Meilleure réponse
Jespère que vous êtes daccord avec la théorie des ensembles. Je ne peux pas dire à quel point les nombres naturels sont merveilleux. 🙂
Donc, avant de prouver 2 + 2 = 4 , commençons par savoir quels sont les nombres naturels. Dans un langage non mathématique, ce ne serait que des noms donnés au décompte que nous donnons. On appelle alors zéro, un, deux, et ainsi de suite ………. Mais en même temps, nous aurions pu simplement les nommer des TOM, DICK, HARRY , et ainsi de suite ……;).
Maintenant, définissons-les Définir théoriquement –
Étant donné que tous les nombres de 1 à N existe, le nombre N + 1 est défini comme –
N + 1 = N∪ \ {N \}
En dautres termes, nous pouvons dire que lopérateur « +1 » ne fait rien dautre que lunion du plus grand ensemble plus petit que celui que nous opérons avec lensemble contenant ce plus grand ensemble plus petit que lensemble sur lequel nous travaillions. (Ceci est juste la définition de léquation ci-dessus: P)
Nous définissons 0 comme un ensemble vide,
0 = \ {\} = Φ
Maintenant, nous définissons récursivement les nombres suivants –
1 = 0∪ \ {0 \} = Φ∪ \ {0 \} = \ {0 \}
2 = 1∪ \ {1 \} = \ {0 \} ∪ \ {1 \} = \ {0,1 \}
3 = 2 ∪ \ {2 \} = \ {0,1 \} ∪ \ {1 \} = \ {0,1,2 \}
4 = 3∪ \ {3 \} = \ {0 , 1,2 \} ∪ \ {3 \} = \ {0,1,2,3 \}
et ainsi de suite …….
Nous pouvons en fait prouver de cette manière que – N = \ {0,1,2,3, …, N-1 \}
Maintenant N + 2 = N + (1 + 1) = (N + 1) + 1 = (N + 1) ∪ \ {(N + 1) \} = \ {0,1,2,3 …, N- 1 \} ∪ \ {N \} ∪ \ {(N + 1) \} = \ {0,1,2,3 …, N + 1 \}
Une bonne question serait pourquoi lopérateur « +2 » est-il devenu égal à « + (1 + 1) », Cest simplement parce que nous avons défini 2 de cette manière. Aussi pourquoi les parenthèses se sont-elles associées? Simplement parce que nous avons affaire à des ensembles (cela aussi sans aucun opérateur non trivial), nous pouvons le faire. 😉
Maintenant, il suffit de brancher N = 2 et Voila !!
2 + 2 = \ { 0,1,2,3 \} = 4
PS. Désolé dêtre si long, mais voici comment nous procédons.
Vous pouvez vous référer à Définition théorique des nombres naturels
Et oui, jai appris cela dans mon cours de mathématiques discrètes. Je remercie linstructeur.
Réponse
Bien sûr. Il sagit de mathématiques formelles . Si nous ne pouvions pas prouver 2 + 2 = 4, nous ne prétendrions pas que cest vrai en premier lieu.
La première question que nous devrions nous poser est: quest-ce que 2 + 2 = 4 en fait signifier? Quest-ce que 2? Quest-ce que 4? Quest-ce que +? Et quest-ce que =? Plus généralement, quest-ce quun nombre naturel? Et comment les opérations et les relations sont-elles définies sur eux?
Egalité
Vous le savez probablement déjà, mais je lai pour le dire quand même. Ma réponse doit être logiquement fermée (soyez simplement reconnaissant de ne pas partir des axiomes de ZFC, mais peu importe…). Quoi quil en soit, légalité est une relation entre deux choses. Bien sûr, mais quest-ce quune relation?
Une relation binaire R entre les ensembles A et B est définie comme suit:
R \ subseteq A \ times B
Où \ times est le produit cartésien. Donc aRb est vrai si et seulement si (a, b) \ dans R.
Equality = est une relation avec les propriétés suivantes:
- Réflexivité: \ forall x: x = x
- Symétrie: \ forall x, y: x = y \ implique y = x
- Transitivité: \ forall x, y, z: ((x = y \ land y = z) \ implique x = z)
Nombres naturels: la chose la plus merveilleusement artificielle qui soit
Si vous demandez à quelquun ce quest un nombre naturel, vous entendrez généralement «1, 2, 3,…» comme si cela réglait le problème. La définition actuelle supprime lambiguïté et rend la question beaucoup plus attrayante. Alors, que sont les nombres naturels?
Lensemble {} ^ {(*)} \ N dont les éléments se révèlent respecter les axiomes Peano est lensemble des nombres naturels. Légalité est définie sur cet ensemble, ce qui signifie que les nombres naturels sont fermés sous égalité (évidemment). Voici les axiomes Peano:
- 0 \ in \ N
- La fonction successeur S: \ N \ to \ N a les propriétés suivantes:
- \ forall n \ in \ N: S (n) \ in \ N
- \ forall n, m \ in \ N: m = n \ ssi S (n) = S (m)
- \ nexists n \ in \ N: S (n) = 0
Avons-nous terminé? Eh bien, voyons ce que ces axiomes impliquent. La première chose quon nous dit est que 0 est un nombre naturel. Par axiome 2a, S (0) est également dans \ N. Il en va de même pour S (S (0)), S (S (S (0))) et S (S (… S (S (0)))). Cela ressemble à une sorte de «structure de ligne», comme si lensemble admettait un ordre total. Mais que faire si \ existe n \ in \ N, n \ neq 0: (\ nexists m \ in \ N: S (m) = n)? Autrement dit, pourrait-il y avoir un nombre naturel qui ne soit le successeur daucun nombre naturel? Voyons voir. Prenez lensemble:
M = \ {0, S (0), S (S (0)), …, z, S (z), S (S (z)) ,. .. \}
Cest-à-dire lensemble comprenant 0 et tous ses successeurs et z et tous ses successeurs.Il a la propriété susmentionnée que z nest le successeur daucun autre nombre naturel. M vérifie-t-il les axiomes? Eh bien, laxiome 1 est vérifié trivialement en le regardant. Laxiome 2a est également vérifié: par la manière dont nous avons défini lensemble, il savère fermé sous la fonction successeur. De même, 2b et 2c sont également vrais pour M. Lensemble que jai construit ci-dessus a deux «lignes» totalement indépendantes (appelez-les la ligne 0 et la ligne z) et ne permet donc pas un ordre total.
Mais… mais… ce nest pas ce que nous voulons.
Les nombres naturels sont apparus comme un moyen intuitif de comprendre dabord certains aspects de la réalité, et ce nest que beaucoup, bien plus tard que la définition a été capturée officiellement. Et nous avions déjà la compréhension intuitive de la façon dont ils devraient se comporter. Afin déviter M, nous avons besoin dun axiome supplémentaire.
- Axiome dinduction: (0 \ in X \ land (\ forall n \ in \ N: n \ in X \ implique S ( n) \ in X) \ implique \ N \ subseteq X
Ceci implique que tout nombre naturel, sauf 0, est le successeur dun autre nombre naturel. Avec laxiome dinduction, un total (ou parfois appelé linear ) lordre peut être induit dans \ N. Comme il na pas beaucoup dimportance dans cette réponse, nous ne définirons pas formellement la notion de lordre total.
La plupart des lecteurs qui sont arrivés à ce point peuvent voir 2 = S (S (0)) et 4 = S (S (S (S (0)))), mais afin de atteindre les formalismes mathématiques, comment pouvons-nous construire \ N purement à partir de notions théoriques densemble?
La construction de Von Neumann des nombres naturels
Je vais montrer comment un tel exploit peut être accompli. Définissez 0 = \ {\} et S (n) = n \ cup \ {n \}. Ensuite:
S (0 ) = \ {\ {\} \}
S (S (0)) = \ {\ {\}, \ {\ {\} \} \}
S (S (S (0))) = \ {\ {\}, \ {\ {\} \}, \ {\ {\}, \ {\ {\} \} \} \}
(…)
Jespère que je nai rien manqué là-dedans, cest assez déroutant dans La. Quoi quil en soit, lidée est que le successeur de n contiendra tous les nombres naturels précédents, y compris n. Il est plus facile de voir que si nous l’écrivons comme ceci:
0 = \ {\}
1 = S (0) = \ {0 \}
2 = S (S (0)) = \ {0, 1 \}
3 = S (S (S (0))) = \ {0, 1, 2 \}
(…)
Comme vous pouvez le voir, il existe de nombreux ensembles conformes aux axiomes Peano, que nous appelons «représentations» ou modèles de lobjet abstrait \ N. Autrement dit, les ensembles sont définis par des moyens différents, mais sémantiquement, ils sont exactement les mêmes.
Assez avec les nombres naturels eux-mêmes. Passons à la seule chose non définie: +
Ajout sur les nombres naturels
Définir une opération + sur \ N as:
\ forall n \ in \ N: n + 0 = n
\ forall a, b \ in \ N: S (a + b) = a + S (b)
Bien sûr, cela implique que S (n) = n + 1, puisque n + 1 = n + S (0) et par définition n + S (0) = S (n + 0) = S (n). Est-ce que + associatif et commutatif comme on sy attendait? Bien sûr! Et, comme si ce n’était pas assez de beauté, nous utiliserons l’axiome de l’induction. Tout dabord, nous devons savoir si \ forall n \ in \ N: 0 + n = n:
- 0 est l identité additive :
Définissez le prédicat P (n) comme \ forall n \ in \ N: 0 + n = n. P (0) tient clairement: 0 + 0 = 0 par la première définition. Par laxiome dinduction:
n + 0 = 0 + n \ implique
S (n + 0) = S (0 + n) \ implique
S (n) = 0 + S (n) \ implique
\ forall n \ in \ N: 0 + n = n
- Associativité:
Définissez P (c) comme \ forall a, b \ in \ N: (a + b) + c = a + (b + c)
P (0):
(a + b) + 0 = a + b
a + (b + 0) = a + b
Nous devons maintenant montrer que:
P (c) \ implique P (S (c)):
Supposons P (c):
(a + b) + c = a + (b + c) \ implique
S ((a + b) + c) = S (a + (b + c)) \ implique
(a + b) + S (c ) = a + S (b + c) \ implique
(a + b) + S (c) = a + (b + S (c))
- Commutativité :
Donner le nom P (\ ell) (\ ell \ in \ N) au prédicat \ forall n \ in \ N: n + \ ell = \ ell + n. Pour \ ell = 1:
P (1):
Nous utiliserons 1 (puisque nous avons déjà montré 0 trajets avec tout) comme cas de base et prouverons P (1 ) avec récurrence sur G (a): a + 1 = 1 + a. G (0) est bien sûr trivial. Prouvons maintenant G (a) \ implique G (a + 1).
S (a) + 1 = S (a) + S (0) \ implique
S ( a) + 1 = S (S (a) + 0) \ implique
S (a) + 1 = S (a + 1) \ implique
Par lhypothèse de récurrence:
S (a) + 1 = S (1 + a) \ implique
S (a) + 1 = 1 + S (a)
Le le cas de base est terminé, pas inductif à faire!
P (\ ell) \ implique P (S (\ ell)):
Supposons P (\ ell):
n + \ ell = \ ell + n \ implique
S (n + \ ell) = S (\ ell + n) \ implique
n + S ( \ ell) = \ ell + S (n) \ implique
n + \ ell + 1 = \ ell + n + 1
Par le cas de base (1 fait la navette avec tout) :
n + \ ell + 1 = \ ell + 1 + n
n + S (\ ell) = S (\ ell) + n
Et nous avons prouvé nos propriétés daddition préférées directement à partir de la définition!
La vraie question
Maintenant, Je vais prouver 2 + 2 = 4. Cest un peu ennuyeux, mais jespère que le chemin était en quelque sorte éclairant. Quoi quil en soit, 2 = S (S (0)) et 4 = S (S (S (S (0)))).
2 + 2 = S (S (0)) + S (S (0)) \ implique
2 + 2 = S (S (S (0)) + S (0)) \ implique
2 + 2 = S (S (S (0)) + 1) \ implique
2 + 2 = S (S (S (S ( 0)))) = 4
Génial! Nous lavons fait!
Bien sûr, vous pouvez également définir la notation décimale, mais 2 et 4 conservent le même sens par simple définition. En bref, toute cette réponse est un gigantesque «par définition» et tout comme les mathématiques.
Jespère que vous avez apprécié votre chemin!
Si jai fait une erreur ou sil y a quelque chose que vous ajouterait ou modifierait la réponse, jaimerais savoir.