Bedste svar
Dit udsagn er
- undertiden sandt (med et uendeligt antal eksempler, der gør det sandt); og
- undertiden false (med et uendeligt antal eksempler, der viser, at det er falsk);
men da din erklæring bruger ordet ethvert,
- er hele udsagnet falsk, fordi
- der er et uendeligt antal eksempler, hvor produktet af to irrationelle tal udgør et rationelt tal.
Sådan finder du et af de mange (uendelige) eksempler, der viser, at denne påstand er falsk .
- Lad A være lig med ethvert sammensat tal (produktet af to eller flere primtal). Med andre ord vil A være et hvilket som helst ikke-primtal, der er større end 1. (For eksempel 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20 osv.)
- Beregn B lig med kvadratet for A. (For eksempel 16, 36, 64, 81, 100, 144, 196, 225, 256, 324, 400 osv.)
- Lad C være svarer til enhver faktor af A, der ikke er en perfekt firkant, som kan omfatte A selv. (For eksempel 2; 2/3/6; 2/8; 3; 2/5/10; 2/3/6/12; 2/7/14; 3/5/15; 2/8; 2 / 3/6/18; 2/5/10/20; osv.)
- Beregn D lig med B divideret med C.
- Dine to irrationelle tal er √C og √D .
- Det rationelle produkt af √C og √D er lig med A.
Lad mig illustrere dette med et eksempel:
- Min fødselsdag er den 26. af (noget), så A = 26
- B = 676
- C kan være 2, 13 eller 26, så jeg bruger 13, min heldigt tal C = 13
- D = 676 ÷ 13 = 52
- Hvad er produktet af de to irrationelle tal: √13 og √52?
- √ 13 x √52 = √676, der er lig med det rationelle tal: 26
Som du kan se, er der et Uendeligt antal eksempler, hvor produktet er rationelt, men der er også en UENDELIG antal eksempler, hvor produktet er irrationelt.
Du kan bruge en lignende metode til at finde et af mange eksempler på to irrationelle tal med et irrationelt produkt. Start med A svarende til ethvert sammensat tal, der ikke er et perfekt kvadrat, og lad B være lig med A. Trin 3–5 vil være identiske, og trin 6 giver dig et irrationelt svar.
Svar
Overvej \ sqrt {2} \ ikke \ i \ mathbb {Q}. Per definition er \ sqrt {2} \ times \ sqrt {2} = 2 \ i \ mathbb {Z} \ subseteq \ mathbb {Q}. Da irrationelle (reelle) tal er et supplement til de rationelle tal i realerne (pr. Definition), eller med andre ord, irrationelle tal er \ mathbb {R} \ setminus \ mathbb {Q}, kan vi se ganske klart at Vi har fundet et eksempel på to irrationelle tal, hvis produkt ikke er et irrationelt tal.
OK, jeg har snydt her, fordi jeg valgte det samme irrationelle tal, men det illustrerer det punkt, at et produkt af irrationelle vil ikke nødvendigvis være irrationel (selvom det vil være tilfældet mest af tiden).
Nu er produktet af to transcendentale tal (som ikke er rødderne til noget polynom med heltalskoefficienter og er en delmængde af de irrationelle tal – de udgør faktisk størstedelen af dem!), selv at ikke garanteres at være irrationel. Når alt kommer til alt, hvis x er transcendental, så er det også \ frac {1} {x}. Men x \ times \ frac {1} {x} = 1, hvilket er et heltal og dermed ikke irrationelt. Hvilket forstærker pointen!