Meilleure réponse
Vous vous trompez et MATLAB a raison.
Si nous divisons 2 par 10, le quotient est 0 et le le reste est égal à 2.
0,2 est la représentation décimale de la fraction \ frac {2} {10}; cela na pas grand-chose à voir avec le quotient et le reste de la division de deux entiers.
Réponse
Nous devons trouver le reste lorsque la somme 2 ^ 100 + 2 ^ 200 + 2 ^ 300 +… ..2 ^ 10000 est divisée par 7.
Méthode 1 – Utilisation de la progression géométrique
S = 2 ^ 100 + 2 ^ 200 + 2 ^ 300 +… ..2 ^ 10000 Ceci est une progression géométrique. Le premier terme de la série est 2 ^ 100 Rem [2 ^ 100/7] = Rem [2 * 2 ^ 99/7] = Rem [2 * 8 ^ 33/7] = Rem [2 * 1/7] = 2 S = 2 ^ 100 + 2 ^ 200 + 2 ^ 300 +… ..2 ^ 10000 => S = 2 ^ 100 + (2 ^ 100) ^ 2 + (2 ^ 100) ^ 3 +… + (2 ^ 100) ^ 100 En cela, 2 ^ 100 peut être remplacé par 2 lors de la recherche du reste par 7 => S = 2 + 2 ^ 2 + 2 ^ 3 … 2 ^ 100 => S = 2 (2 ^ 100 – 1) / (2 – 1) Utilisation de la formule de somme dune Progression Géométrique => S = 2 ^ 101 – 2 Maintenant, nous devons trouver le reste de S à partir de 7 => Rem [S / 7] = Rem [2 ^ 101/7] – 2 = Rem [4 * 8 ^ 33/7] – 2 = 4 – 2 = 2 => Le reste lorsque la somme 2 ^ 100 + 2 ^ 200 + 2 ^ 300 +… ..2 ^ 10000 est divisée par 7 sera 2
Méthode 2 – Observation du modèle
Pour cela, nous devons essayer de trouver le modèle impliqué. Le reste de 2 ^ 1 lorsquil est divisé par 7 est 2 Le reste de 2 ^ 2 lorsquil est divisé par 7 est 4 Le reste de 2 ^ 3 lorsquil est divisé par 7 est 1 Et après cela, le même schéma de 2, 4 et 1 continue de se répéter lui-même.
Donc, pour 2 ^ n nous avons juste besoin de déterminer si cest 2 ^ (3k + 1) ou 2 ^ (3k + 2) ou 2 ^ 3k et cela nous amènerait à la réponse. 2 ^ 100 vaut 2 ^ (3k + 1). Cela nous donnera le reste car 2 2 ^ 200 est 2 ^ (3k + 2). Cela nous donnera le reste car 4 2 ^ 300 est 2 ^ 3k. Il nous donnera le reste comme 1 … et le même modèle continuera à se répéter.
Si vous considérez ces termes par blocs de trois, le reste serait 2 + 4 + 1 = 7 Ceci est divisible par 7. => Si vous considérez trois termes consécutifs dans la série donnée, ils seront divisible par 7 et donnera un reste de 0 Nous avons 100 termes dans la série => Les 99 premiers termes (multiple de 3) se combineront pour donner un reste de 0 => Le 100e terme donnera un reste de 2 => Le reste lorsque la somme 2 ^ 100 + 2 ^ 200 + 2 ^ 300 +… ..2 ^ 10000 est divisé par 7 sera 2
Jai résolu un tas de questions similaires sur Quora et ai répondu à toutes les réponses dans un article de blog. Il est disponible ici: Restes (Aptitude quantitative) pour la préparation à lexamen CAT – PDF gratuit à télécharger Jetez-y un œil.