La mejor respuesta
Su afirmación es
- a veces verdadero (con un número infinito de ejemplos que lo hacen verdadero); y
- a veces falso (con un número infinito de ejemplos que prueban que es falso);
pero dado que su declaración usa la palabra any,
- su declaración completa es falsa, porque
- hay un número infinito de ejemplos en los que el producto de dos números irracionales hace un número racional.
Aquí se explica cómo encontrar uno de los muchos (infinitos) ejemplos que prueban que esta afirmación es falsa .
- Sea A igual a cualquier número compuesto (el producto de dos o más números primos). En otras palabras, A será cualquier número no primo mayor que 1. (Por ejemplo, 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, etc.)
- Calcula B igual al cuadrado de A. (Por ejemplo, 16, 36, 64, 81, 100, 144, 196, 225, 256, 324, 400, etc.)
- Sea C igual a cualquier factor de A que no sea un cuadrado perfecto, que podría incluir al propio A. (Por ejemplo, 2; 2/3/6; 2/8; 3; 2/5/10; 2/3/6/12; 2/7/14; 3/5/15; 2/8; 2 / 3/6/18; 2/5/10/20; etc.)
- Calcula D igual a B dividido por C.
- Tus dos números irracionales son √C y √D .
- El producto racional de √C y √D es igual a A.
Permítanme ilustrar esto con un ejemplo:
- Mi cumpleaños es el 26 de (algo), entonces A = 26
- B = 676
- C podría ser 2, 13 o 26, así que usaré 13, mi número de la suerte C = 13
- D = 676 ÷ 13 = 52
- ¿Cuál es el producto de los dos números irracionales: √13 y √52?
- √ 13 x √52 = √676 que es igual al número racional: 26
Como puede ver, hay un número INFINITO de ejemplos donde el producto es racional, pero también hay un INFINITO número de ejemplos donde el producto es irracional.
Puede usar un método similar para encontrar cualquiera de los muchos ejemplos de dos números irracionales con un producto irracional. Simplemente comience con A igual a cualquier número compuesto que no sea un cuadrado perfecto, y deje que B sea igual a A. Los pasos 3 a 5 serán idénticos y el paso 6 le dará una respuesta irracional.
Respuesta
Considere \ sqrt {2} \ not \ in \ mathbb {Q}. Por definición, \ sqrt {2} \ times \ sqrt {2} = 2 \ in \ mathbb {Z} \ subseteq \ mathbb {Q}. Dado que los números irracionales (reales) están en el complemento de los números racionales en los reales (por definición), o, en otras palabras, los números irracionales son \ mathbb {R} \ setminus \ mathbb {Q}, podemos ver con bastante claridad que hemos encontrado un ejemplo de dos números irracionales cuyo producto no es un número irracional.
Bien, hice trampa aquí, porque elegí el mismo número irracional, pero ilustra el punto de que un producto de irracionales no será necesariamente irracional (incluso si ese fuera el caso la mayor parte del tiempo).
Ahora, el producto de dos trascendentales números (que no son las raíces de ningún polinomio con coeficientes enteros y son un subconjunto de los números irracionales; de hecho, ¡constituyen la mayor parte de ellos!), incluso que no se garantiza que sea irracional. Después de todo, si x es trascendental, entonces también lo es \ frac {1} {x}. Pero x \ times \ frac {1} {x} = 1, que es un número entero, por lo tanto, no es irracional. ¡Lo que refuerza el punto!