hvordan defineres operasjoner og relasjoner over dem?
Likhet
Du vet sikkert allerede dette, men jeg har å si det uansett. Svaret mitt må være logisk lukket (bare vær takknemlig for at jeg ikke startet fra ZFC-aksiomer, men hva …). Uansett er likhet et forhold mellom to ting. Jada, men hva er en relasjon?
En binær relasjon R mellom sett A og B er definert som følger:
R \ subseteq A \ ganger B
Hvor \ times er det kartesiske produktet. Så aRb er sant hvis og bare hvis (a, b) \ i R.
Equality = er en sammenheng med følgende egenskaper:
- Refleksivitet: \ forall x: x = x
- Symmetri: \ forall x, y: x = y \ innebærer y = x
- Transitivitet: \ forall x, y, z: ((x = y \ land y = z) \ innebærer x = z)
Naturlige tall: Den vakreste unaturlige tingen noensinne
Hvis du spør noen om hva som er et naturlig tall, vil du vanligvis høre “1,2,3,…” som om det løste saken. Den faktiske definisjonen fjerner tvetydigheten og gjør saken mye mer attraktiv. Så, hva er naturlige tall?
{} ^ {(*)} settet \ N hvis elementer viser seg å respektere Peano-aksiomene er settet med naturlige tall. Likhet er definert over dette settet, noe som betyr at de naturlige tallene er lukket under likhet (åpenbart). Her er Peano-aksiomene:
- 0 \ in \ N
- Etterfølgerfunksjonen S: \ N \ to \ N har følgende egenskaper:
- \ forall n \ in \ N: S (n) \ in \ N
- \ forall n, m \ in \ N: m = n \ iff S (n) = S (m)
- \ nexists n \ in \ N: S (n) = 0
Er vi ferdige? Vel, la oss se hva disse aksiomene innebærer. Det første vi blir fortalt er at 0 er et naturlig tall. Ved aksiom 2a er også S (0) i \ N. Så er S (S (0)), S (S (S (0))) og S (S (… S (S (0)))). Dette ser ut som en slags «linjestruktur», som om settet ville innrømme en total ordre. Men hva om \ eksisterer n \ i \ N, n \ neq 0: (\ nexists m \ in \ N: S (m) = n)? Det vil si, kan det være et naturlig tall som ikke er etterfølgeren til noe naturlig tall? La oss se. Ta settet:
M = \ {0, S (0), S (S (0)), …, z, S (z), S (S (z)) ,. .. \}
Det vil si settet som inkluderer 0 og alle dets etterfølgere og z og alle dens etterfølgere.Den har den nevnte egenskapen at z ikke er etterfølgeren til noe annet naturlig tall. Verifiserer M aksiomene? Aksiom 1 bekreftes trivielt ved å se på det. Axiom 2a er også verifisert: av hvordan vi definerte settet, viser det seg å være lukket under etterfølgerfunksjonen. Tilsvarende gjelder også 2b og 2c for M. Settet jeg konstruerte ovenfor har to helt uavhengige «linjer» (kaller dem 0-linjen og z-linjen) og tillater derfor ikke en total ordre.
Men … men … dette er ikke det vi ønsker.
Naturlige tall oppsto som en intuitiv måte å forstå noen aspekter av virkeligheten først, og det var ikke før, mye senere at definisjonen ble fanget formelt. Og vi hadde allerede den intuitive forståelsen av hvordan de skulle oppføre seg. For å unngå M krever vi et ekstra aksiom.
- Induksjonsaksiom: (0 \ i X \ land (\ forall n \ in \ N: n \ i X \ innebærer S ( n) \ i X) \ innebærer \ N \ subseteq X
Dette innebærer at hvert naturlig tall, bortsett fra 0, er etterfølgeren til et annet naturlig tall. Med induksjonens aksiom er totalt (eller noen ganger kalt lineær ) rekkefølge kan induseres i \ N. Siden det ikke er særlig relevant i dette svaret, vil vi ikke formelt definere begrepet av total orden.
De fleste lesere som kom til dette punktet kan se 2 = S (S (0)) og 4 = S (S (S (S (0)))), men for å oppnå matematiske formalismer, hvordan kan vi konstruere \ N rent ut fra settteoretiske forestillinger?
The Von Neumann Construction of the Natural Numbers
Jeg viser hvordan en slik prestasjon kan oppnås. Definer 0 = \ {\} og S (n) = n \ cup \ {n \}. Deretter:
S (0 ) = \ {\ {\} \}
S (S (0)) = \ {\ {\}, \ {\ {\} \} \}
S (S (S (0))) = \ {\ {\}, \ {\ {\} \}, \ {\ {\}, \ {\ {\} \} \} \}
(…)
Jeg håper jeg ikke savnet noe der inne, det er ganske forvirrende i La. Uansett er ideen at etterfølgeren til n vil inneholde alle tidligere naturlige tall, inkludert n. Det er lettere å se at hvis vi skriver det slik:
0 = \ {\}
1 = S (0) = \ {0 \}
2 = S (S (0)) = \ {0, 1 \}
3 = S (S (S (0))) = \ {0, 1, 2 \}
(…)
Som du kan se, er det mange sett som samsvarer med Peano Axioms, som vi kaller «representasjoner» eller modeller av det abstrakte objektet \ N. Det vil si at settene er definert på forskjellige måter, men semantisk er de nøyaktig de samme.
Nok med selve naturlige tall. La oss gå til det eneste som er udefinert: +
Tillegg på de naturlige tallene
Definer en operasjon + over \ N som:
\ forall n \ in \ N: n + 0 = n
\ forall a, b \ in \ N: S (a + b) = a + S (b)
Visst nok, det innebærer at S (n) = n + 1, siden n + 1 = n + S (0) og per definisjon n + S (0) = S (n + 0) = S (n). Er + assosiativ og kommutativ som vi forventer? Selvfølgelig! Og som om det ikke var nok skjønnhet, vil vi bruke induksjonsaksiomet. Først må vi vite om \ for all n \ i \ N: 0 + n = n:
- 0 er additiv identitet :
Definer predikatet P (n) som \ forall n \ i \ N: 0 + n = n. P (0) holder tydelig: 0 + 0 = 0 etter den første definisjonen. Av induksjonsaksiomet:
n + 0 = 0 + n \ innebærer
S (n + 0) = S (0 + n) \ innebærer
S (n) = 0 + S (n) \ innebærer
\ forall n \ i \ N: 0 + n = n
- Associativitet:
Definer P (c) som \ forall a, b \ in \ N: (a + b) + c = a + (b + c)
P (0):
(a + b) + 0 = a + b
a + (b + 0) = a + b
Nå må vi vise at:
P (c) \ innebærer P (S (c)):
Anta P (c):
(a + b) + c = a + (b + c) \ innebærer
S ((a + b) + c) = S (a + (b + c)) \ antyder
(a + b) + S (c ) = a + S (b + c) \ innebærer
(a + b) + S (c) = a + (b + S (c))
- Kommutativitet :
Gi navnet P (\ ell) (\ ell \ in \ N) til predikatet \ forall n \ i \ N: n + \ ell = \ ell + n. For \ ell = 1:
P (1):
Vi vil bruke 1 (siden vi allerede har vist 0 pendler med alt) som basissak og bevise P (1 ) med induksjon over G (a): a + 1 = 1 + a. G (0) er selvfølgelig trivielt. La oss nå bevise at G (a) \ innebærer G (a + 1).
S (a) + 1 = S (a) + S (0) \ innebærer
S ( a) + 1 = S (S (a) + 0) \ innebærer
S (a) + 1 = S (a + 1) \ innebærer
Ved induksjonshypotesen:
S (a) + 1 = S (1 + a) \ innebærer
S (a) + 1 = 1 + S (a)
basissaken er ferdig, induktivt skritt å gå!
P (\ ell) \ innebærer P (S (\ ell)):
Anta P (\ ell):
n + \ ell = \ ell + n \ innebærer
S (n + \ ell) = S (\ ell + n) \ innebærer
n + S ( \ ell) = \ ell + S (n) \ innebærer
n + \ ell + 1 = \ ell + n + 1
Ved basissaken (1 pendler med alt) :
n + \ ell + 1 = \ ell + 1 + n
n + S (\ ell) = S (\ ell) + n
Og vi har bevist våre favorittegenskaper for tillegg direkte fra definisjonen!
Det faktiske spørsmålet
Nå, Jeg skal bevise 2 + 2 = 4. Det er litt kjedelig, men forhåpentligvis var veien på en eller annen måte opplysende. Uansett, 2 = S (S (0)) og 4 = S (S (S (S (0)))).
2 + 2 = S (S (0)) + S (S (0)) \ innebærer
2 + 2 = S (S (S (0)) + S (0)) \ antyder
2 + 2 = S (S (S (0)) + 1) \ antyder
2 + 2 = S (S (S (S ( 0)))) = 4
Flott! Vi gjorde det!
Visst, du kan også definere desimalnotasjon, men 2 og 4 beholder den samme betydningen bare ved definisjon. Kort sagt, hele dette svaret er et gigantisk «per definisjon» og det samme er matematikk.
Håper du likte deg!
Hvis jeg har gjort en feil, eller om det er noe du har vil legge til eller endre på svaret, vil jeg gjerne vite.