Paras vastaus
Lausuntasi on
- joskus tosi (lukemattomien esimerkkien avulla totta); ja
- joskus false (äärettömän määrän esimerkkejä osoittaen sen vääräksi);
mutta koska lauseessasi käytetään sanaa any,
- koko lauseesi on väärä, koska
- on ääretön määrä esimerkkejä, joissa kahden irrationaaliluvun tulo muodostaa rationaaliluvun.
Näin löydät yhden monista (äärettömistä) esimerkeistä, jotka todistavat tämän lausunnon vääräksi .
- Olkoon A yhtä suuri kuin mikä tahansa yhdistetty luku (minkä tahansa kahden tai useamman alkuluvun tulo). Toisin sanoen A on mikä tahansa muu kuin alkuluku, joka on suurempi kuin 1. (Esimerkiksi 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20 jne.)
- Laske B, joka on yhtä suuri kuin A: n neliö (esimerkiksi 16, 36, 64, 81, 100, 144, 196, 225, 256, 324, 400 jne.)
- Olkoon C yhtä suuri kuin mikä tahansa A-kerroin, joka ei ole täydellinen neliö, joka voi sisältää A: n itse. (Esimerkiksi 2; 2/3/6; 2/8; 3; 2/5/10; 2/3/6/12; 2/7/14; 3/5/15; 2/8; 2 / 3/6/18; 2/5/10/20; jne.)
- Laske D, joka on yhtä suuri kuin B jaettuna C: llä.
- Kaksi irrationaalilukua ovat √C ja √D .
- √C: n ja √D: n järkevä tulo on yhtä suuri kuin A.
Haluan valaista tämän esimerkillä:
- Syntymäpäiväni on (jotain) 26. päivä, joten A = 26
- B = 676
- C voi olla 2, 13 tai 26, joten käytän 13, minun onnekas numero C = 13
- D = 676 ÷ 13 = 52
- Mikä on kahden irrationaaliluvun tulo: √13 ja √52?
- √ 13 x √52 = √676, joka on yhtä suuri kuin rationaaliluku: 26
Kuten näette, on ääretön määrä esimerkkejä, joissa tuote on rationaalinen, mutta on myös LOPUTON määrä esimerkkejä, joissa tuote on irrationaalinen.
Voit löytää samanlaisen menetelmän löytääksesi minkä tahansa monista esimerkeistä kahdesta irrationaalisesta tuotteesta. Aloita vain yhtälöllä mikä tahansa yhdistelmäluku, joka ei ole täydellinen neliö, ja anna B: n olla A. A. Vaiheet 3–5 ovat identtiset, ja vaihe 6 antaa sinulle irrationaalisen vastauksen.
Vastaa
Harkitse \ sqrt {2} \ ei \ sisällä \ mathbb {Q}. Määritelmän mukaan \ sqrt {2} \ kertaa \ sqrt {2} = 2 \ sisään \ mathbb {Z} \ subseteq \ mathbb {Q}. Koska irrationaaliset (reaaliluvut) luvut ovat reaalien rationaalilukujen täydennyksessä (määritelmän mukaan) tai toisin sanoen irrationaaliluvut ovat \ mathbb {R} \ setminus \ mathbb {Q}, voimme nähdä melko selvästi, että olemme löytäneet esimerkin kahdesta irrationaaliluvusta, joiden tulo ei ole irrationaaliluku.
OK, olen pettänyt täällä, koska valitsin saman irrationaaliluvun, mutta se kuvaa sitä, että irrationaalisten tulo ei välttämättä ole irrationaalinen (vaikka näin olisi suurimman osan ajasta ).
Nyt kahden transsendentaaliset numerot (jotka eivät ole minkään kokonaislukukertoimilla varustetun polynomin juuria ja ovat irrationaalisten numeroiden osajoukko – todellakin, ne muodostavat suurimman osan niistä!) Jopa joka ei ole taatusti irrationaalista. Loppujen lopuksi, jos x on transsendenttinen, niin on myös \ frac {1} {x}. Mutta x \ kertaa \ frac {1} {x} = 1, joka on kokonaisluku, ei siis irrationaalinen. Mikä vahvistaa asiaa!