Mejor respuesta
Espero que esté de acuerdo con la teoría de conjuntos. No puedo decir cuán maravillosos son los números naturales. 🙂
Primero, antes de probar 2 + 2 = 4 , primero conozcamos qué son los números naturales. En un lenguaje no matemático, serían solo nombres dados a la cuenta que damos. Luego llamamos cero, uno, dos, y así sucesivamente ………. Pero, al mismo tiempo, podríamos haberlos nombrado algunos TOM, DICK, HARRY , etc. ……;).
Ahora vamos a definirlos Establecer teóricamente –
Dado que todos los números desde 1 a Si existen, el número N + 1 se define como –
N + 1 = N∪ \ {N \}
En otras palabras, podemos decir que el operador “ +1 ” no hace más que unir el conjunto más grande más pequeño que el conjunto que estamos operando con el conjunto que contiene este conjunto más grande más pequeño que el conjunto en el que estábamos operando. (Esta es solo la definición de la ecuación anterior: P)
Definimos 0 como un conjunto vacío,
0 = \ {\} = Φ
Ahora definimos recursivamente los siguientes números –
1 = 0∪ \ {0 \} = Φ∪ \ {0 \} = \ {0 \}
2 = 1∪ \ {1 \} = \ {0 \} ∪ \ {1 \} = \ {0,1 \}
3 = 2 ∪ \ {2 \} = \ {0,1 \} ∪ \ {1 \} = \ {0,1,2 \}
4 = 3∪ \ {3 \} = \ {0 , 1,2 \} ∪ \ {3 \} = \ {0,1,2,3 \}
y así sucesivamente …….
De hecho, de esta manera podemos demostrar que – N = \ {0,1,2,3, …, N-1 \}
Ahora N + 2 = N + (1 + 1) = (N + 1) + 1 = (N + 1) ∪ \ {(N + 1) \} = \ {0,1,2,3 …, N- 1 \} ∪ \ {N \} ∪ \ {(N + 1) \} = \ {0,1,2,3 …, N + 1 \}
Una buena pregunta sería ¿Por qué el operador “ +2 ” se volvió igual a “ + (1 + 1) ”, Esto se debe simplemente a que definimos 2 de esa manera. Además, ¿por qué se asociaron los corchetes? Simplemente porque estamos tratando con conjuntos (que también sin operadores no triviales), podemos hacer eso. 😉
Ahora simplemente conectamos N = 2 y ¡¡listo !!
2 + 2 = \ { 0,1,2,3 \} = 4
PD. Perdón por ser tan largo, pero así es como lo hacemos.
Puede consultar Definición de números naturales en la teoría de conjuntos
Y sí, me enseñaron esto en mi Curso de Matemática Discreta. Agradezco al Instructor.
Respuesta
Por supuesto. Esto es matemáticas formales . Si no pudiéramos probar 2 + 2 = 4, no diríamos que es cierto en primer lugar.
La primera pregunta que deberíamos hacernos es: ¿Qué significa 2 + 2 = 4 en realidad ¿media? ¿Qué es 2? ¿Qué es 4? ¿Qué es +? ¿Y qué es =? De manera más general, ¿qué es un número natural? ¿Y cómo se definen las operaciones y relaciones sobre ellos?
Igualdad
Probablemente ya lo sepas, pero yo para decirlo de todos modos. Mi respuesta debe estar lógicamente cerrada (solo agradece que no comencé con los axiomas de ZFC, pero lo que sea …). De todos modos, la igualdad es una relación entre dos cosas. Claro, pero ¿qué es una relación?
Una relación binaria R entre los conjuntos A y B se define de la siguiente manera:
R \ subseteq A \ times B
Donde \ times es el producto cartesiano. Entonces aRb es verdadero si y solo si (a, b) \ en R.
Igualdad = es una relación con las siguientes propiedades:
- Reflexividad: \ forall x: x = x
- Simetría: \ forall x, y: x = y \ implica y = x
- Transitividad: \ forall x, y, z: ((x = y \ land y = z) \implica x = z)
Números naturales: la cosa más bellamente antinatural jamás
Si le pregunta a alguien qué es un número natural, por lo general escuchará «1,2,3, …» como si eso hubiera resuelto el asunto. La definición real elimina la ambigüedad y hace que el asunto sea mucho más atractivo. Entonces, ¿qué son los números naturales?
El {} ^ {(*)} conjunto \ N cuyos elementos demuestran respetar los axiomas de Peano es el conjunto de números naturales. La igualdad se define sobre este conjunto, lo que significa que los números naturales están cerrados bajo igualdad (obviamente). Aquí están los axiomas de Peano:
- 0 \ in \ N
- La función sucesora S: \ N \ to \ N tiene las siguientes propiedades:
- \ forall n \ in \ N: S (n) \ in \ N
- \ forall n, m \ in \ N: m = n \ iff S (n) = S (m)
- \ nexists n \ in \ N: S (n) = 0
¿Hemos terminado? Bueno, veamos qué implican estos axiomas. Lo primero que nos dicen es que 0 es un número natural. Según el axioma 2a, S (0) también está en \ N. También lo es S (S (0)), S (S (S (0))) y S (S (… S (S (0)))). Esto parece una especie de «estructura de línea», como si el conjunto admitiera un orden total. Pero, ¿qué pasa si \ existe n \ en \ N, n \ neq 0: (\ nexists m \ in \ N: S (m) = n)? Es decir, ¿podría haber un número natural que no sea el sucesor de ningún número natural? Vamos a ver. Tome el conjunto:
M = \ {0, S (0), S (S (0)), …, z, S (z), S (S (z)) ,. .. \}
Es decir, el conjunto que incluye 0 y todos sus sucesores yz y todos sus sucesores.Tiene la propiedad antes mencionada de que z no es el sucesor de ningún otro Número Natural. ¿M verifica los axiomas? Bueno, el axioma 1 se verifica trivialmente mirándolo. El axioma 2a también se verifica: por cómo definimos el conjunto, resulta cerrado bajo la función sucesora. De manera similar, 2b y 2c también son verdaderas para M. El conjunto que construí arriba tiene dos «líneas» totalmente independientes (llámelas línea 0 y línea z) y por lo tanto no permite un orden total.
Pero … pero … esto no es lo que queremos.
Natural Numbers surgió como una forma intuitiva de comprender algunos aspectos de la realidad primero, y no fue hasta mucho, mucho después que se capturó la definición formalmente. Y ya teníamos la comprensión intuitiva de cómo deberían comportarse. Para evitar M, necesitamos un axioma adicional.
- Axioma de inducción: (0 \ in X \ land (\ forall n \ in \ N: n \ in X \ implica S ( n) \ en X) \ implica \ N \ subseteq X
Esto implica que todo Número natural, excepto 0, es el sucesor de otro Número natural. Con el axioma de inducción (o algunas veces llamado lineal ) el orden se puede inducir en \ N. Dado que no es de mucha relevancia en esta respuesta, no definiremos formalmente la noción del orden total.
La mayoría de los lectores que llegaron a este punto pueden ver 2 = S (S (0)) y 4 = S (S (S (S (0)))), pero para alcanzar formalismos matemáticos, ¿cómo podemos construir \ N puramente a partir de nociones teóricas de conjuntos?
La construcción de Von Neumann de los números naturales
Mostraré cómo se puede lograr tal hazaña. Defina 0 = \ {\} y S (n) = n \ cup \ {n \}. Luego:
S (0 ) = \ {\ {\} \}
S (S (0)) = \ {\ {\}, \ {\ {\} \} \}
S (S (S (0))) = \ {\ {\}, \ {\ {\} \}, \ {\ {\}, \ {\ {\} \} \} \}
(…)
Espero no haberme perdido nada, eso es bastante confuso en La. De todos modos, la idea es que el sucesor de n contendrá todos los números naturales anteriores, incluido el n. Es más fácil ver que si lo escribimos así:
0 = \ {\}
1 = S (0) = \ {0 \}
2 = S (S (0)) = \ {0, 1 \}
3 = S (S (S (0))) = \ {0, 1, 2 \}
(…)
Como puede ver, hay muchos conjuntos que cumplen con los Axiomas de Peano, a los que llamamos «representaciones» o modelos del objeto abstracto \ N. Es decir, los conjuntos se definen por medios diferentes, pero semánticamente, son exactamente iguales.
Ya basta de números naturales. Vayamos a lo único que queda sin definir: +
Suma de los números naturales
Definir una operación + sobre \ N como:
\ forall n \ in \ N: n + 0 = n
\ forall a, b \ in \ N: S (a + b) = a + S (b)
Efectivamente, eso implica que S (n) = n + 1, ya que n + 1 = n + S (0) y por definición n + S (0) = S (n + 0) = S (n). ¿+ Es asociativo y conmutativo como cabría esperar? ¡Por supuesto! Y, como si eso no fuera suficiente belleza, usaremos el Axioma de Inducción. Primero, necesitamos saber si \ forall n \ in \ N: 0 + n = n:
- 0 es la identidad aditiva :
Defina el predicado P (n) como \ forall n \ in \ N: 0 + n = n. P (0) se cumple claramente: 0 + 0 = 0 según la primera definición. Por el axioma de inducción:
n + 0 = 0 + n \ implica
S (n + 0) = S (0 + n) \ implica
S (n) = 0 + S (n) \ implica
\ forall n \ in \ N: 0 + n = n
- Asociatividad:
Defina P (c) como \ forall a, b \ in \ N: (a + b) + c = a + (b + c)
P (0):
(a + b) + 0 = a + b
a + (b + 0) = a + b
Ahora tenemos que demostrar que:
P (c) \ implica P (S (c)):
Suponga P (c):
(a + b) + c = a + (b + c) \ implica
S ((a + b) + c) = S (a + (b + c)) \ implica
(a + b) + S (c ) = a + S (b + c) \ implica
(a + b) + S (c) = a + (b + S (c))
- Conmutatividad :
Asigne el nombre P (\ ell) (\ ell \ in \ N) al predicado \ forall n \ in \ N: n + \ ell = \ ell + n. Para \ ell = 1:
P (1):
Usaremos 1 (dado que ya mostramos 0 conmuta con todo) como caso base y probaremos P (1 ) con inducción sobre G (a): a + 1 = 1 + a. G (0) es, por supuesto, trivial. Ahora demostremos que G (a) \ implica G (a + 1).
S (a) + 1 = S (a) + S (0) \ implica
S ( a) + 1 = S (S (a) + 0) \ implica
S (a) + 1 = S (a + 1) \ implica
Por la hipótesis de inducción:
S (a) + 1 = S (1 + a) \ implica
S (a) + 1 = 1 + S (a)
El caso base está hecho, paso inductivo para ir!
P (\ ell) \ implica P (S (\ ell)):
Suponga P (\ ell):
n + \ ell = \ ell + n \ implica
S (n + \ ell) = S (\ ell + n) \ implica
n + S ( \ ell) = \ ell + S (n) \ implica
n + \ ell + 1 = \ ell + n + 1
Según el caso base (1 conmuta con todo) :
n + \ ell + 1 = \ ell + 1 + n
n + S (\ ell) = S (\ ell) + n
¡Y hemos probado nuestras propiedades favoritas de la suma directamente desde la definición!
La pregunta real
Ahora, Probaré 2 + 2 = 4. Es un poco aburrido, pero con suerte el camino fue de alguna manera esclarecedor. De todos modos, 2 = S (S (0)) y 4 = S (S (S (S (0)))).
2 + 2 = S (S (0)) + S (S (0)) \ implica
2 + 2 = S (S (S (0)) + S (0)) \ implica
2 + 2 = S (S (S (S (0)) + 1) \ implica
2 + 2 = S (S (S (S ( 0)))) = 4
¡Genial! ¡Lo hicimos!
Claro, también podría definir la notación decimal, pero 2 y 4 conservan el mismo significado por mera definición. En resumen, toda esta respuesta es gigantesca «por definición» y al igual que las matemáticas.
¡Espero que hayas disfrutado tu camino!
Si cometí un error o hay algo que agregaría o modificaría la respuesta, me encantaría saberlo.