Meilleure réponse
Votre affirmation est
- parfois vrai (avec un nombre infini dexemples le rendant vrai); et
- parfois false (avec un nombre infini dexemples prouvant que cest faux);
mais comme votre déclaration utilise le mot any,
- toute votre déclaration est fausse, car
- il existe un nombre infini dexemples où le produit de deux nombres irrationnels fait un nombre rationnel.
Voici comment trouver lun des nombreux exemples (infinis) qui prouvent que cette affirmation est fausse .
- Soit A égal à tout nombre composé (le produit de deux ou plusieurs nombres premiers). En dautres termes, A sera tout nombre non premier supérieur à 1. (par exemple, 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, etc.)
- Calculer B égal au carré de A. (Par exemple, 16, 36, 64, 81, 100, 144, 196, 225, 256, 324, 400, etc.)
- Soit C égal à tout facteur de A qui nest pas un carré parfait, qui pourrait inclure A lui-même. (Par exemple, 2; 2/3/6; 2/8; 3; 2/5/10; 2/3/6/12; 2/7/14; 3/5/15; 2/8; 2 / 3/6/18; 2/5/10/20; etc.)
- Calculez D égal à B divisé par C.
- Vos deux nombres irrationnels sont √C et √D .
- Le produit rationnel de √C et √D est égal à A.
Permettez-moi dillustrer cela avec un exemple:
- Mon anniversaire est le 26 (quelque chose), donc A = 26
- B = 676
- C pourrait être 2, 13 ou 26, donc je vais utiliser 13, mon nombre porte-bonheur C = 13
- D = 676 ÷ 13 = 52
- Quel est le produit des deux nombres irrationnels: √13 et √52?
- √ 13 x √52 = √676 qui est égal au nombre rationnel: 26
Comme vous pouvez le voir, il y a un nombre INFINI dexemples où le produit est rationnel, mais il y a aussi un Nombre INFINI dexemples où le produit est irrationnel.
Vous pouvez utiliser une méthode similaire pour trouver lun des nombreux exemples de deux nombres irrationnels avec un produit irrationnel. Commencez simplement par A égal à tout nombre composé qui nest pas un carré parfait, et laissez B égal à A. Les étapes 3 à 5 seront identiques et létape 6 vous donnera une réponse irrationnelle.
Réponse
Considérez \ sqrt {2} \ not \ in \ mathbb {Q}. Par définition, \ sqrt {2} \ times \ sqrt {2} = 2 \ in \ mathbb {Z} \ subseteq \ mathbb {Q}. Puisque les nombres irrationnels (réels) sont dans le complément des nombres rationnels dans les réels (par définition), ou, en dautres termes, les nombres irrationnels sont \ mathbb {R} \ setminus \ mathbb {Q}, nous pouvons voir assez clairement que nous avons trouvé un exemple de deux nombres irrationnels dont le produit nest pas un nombre irrationnel.
OK, jai triché ici, parce que jai choisi le même nombre irrationnel, mais cela illustre le fait quun produit dirrationnel ne sera pas forcément irrationnel (même si ce sera le cas la plupart du temps).
Maintenant, le produit de deux les nombres transcendantaux (qui ne sont les racines daucun polynôme à coefficients entiers, et sont un sous-ensemble des nombres irrationnels – en effet, ils constituent lessentiel dentre eux!), même qui nest pas garanti dêtre irrationnel. Après tout, si x est transcendantal, alors \ frac {1} {x} lest aussi. Mais x \ times \ frac {1} {x} = 1, qui est un entier, donc pas irrationnel. Ce qui renforce le point!