Legjobb válasz
Remélem, hogy jól állsz a halmazelmélettel. Nem tudom megmondani, milyen csodálatosak a természetes számok. 🙂
Tehát először, mielőtt bebizonyítanánk 2 + 2 = 4 , először megismerhetjük a természetes számokat. Egy nem matematikai nyelvben csak nevek lennének megadva a számolásnak. Ekkor nulla, egy, kettő és így tovább hívjuk ………. De ugyanakkor csak megnevezhettük volna őket TOM, DICK, HARRY és így tovább … …;).
Most definiálhatjuk őket Elméletileg –
Tekintve, hogy az összes szám 1 -tól N létezik, a N + 1 szám meghatározása –
N + 1 = N∪ \ {N \} azzal a készlettel, amely ezt a legnagyobb halmazt tartalmazza, kisebb, mint az általunk működtetett készlet. (Ez csak a fenti egyenlet meghatározása: P)
A 0 -ot üres halmazként definiáljuk,
0 = \ {\} = Φ
Most rekurzívan definiáljuk a következő számokat –
1 = 0∪ \ {0 \} = Φ∪ \ {0 \} = \ {0 \}
2 = 1∪ \ {1 \} = \ {0 \} ∪ \ {1 \} = \ {0,1 \}
3 = 2 ∪ \ {2 \} = \ {0,1 \} ∪ \ {1 \} = \ {0,1,2 \}
4 = 3∪ \ {3 \} = \ {0 , 1,2 \} ∪ \ {3 \} = \ {0,1,2,3 \}
és így tovább…..
Valójában így bizonyíthatjuk – N = \ {0,1,2,3, …, N-1 \}
Most N + 2 = N + (1 + 1) = (N + 1) + 1 = (N + 1) ∪ \ {(N + 1) \} = \ {0,1,2,3 …, N- 1 \} ∪ \ {N \} ∪ \ {(N + 1) \} = \ {0,1,2,3 …, N + 1 \}
Jó kérdés lenne miért lett a „ +2 ” operátor egyenlő a „ + (1 + 1) ”, Ez egyszerűen azért van, mert a 2 -ot így definiáltuk. Miért is társultak a zárójelek? Egyszerűen azért, mert halmazokkal van dolgunk (szintén nem triviális operátorok nélkül), meg tudjuk csinálni. 😉
Most csak bedugjuk a N = 2 és a Voila elemeket !!
2 + 2 = \ { 0,1,2,3 \} = 4
PS. Sajnáljuk, hogy ilyen hosszú volt, de így csináljuk.
Hivatkozhat a Természetes számok halmazelméleti meghatározására
És igen, ezt diszkrét matematika tanfolyamomon tanítottam meg. Köszönöm az oktatónak.
Válasz
Természetesen. Ez formális matematika . Ha nem tudnánk bizonyítani a 2 + 2 = 4 értéket, akkor nem állítanánk, hogy eleve igaz.
Az első kérdés, amelyet fel kell tennünk magunknak: Mit jelent a 2 + 2 = 4 valójában átlagos? Mi az a 2? Mi az a 4? Mi a +? És mi az =? Mi az a természetes szám? És hogyan definiálják felettük a műveleteket és a relációkat?
Egyenlőség
Valószínűleg ezt már tudja, de én amúgy is kijelenteni. A válaszomat logikusan le kell zárni (csak hálás legyek, hogy nem a ZFC axiómáiból indultam ki, hanem bármi …). Egyébként az egyenlőség viszony két dolog között. Persze, de mi a kapcsolat?
Az A és B halmazok közötti R bináris relációt a következőképpen határozzuk meg:
R \ subseteq A \ B-szeres
A \ szorzat a derékszögű szorzat. Tehát az aRb akkor és akkor igaz, ha (a, b) \ R-ben.
Az Equality = a következő tulajdonságokkal van összefüggésben:
- Reflexivitás: \ forall x: x = x
- Szimmetria: \ forall x, y: x = y \ y = x
- Transzitivitás: \ forall x, y, z: ((x = y \ land y = z) \ x = z)
Természetes számok: A valaha volt legszebb természetellenes dolog
Ha valakitől megkérdezzük, mi a természetes szám, akkor általában úgy hallja az „1,2,3,…” szót, mintha ez megoldotta volna a kérdést. A tényleges meghatározás eltávolítja a kétértelműséget, és sokkal vonzóbbá teszi az ügyet. Mi tehát a természetes szám?
A {} ^ {(*)} halmaz \ N, amelynek elemei bebizonyítják, hogy tiszteletben tartják a Peano axiómákat, a természetes számok halmaza. Az egyenlőség ezen a halmazon van definiálva, ami azt jelenti, hogy a természetes számok az egyenlőség alatt vannak (nyilvánvalóan). Itt vannak a Peano axiómák:
- 0 \ in \ N
- Az S: \ N \ to \ N utódfüggvény a következő tulajdonságokkal rendelkezik:
- \ forall n \ in \ N: S (n) \ in \ N
- \ n, m \ in \ N: m = n \ iff S (n) = S (m)
- \ nexisták n \ in \ N: S (n) = 0
Készen vagyunk? Nos, nézzük meg, mit jelentenek ezek az axiómák. Először azt mondják nekünk, hogy a 0 természetes szám. A 2a axióma szerint S (0) is \ N. Így van S (S (0)), S (S (S (0))) és S (S (… S (S (0)))). Ez valamiféle „vonalszerkezetnek” tűnik, mintha a készlet teljes sorrendet fogadna el. De mi van akkor, ha \ létezik n \ n \ n, n \ neq 0: (\ nexisták m \ in \ N: S (m) = n)? Vagyis létezhet olyan természetes szám, amely nem egy természetes szám utódja? Lássuk. Vegyük a halmazt:
M = \ {0, S (0), S (S (0)), …, z, S (z), S (S (z)) ,. .. \}
Vagyis a halmaz tartalmazza a 0-t és minden utódját, z-t és minden utódját.Megvan a fent említett tulajdonsága, hogy z nem egy másik természetes szám utódja. M igazolja-e az axiómákat? Nos, az 1. axiómát triviálisan ellenőrizzük, ha megnézzük. A 2a axiómát is ellenőrizzük: azáltal, hogy definiáltuk a halmazt, kiderül, hogy az utódfüggvény alatt zárva van. Hasonlóképpen, 2b és 2c igaz M-re is. Az általam felépített halmaz két teljesen független „vonallal” rendelkezik (nevezzük őket 0-nak és z vonalnak), ezért nem tesz lehetővé teljes sorrendet.
De … de … erre nem vágyunk.
A természetes számok intuitív módszerként merültek fel, hogy először megértsük a valóság egyes aspektusait, és csak sokkal, sokkal később sikerült rögzíteni a definíciót. formálisan. És már megéreztük, hogyan kell viselkedniük. Az M elkerülése érdekében további axiómára van szükség.
- Indukciós axióma: (0 \ X-ben \ land (\ forall n \ in \ N: n \ X-ben \ S-t jelent) n) \ in X) \ magában foglalja \ N \ subseteq X
Ez azt jelenti, hogy a 0 kivételével minden természetes szám egy másik természetes szám utódja. Az indukció axiómájával összesen (vagy néha lineáris ) sorrend indukálható \ N-ben. Mivel ebben a válaszban nincs sok jelentősége, ezért nem fogjuk formálisan meghatározni a fogalmat a teljes sorrendből.
A legtöbb olvasó, aki idáig jutott, láthatja 2 = S (S (0)) és 4 = S (S (S (S (0)))), de azért, hogy elérni a matematikai formalizmusokat, hogyan építhetünk \ N pusztán a meghatározott elméleti elképzelések alapján? p>
Megmutatom, hogyan érhető el egy ilyen bravúr. Definiáljon 0 = \ {\} és S (n) = n \ cup \ {n \}. Ezután:
S (0 ) = \ {\ {\} \}
S (S (0)) = \ {\ {\}, \ {\ {\} \} \}
S (S (S (0))) = \ {\ {\}, \ {\ {\} \}, \ {\ {\}, \ {\ {\} \} \} \}
(…)
Remélem, nem hiányzott semmi odabent, ez elég zavaró a La-ban. Mindenesetre az ötlet az, hogy az n minden korábbi természetes számot tartalmazni fog, beleértve az n-t is. Könnyebb belátni, hogy ha így írjuk:
0 = \ {\}
1 = S (0) = \ {0 \}
2 = S (S (0)) = \ {0, 1 \}
3 = S (S (S (0))) = \ {0, 1, 2 \}
(…)
Mint láthatja, sok olyan készlet van, amely megfelel a Peano axiómáknak, amelyeket „reprezentációknak” vagy az absztrakt objektum modelljei . Vagyis a halmazokat különböző eszközökkel definiálják, de szemantikailag pontosan megegyeznek.
Elég, ha maguk a természetes számok szerepelnek. Térjünk rá az egyetlen dologra, ami megmaradt: +
Összeadás a természetes számokkal
Művelet meghatározása + felett \ N mint:
\ összes n \ -ban \ N: n + 0 = n
\ mind a, b \ -ban \ N: S (a + b) = a + S (b)
Valóban, ez azt jelenti, hogy S (n) = n + 1, mivel n + 1 = n + S (0) és definíció szerint n + S (0) = S (n + 0) = S (n). A + asszociatív és kommutatív, mint várnánk? Természetesen! És mintha ez nem lenne elég szépség, az Indukció Axiómáját fogjuk használni. Először tudnunk kell, hogy \ forall n \ a \ N: 0 + n = n:
- 0 a additív identitás :
Határozza meg a P (n) állítmányt \ forall n \ névvel \ N: 0 + n = n. P (0) egyértelműen megfelel: 0 + 0 = 0 az első definíció szerint. Az indukció axiómája szerint:
n + 0 = 0 + n \ implicit
S (n + 0) = S (0 + n) \ implicit
S (n) = 0 + S (n) \ magában foglalja
\ összes n \ -t \ N-ben: 0 + n = n
- asszociativitás:
Határozza meg a P (c) -t úgy, hogy \ forall a, b \ in \ N: (a + b) + c = a + (b + c)
P (0):
(a + b) + 0 = a + b
a + (b + 0) = a + b
Most be kell mutatnunk, hogy:
P (c) \ P (S (c)) -t jelent:
Tegyük fel, hogy P (c):
(a + b) + c = a + (b + c) \ implicit
S ((a + b) + c) = S (a + (b + c)) \ implicit
(a + b) + S (c ) = a + S (b + c) \ implicit
(a + b) + S (c) = a + (b + S (c))
- kommutativitás :
Adja meg a P (\ ell) (\ ell \ in \ N) nevet a \ forall n \ predikátumnak \ N-ben: n + \ ell = \ ell + n. Az \ ell = 1 esetében:
P (1):
1-et fogunk használni (mivel már 0 ingázást mutattunk meg mindennel), és P ) indukcióval G (a) felett: a + 1 = 1 + a. A G (0) természetesen triviális. Most bizonyítsuk be, hogy G (a) \ implikálja G (a + 1) -t.
S (a) + 1 = S (a) + S (0) \ implicit
S ( a) + 1 = S (S (a) + 0) \ implicit
S (a) + 1 = S (a + 1) \ implicit
Az indukciós hipotézis szerint:
S (a) + 1 = S (1 + a) \ implicit
S (a) + 1 = 1 + S (a)
az alap eset megtörtént, induktív lépés a továbbiakban!
P (\ ell) \ implikálja P (S (\ ell)):
Tegyük fel, hogy P (\ ell):
n + \ ell = \ ell + n \ implicit
S (n + \ ell) = S (\ ell + n) \ implicit
n + S ( \ ell) = \ ell + S (n) \ azt jelenti, hogy
n + \ ell + 1 = \ ell + n + 1
Alapesetben (1 ingázik mindennel) :
n + \ ell + 1 = \ ell + 1 + n
n + S (\ ell) = S (\ ell) + n
És az addíció kedvenc tulajdonságait közvetlenül a definícióból igazoltuk!
A tényleges kérdés
Most, Bizonyítom, hogy 2 + 2 = 4. Kicsit unalmas, de remélhetőleg az út valahogy felvilágosító volt. Mindenesetre 2 = S (S (0)) és 4 = S (S (S (S (0)))).
2 + 2 = S (S (0)) + S (S (0)) \ implicit
2 + 2 = S (S (S (0)) + S (0)} \ implicit
2 + 2 = S (S (S (0)) + 1) \ implicit
2 + 2 = S (S (S (S ( 0)))) = 4
Remek! Megtettük!
Biztos, hogy definiálhatnánk a tizedesjelet is, de a 2. és a 4. puszta meghatározással megtartja ugyanazt a jelentést. Röviden, ez az egész válasz egy gigantikus „definíció szerint” és ugyanúgy, mint a matematika. szívesen megtudnám.