ベストアンサー
集合論で大丈夫だといいのですが。自然数がどれほど素晴らしいかはわかりません。 🙂
つまり、 2 + 2 = 4 を証明する前に、まず自然数とは何かを理解しましょう。非数学的な言語では、それは私たちが与えるカウントに付けられた名前にすぎません。次に、ゼロ、1、2、などと呼びます………。しかし同時に、それらに TOM、DICK、HARRY などの名前を付けることもできます……;）。
次に、それらを定義してみましょう。理論的に設定-
1 からまでのすべての数値を前提とします。 N が存在する場合、番号 N + 1 は-
N + 1 =N∪\ {N \}として定義されます。
言い換えると、演算子「 +1 」は、操作しているセットよりも小さい最大のセットを結合するだけであると言えます。私たちが操作していたセットよりも小さいこの最大のセットを含むセットで。 （これは上記の方程式の定義にすぎません：P）
0 を空のセットとして定義します
0 = \ {\} =Φ
次に、次の数値を再帰的に定義します-
1 =0∪\ {0 \} =Φ∪\ {0 \} = \ {0 \}
2 =1∪\ {1 \} = \ {0 \}∪\ {1 \} = \ {0,1 \}
3 = 2 ∪\ {2 \} = \ {0,1 \}∪\ {1 \} = \ {0,1,2 \}
4 =3∪\ {3 \} = \ {0 、1,2 \}∪\ {3 \} = \ {0,1,2,3 \}
など……。
実際には、この方法で次のことを証明できます-N = \ {0,1,2,3、…、N-1 \}
N + 2 = N +（1 + 1）=（N + 1）+ 1 =（N + 1）∪\ {（N + 1）\} = \ {0,1,2,3 …、N- 1 \}∪\ {N \}∪\ {（N + 1）\} = \ {0,1,2,3 …、N + 1 \}
良い質問は演算子「 +2 」が「 +（1 + 1）」と等しくなったのはなぜですか」、これは単に 2 をそのように定義したためです。また、なぜ括弧が関連付けられたのですか？セットを扱っているという理由だけで（それも重要な演算子なしで）、それを行うことができます。 ;）
これで、 N = 2 とVoila !!
2 + 2 = \ {を接続するだけです。 0,1,2,3 \} = 4
PS。長い間申し訳ありませんが、これが私たちのやり方です。
自然数の集合論的定義 を参照してください。 p>
はい、私は離散数学コースでこれを教えられました。インストラクターに感謝します。
回答
もちろんです。これは正式な数学です。 2 + 2 = 4を証明できなかった場合、そもそもそれが真実であるとは言えません。
最初に自問すべき質問は、2 + 2 = 4は実際には何であるかということです。平均？ 2とは何ですか？ 4とは何ですか？ +とは何ですか？そして、=とは何ですか？より一般的には、自然数とは何ですか？そして、それらに対して操作と関係はどのように定義されていますか？
平等
おそらくすでにこれを知っていますが、私はとにかくそれを述べるために。私の答えは論理的に閉じる必要があります（ZFCの公理から始めなかったことに感謝しますが、何でも…）。とにかく、平等は2つのものの間の関係です。確かに、関係とは何ですか？
セットAとBの間の二項関係Rは、次のように定義されます。
R \ subseteq A \ times B
ここで、\ timesはデカルト積です。したがって、aRbは、（a、b）\ inRの場合にのみ真になります。
Equality =は、次のプロパティとの関係です。
- 再帰性：\ forall x： x = x
- 対称性：\ forall x、y：x = y \ implies y = x
- 推移性：\ forall x、y、z：（（x = y \ land y = z）\ implies x = z）
自然数：これまでで最も美しく不自然なもの
誰かに自然数とは何かを尋ねると、通常、それで問題が解決したかのように「1,2,3、…」と聞こえます。実際の定義はあいまいさを取り除き、問題をより魅力的にします。では、自然数とは何ですか？
ペアノの公理を尊重することが証明されている要素を持つ{} ^ {（*）}セット\ Nは、自然数のセットです。平等はこのセットに対して定義されます。つまり、自然数は平等の下で閉じられます（明らかに）。ペアノの公理は次のとおりです。
- 0 \ in \ N
- 後継関数S：\ N \ to \ Nには次のプロパティがあります：
- \ forall n \ in \ N：S（n）\ in \ N
- \ forall n、m \ in \ N：m = n \ iff S（n）= S（m）
- \ nexists n \ in \ N：S（n）= 0
完了しましたか？さて、これらの公理が何を意味するのか見てみましょう。最初に言われるのは、0は自然数だということです。公理2aにより、S（0）も\ Nにあります。 S（S（0））、S（S（S（0）））、S（S（…S（S（0））））も同様です。これは、セットが全順序を許可するかのように、ある種の「ライン構造」のように見えます。しかし、\ presents n \ in \ N、n \ neq 0：（\ nexists m \ in \ N：S（m）= n）の場合はどうなるでしょうか。つまり、どの自然数の後継でもない自然数が存在する可能性はありますか？どれどれ。セットを取る：
M = \ {0、S（0）、S（S（0））、…、z、S（z）、S（S（z））,。 .. \}
つまり、0とその後継のすべて、およびzとその後継のすべてを含むセット。zは他の自然数の後継ではないという前述の特性があります。 Mは公理を検証しますか？さて、公理1は、それを見ることによって簡単に検証されます。公理2aも検証されます。セットをどのように定義したかによって、後継関数の下で閉じられていることがわかります。同様に、2bと2cもMに当てはまります。上記で作成したセットには、2つの完全に独立した「線」（0線とz線と呼びます）があるため、全順序を使用できません。
しかし…しかし…これは私たちが望んでいることではありません。
自然数は、現実のいくつかの側面を最初に理解するための直感的な方法として生まれました。そして、定義がキャプチャされたのはずっと後のことでした。正式に。そして、私たちはすでに彼らがどのように振る舞うべきかを直感的に把握していました。 Mを回避するには、追加の公理が必要です。
- 誘導の公理：（0 \ in X \ land（\ forall n \ in \ N：n \ in X \ implies S（ n）\ in X）\ implies \ N \ subseteq X
これは、0を除くすべての自然数が別の自然数の後継であることを意味します。誘導の公理では、合計（または linear と呼ばれることもあります）順序は\ Nで誘導できます。この回答ではあまり関連性がないため、この概念を正式に定義しません。
この時点に到達したほとんどの読者は、2 = S（S（0））および4 = S（S（S（S（0））））を見ることができますが、数学的形式に到達するには、どうすれば純粋に設定された理論的概念から\ Nを構築できますか？
自然数のフォンノイマン構築
このような偉業を達成する方法を示します。0= \ {\}およびS（n）= n \ cup \ {n \}を定義します。次に：
S（0 ）= \ {\ {\} \}
S（S（0））= \ {\ {\}、\ {\ {\} \} \}
S （S（S（0）））= \ {\ {\}、\ {\ {\} \}、\ {\ {\}、\ {\ {\} \} \} \}
（…）
そこに何も見逃していないといいのですが、それはLaではかなり混乱しています。とにかく、nの後継者という考えです。 nを含む以前のすべての自然数が含まれます。次のように書くとわかりやすくなります。
0 = \ {\}
1 = S（0）= \ {0 \}
2 = S（S（0））= \ {0、1 \}
3 = S（S（S（0）））= \ {0、1、2 \}
（…）
ご覧のとおり、「表現」またはと呼ばれるペアノの公理に準拠するセットが多数あります。抽象オブジェクト\ Nのモデル。つまり、セットはさまざまな方法で定義されますが、意味的にはまったく同じです。
自然数自体で十分です。未定義のままになっている唯一のものに行きましょう：+
自然数の加算
操作を定義します+以上\ N as：
\ forall n \ in \ N：n + 0 = n
\ forall a、b \ in \ N：S（a + b）= a + S（b）
確かに、n + 1 = n + S（0）であり、定義上n + S（0）= S（n + 0）= S（n）。 +は、私たちが期待するように結合的で可換ですか？もちろん！そして、それが十分な美しさではなかったかのように、私たちは帰納法を使用します。まず、\ forall n \ in \ N：0 + n = n：
- 0が加法単位元であるかどうかを知る必要があります：
述語P（n）を\ forall n \ in \ N：0 + n = nとして定義します。 P（0）は、最初の定義で0 + 0 = 0を明確に保持します。誘導の公理による：
n + 0 = 0 + n \ implies
S（n + 0）= S（0 + n）\ implies
S（n）= 0 + S（n）\ implies
\ forall n \ in \ N：0 + n = n
- 連想性：
P（c）を\ forall a、b \ in \ N：（a + b）+ c = a +（b + c）
P（0）：
（a + b）+ 0 = a + b
a +（b + 0）= a + b
次に、次のことを示す必要があります。
P（c）\ implies P（S（c））：
仮定P（c）：
（a + b）+ c = a +（b + c）\ implies
S（（a + b）+ c）= S（a +（b + c））\ implies
（a + b）+ S（c ）= a + S（b + c）\ implies
（a + b）+ S（c）= a +（b + S（c））
- 可換性：
述語\ forall n \ in \ N：n + \ ell = \ ell + nに名前P（\ ell）（\ ell \ in \ N）を付けます。 \ ell = 1の場合：
P（1）：
ベースケースとして1を使用し（すでにすべての通勤が0であることを示しているため）、P（1 ）G（a）を介した誘導：a + 1 = 1 + a。 G（0）はもちろん些細なことです。ここで、G（a）\ implies G（a + 1）を証明しましょう。
S（a）+ 1 = S（a）+ S（0）\ implies
S（ a）+ 1 = S（S（a）+ 0）\ implies
S（a）+ 1 = S（a + 1）\ implies
帰納仮説による：
S（a）+ 1 = S（1 + a）\ implies
S（a）+ 1 = 1 + S（a）
基本ケースが完了し、帰納的なステップが実行されます！
P（\ ell）\ implies P（S（\ ell））：
P（\ ell）と仮定します：
n + \ ell = \ ell + n \ implies
S（n + \ ell）= S（\ ell + n）\ implies
n + S（ \ ell）= \ ell + S（n）\ implies
n + \ ell + 1 = \ ell + n + 1
基本ケースによる（1はすべてと通勤する） ：
n + \ ell + 1 = \ ell + 1 + n
n + S（\ ell）= S（\ ell）+ n
そして、定義から直接、追加のお気に入りのプロパティを証明しました！
実際の質問
さて、 2 + 2 = 4を証明します。少し退屈ですが、うまくいけば、その方法は何らかの形で啓発的でした。とにかく、2 = S（S（0））および4 = S（S（S（S（0））））。
2 + 2 = S（S（0））+ S（S（0））\ implies
2 + 2 = S（S（S（0））+ S （0））\ implies
2 + 2 = S（S（S（0））+ 1）\ implies
2 + 2 = S（S（S（S（S（ 0））））= 4
すばらしい！
もちろん、10進表記も定義できますが、2と4は単なる定義で同じ意味を保持しています。 要するに、この答え全体は、数学と同様に巨大な「定義による」ものです。
楽しんでいただけたでしょうか！
私が間違いを犯した場合、または何かあった場合 答えに追加または変更するので、知りたいです。