Paras vastaus
Toivottavasti olet kunnossa Set Theoryn kanssa. En voi kertoa kuinka upeita ovat luonnolliset luvut. 🙂
Joten ennen kuin todistamme 2 + 2 = 4 , voimme ensin oppia tuntemaan luonnolliset luvut. Ei-matemaattisella kielellä se olisi vain nimiä, jotka annetaan laskemallemme laskelmalle. Kutsumme sitten nollaksi, yhdeksi, kahdeksi ja niin edelleen … Mutta samaan aikaan olisimme voineet vain nimetä heille TOM, DICK, HARRY ja niin edelleen … …;).
Nyt määritellään ne asetetaan teoreettisesti –
Ottaen huomioon, että kaikki luvut 1 – N olemassa, numero N + 1 määritellään seuraavasti: –
N + 1 = N∪ \ {N \}
Toisin sanoen voimme sanoa, että operaattori ” +1 ” ei tee muuta kuin yhdistää suurimman joukon, joka on pienempi kuin käytämme joukkoa tämän suurimman sarjan kanssa, joka on pienempi kuin sarja, jota käytimme. (Tämä on vain yllä olevan yhtälön määritelmä: P)
Määritämme 0 tyhjäksi joukoksi,
0 = \ {\} = Φ
Seuraavat numerot määritetään nyt rekursiivisesti –
1 = 0∪ \ {0 \} = Φ∪ \ {0 \} = \ {0 \}
2 = 1∪ \ {1 \} = \ {0 \} ∪ \ {1 \} = \ {0,1 \}
3 = 2 ∪ \ {2 \} = \ {0,1 \} ∪ \ {1 \} = \ {0,1,2 \}
4 = 3∪ \ {3 \} = \ {0 , 1,2 \} ∪ \ {3 \} = \ {0,1,2,3 \}
ja niin edelleen …….
Voimme todellakin todistaa tämän – N = \ {0,1,2,3, …, N-1 \}
Nyt N + 2 = N + (1 + 1) = (N + 1) + 1 = (N + 1) ∪ \ {(N + 1) \} = \ {0,1,2,3 …, N- 1 \} ∪ \ {N \} ∪ \ {(N + 1) \} = \ {0,1,2,3 …, N + 1 \}
Hyvä kysymys olisi miksi operaattorista “ +2 ” tuli yhtä suuri kuin + (1 + 1) ”, Tämä johtuu yksinkertaisesti siitä, että määritimme 2 tällä tavalla. Miksi myös suluet liittyivät toisiinsa? Yksinkertaisesti siksi, että käsittelemme sarjoja (myös ilman muita kuin triviaalisia operaattoreita), voimme tehdä sen. 😉
Nyt liitämme vain N = 2 ja Voila!
2 + 2 = \ { 0,1,2,3 \} = 4
PS. Anteeksi, että olimme niin pitkä, mutta näin me teemme.
Voit viitata Luonnollisten lukujen teoreettiseen määritelmään
Ja kyllä, minulle opetettiin tätä diskreettisessä matematiikkakurssissani. Kiitän ohjaajaa.
Vastaus
Tietysti. Tämä on muodollinen matematiikka . Jos emme pystyisi todistamaan 2 + 2 = 4, emme väitä, että se on totta.
Ensimmäinen kysymys, jonka meidän tulisi kysyä itseltämme, on: Mitä 2 + 2 = 4 oikeastaan tekee tarkoittaa? Mikä on 2? Mikä on 4? Mikä on +? Ja mikä on =? Mikä on luonnollinen luku yleisemmin? Ja miten operaatiot ja suhteet määritellään niiden yli?
Tasa-arvo
Luultavasti tiedät tämän jo, mutta olen sanoa se joka tapauksessa. Vastaukseni on oltava loogisesti suljettu (ole vain kiitollinen siitä, etten aloittanut ZFC-aksioomista, mutta mitä tahansa …) Joka tapauksessa tasa-arvo on suhde kahden asian välillä. Toki, mutta mikä on suhde?
Binaarinen suhde R joukkojen A ja B välillä määritellään seuraavasti:
R \ subseteq A \ kertaa B
Missä \ kertaa on karteesinen tuote. Joten aRb on totta vain ja vain, jos (a, b) \ R: ssä. x = x
Luonnolliset numerot: Kaikkien aikojen kaunein luonnoton asia
Jos kysyt jollekulta, mikä on luonnollinen luku, kuulet yleensä ”1,2,3,…” ikään kuin se ratkaisisi asian. Varsinainen määritelmä poistaa epäselvyyden ja tekee asiasta paljon houkuttelevamman. Joten mitä ovat luonnolliset numerot?
{} ^ {(*)} -joukko \ N, jonka elementit osoittautuvat kunnioittavan Peano-aksiomia, on luonnollisten numeroiden joukko. Tasa-arvo määritellään tässä joukossa, mikä tarkoittaa, että luonnolliset numerot ovat suljettu tasa-arvon alla (ilmeisesti). Tässä ovat Peano-aksiomit:
- 0 \ in \ N
- Seuraajafunktiolla S: \ N \ to \ N on seuraavat ominaisuudet:
- \ kaikki n \ sisään \ N: S (n) \ sisään \ N
- \ kaikki n, m \ sisään \ N: m = n \ iff S (n) = S (m)
- \ nexistit n \ sisään \ N: S (n) = 0
Olemme valmiit? Katsotaanpa, mitä nämä aksioomat tarkoittavat. Ensimmäiseksi meille kerrotaan, että 0 on luonnollinen luku. Aksiooman 2a mukaan S (0) on myös \ N. Niin ovat S (S (0)), S (S (S (0))) ja S (S (… S (S (0)))). Tämä näyttää olevan jonkinlainen ”viivarakenne”, ikään kuin sarja hyväksyisi kokonaisjärjestyksen. Mutta entä jos \ olemassa \ n \ sisällä \ N, n \ neq 0: (\ nexistit m \ sisään \ N: S (m) = n)? Toisin sanoen, voisiko olla olemassa luonnollinen luku, joka ei ole minkään luonnollisen luvun seuraaja? Katsotaan. Valitse sarja:
M = \ {0, S (0), S (S (0)), …, z, S (z), S (S (z)) ,. .. \}
Eli joukko sisältää 0 ja kaikki sen seuraajat sekä z ja kaikki sen seuraajat.Sillä on edellä mainittu ominaisuus, että z ei ole minkään muun luonnollisen luvun seuraaja. Onko M varmentanut aksioomat? No, aksiomi 1 on triviaalisesti varmistettu katsomalla sitä. Aksiomi 2a on myös varmistettu: kuinka määritimme joukon, se osoittautuu suljetuksi seuraajafunktion alla. Samoin 2b ja 2c ovat totta myös M.: llä. Yllä rakennetulla joukolla on kaksi täysin toisistaan riippumatonta ”viivaa” (kutsu niitä viivaksi 0 ja z), joten se ei salli kokonaisjärjestystä. > Mutta … mutta … emme sitä haluaa.
Luonnolliset numerot syntyivät intuitiivisena tapana ymmärtää ensin joitain todellisuuden näkökohtia, ja vasta paljon, paljon myöhemmin määritelmä otettiin talteen. muodollisesti. Ja meillä oli jo intuitiivinen käsitys siitä, kuinka heidän pitäisi käyttäytyä. M: n välttämiseksi tarvitsemme ylimääräisen aksiooman.
- Induktioaksiomi: (0 \ X: ssä \ land (\ forall n \ in \ N: n \ X: ssä \ tarkoittaa S ( n) \ in X) \ merkitsee \ N \ subseteq X
Tämä tarkoittaa, että jokainen luonnollinen luku lukuun ottamatta 0 on toisen luonnollisen luvun seuraaja. Induktioaksiomalla on yhteensä (tai joskus kutsutaan lineaariseksi ) järjestys voidaan indusoida \ N. Koska sillä ei ole paljon merkitystä tässä vastauksessa, emme määritä virallisesti käsitettä tilauksesta.
Useimmat tähän pisteeseen päässeet lukijat voivat nähdä 2 = S (S (0)) ja 4 = S (S (S (S (0)))), mutta saavuttaa matemaattiset formalismit, miten voimme rakentaa \ N puhtaasti asetetuista teoreettisista käsitteistä?
Luonnollisten numeroiden Von Neumann -rakenne
Näytän, kuinka tällainen saavutus voidaan saavuttaa. Määritä 0 = \ {\} ja S (n) = n \ cup \ {n \}. Sitten:
S (0 ) = \ {\ {\} \}
S (S (0)) = \ {\ {\}, \ {\ {\} \} \}
S (S (S (0))) = \ {\ {\}, \ {\ {\} \}, \ {\ {\}, \ {\ {\} \} \} \}
(…)
Toivon, että minusta ei jäänyt väliin mistään, se on melko hämmentävää La: ssa. Ajatuksena on kuitenkin, että n sisältää kaikki edelliset luonnolliset luvut, n mukaan lukien. On helpompaa nähdä, että jos kirjoitamme sen näin:
0 = \ {\}
1 = S (0) = \ {0 \}
2 = S (S (0)) = \ {0, 1 \}
3 = S (S (S (0))) = \ {0, 1, 2 \}
(…)
Kuten näette, on monia joukoita, jotka noudattavat Peano-aksiomeja, joita kutsumme ”edustuksiksi” tai mallit abstraktista kohteesta \ N. Toisin sanoen joukot määritellään eri tavoin, mutta semanttisesti ne ovat täsmälleen samat.
Riittää luonnollisten numeroiden kanssa. Mennään ainoaan määrittelemättömään: +
Luonnollisten numeroiden lisäys
Määritä operaatio + yli \ N nimellä:
\ kaikki n \ sisällä \ N: n + 0 = n
\ kaikki a, b \ sisällä \ N: S (a + b) = a + S (b)
Tosiaan, tämä tarkoittaa, että S (n) = n + 1, koska n + 1 = n + S (0) ja määritelmän mukaan n + S (0) = S (n + 0) = S (n). Onko + assosiatiivinen ja kommutatiivinen kuin odotamme? Tietysti! Ja ikään kuin se ei olisi tarpeeksi kauneutta, käytämme induktioaksiomia. Ensinnäkin meidän on tiedettävä, onko \ kaikki n \ sisällä \ N: 0 + n = n:
- 0 on additiivinen identiteetti :
Määritä predikaatti P (n) arvoksi \ forall n \ muodossa \ N: 0 + n = n. P (0) pitää selvästi: 0 + 0 = 0 ensimmäisen määritelmän mukaan. Induktion aksiomalla:
n + 0 = 0 + n \ merkitsee
S (n + 0) = S (0 + n) \ merkitsee
S (n) = 0 + S (n) \ tarkoittaa
\ kaikki n \ sisällä \ N: 0 + n = n
- Assosiatiivisuus:
Määritä P (c) nimellä \ forall a, b \ in \ N: (a + b) + c = a + (b + c)
P (0):
(a + b) + 0 = a + b
a + (b + 0) = a + b
Nyt meidän on osoitettava, että:
P (c) \ tarkoittaa P (S (c)):
Oletetaan P (c):
(a + b) + c = a + (b + c) \ merkitsee
S ((a + b) + c) = S (a + (b + c)) \ merkitsee
(a + b) + S (c ) = a + S (b + c) \ merkitsee
(a + b) + S (c) = a + (b + S (c))
- kommutatiivisuus :
Anna nimi P (\ ell) (\ ell \ in \ N) predikaatille \ forall n \ in \ N: n + \ ell = \ ell + n. Mille \ ell = 1:
P (1):
Käytämme 1 (koska olemme jo osoittaneet 0 työmatkaa kaiken kanssa) peruskirjaimeksi ja todistamme P (1 ) induktiolla G (a): n yli: a + 1 = 1 + a. G (0) on tietysti triviaali. Todistetaan nyt, että G (a) \ merkitsee G (a + 1).
S (a) + 1 = S (a) + S (0) \ merkitsee
S ( a) + 1 = S (S (a) + 0) \ merkitsee
S (a) + 1 = S (a + 1) \ merkitsee
Induktiohypoteesilla:
S (a) + 1 = S (1 + a) \ merkitsee
S (a) + 1 = 1 + S (a)
perustapaus on tehty, induktiivinen askel eteenpäin!
P (\ ell) \ tarkoittaa P (S (\ ell)):
Oletetaan P (\ ell):
n + \ ell = \ ell + n \ merkitsee
S (n + \ ell) = S (\ ell + n) \ merkitsee
n + S ( \ ell) = \ ell + S (n) \ merkitsee
n + \ ell + 1 = \ ell + n + 1
Perustapauksen mukaan (1 kulkee kaiken kanssa) :
n + \ ell + 1 = \ ell + 1 + n
n + S (\ ell) = S (\ ell) + n
Ja olemme todistaneet suosikkilisäyksemme lisäyksille suoraan määritelmästä!
Todellinen kysymys
Nyt, Todistan, että 2 + 2 = 4. Se on vähän tylsää, mutta toivottavasti tie oli jotenkin valaiseva. Joka tapauksessa 2 = S (S (0)) ja 4 = S (S (S (S (0)))).
2 + 2 = S (S (0)) + S (S (0)) \ merkitsee
2 + 2 = S (S (S (0)) + S (0)) \ merkitsee
2 + 2 = S (S (S (0)) + 1) \ merkitsee
2 + 2 = S (S (S (S ( 0)))) = 4
Hienoa! Teimme sen!
Toki, voitkin määrätä desimaalimerkinnät, mutta 2 ja 4 säilyttävät saman merkityksen pelkällä määritelmällä. Lyhyesti sanottuna, tämä koko vastaus on jättimäinen ”määritelmänsä mukaan” ja kuten matematiikka.
Toivottavasti pidit tienne!
Jos olen tehnyt virheen tai sinulla on jotain haluaisin tietää vastauksen tai muokata sitä.