A legjobb válasz
Az állításod
- néha igaz (végtelen számú példa igazolja); és
- néha hamis (végtelen számú példával igazolva, hogy hamis);
de mivel az állításod a any szót használja,
- a teljes állításod hamis, mert
- végtelen számú példa létezik, ahol két irracionális szám szorzata racionális számot alkot.
Így találhatjuk meg a sok (végtelen) példa egyikét, amelyek ezt az állítást hamisnak bizonyítják. .
- Legyen A egyenlő bármely összetett számmal (bármely két vagy több prímszám szorzata). Más szavakkal, A bármely nem prímszám lesz, amely nagyobb, mint 1. (Például 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20 stb.)
- Számítsa ki az A négyzetével egyenlő B értéket (például 16, 36, 64, 81, 100, 144, 196, 225, 256, 324, 400 stb.)
- Legyen C értéke egyenlő bármely olyan A tényezővel, amely nem tökéletes négyzet, amely magában foglalhatja magát A-t is. (Például 2; 2/3/6; 2/8; 3; 2/5/10; 2/3/6/12; 2/7/14; 3/5/15; 2/8; 2 / 3/6/18; 2/5/10/20; stb.)
- Számítsa ki a D-t, amely egyenlő B-vel osztva C-vel.
- Két irracionális számod: √C és √D .
- A √C és √D racionális szorzata egyenlő A-val.
Hadd illusztráljam ezt egy példával:
- A születésnapom valaminek a 26. napján van, tehát A = 26
- B = 676
- C lehet 2, 13 vagy 26, tehát 13-at fogok használni, szerencsés szám C = 13
- D = 676 ÷ 13 = 52
- Mi a két irracionális szám szorzata: √13 és √52?
- √ 13 x √52 = √676, amely megegyezik a racionális számmal: 26
Mint látható, végtelen számú példa létezik, ahol a termék racionális, de van egy VÉGTELEN számú példa, ahol a termék irracionális.
Hasonló módszerrel megtalálhatja az irracionális termék két irracionális számának számos példáját. Kezdje azzal, hogy egyenlő bármely összetett számmal, amely nem tökéletes négyzet, és hagyja, hogy B egyenlő legyen A-val. A 3–5. Lépések azonosak lesznek, a 6. lépés pedig irracionális választ ad.
Válasz
Fontolja meg az \ sqrt {2} \ not \ in \ mathbb {Q} elemet. Definíció szerint \ sqrt {2} \ times \ sqrt {2} = 2 \ in \ mathbb {Z} \ subseteq \ mathbb {Q}. Mivel az irracionális (valós) számok a valóságban szereplő racionális számok kiegészítésében vannak (definíció szerint), vagy más szavakkal, az irracionális számok \ mathbb {R} \ setminus \ mathbb {Q}, egészen világosan láthatjuk, hogy találtunk példát két irracionális számra, amelyek szorzata nem irracionális szám.
OK, itt csaltam, mert ugyanazt az irracionális számot választottam, de ez azt a pontot szemlélteti, hogy az irracionálisok szorzata nem feltétlenül lesz irracionális (még akkor is, ha ez a helyzet legtöbbször lesz.)
Most két transzcendentális számok (amelyek nem egy egész együtthatójú polinom gyökerei, és az irracionális számok részhalmazát képezik – sőt, ezek alkotják a legnagyobb részt!), még , amely nem garantáltan irracionális. Végül is, ha x transzcendentális, akkor a \ frac {1} {x} is. De x \ times \ frac {1} {x} = 1, ami egész szám, tehát nem irracionális. Ami megerősíti a lényeget!