Két irracionális szám szorzata okoz irracionális számot?


A legjobb válasz

Az állításod

  • néha igaz (végtelen számú példa igazolja); és
  • néha hamis (végtelen számú példával igazolva, hogy hamis);

de mivel az állításod a any szót használja,

  • a teljes állításod hamis, mert
  • végtelen számú példa létezik, ahol két irracionális szám szorzata racionális számot alkot.

Így találhatjuk meg a sok (végtelen) példa egyikét, amelyek ezt az állítást hamisnak bizonyítják. .

  1. Legyen A egyenlő bármely összetett számmal (bármely két vagy több prímszám szorzata). Más szavakkal, A bármely nem prímszám lesz, amely nagyobb, mint 1. (Például 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20 stb.)
  2. Számítsa ki az A négyzetével egyenlő B értéket (például 16, 36, 64, 81, 100, 144, 196, 225, 256, 324, 400 stb.)
  3. Legyen C értéke egyenlő bármely olyan A tényezővel, amely nem tökéletes négyzet, amely magában foglalhatja magát A-t is. (Például 2; 2/3/6; 2/8; 3; 2/5/10; 2/3/6/12; 2/7/14; 3/5/15; 2/8; 2 / 3/6/18; 2/5/10/20; stb.)
  4. Számítsa ki a D-t, amely egyenlő B-vel osztva C-vel.
  5. Két irracionális számod: √C és √D .
  6. A √C és √D racionális szorzata egyenlő A-val.

Hadd illusztráljam ezt egy példával:

  1. A születésnapom valaminek a 26. napján van, tehát A = 26
  2. B = 676
  3. C lehet 2, 13 vagy 26, tehát 13-at fogok használni, szerencsés szám C = 13
  4. D = 676 ÷ 13 = 52
  5. Mi a két irracionális szám szorzata: √13 és √52?
  6. √ 13 x √52 = √676, amely megegyezik a racionális számmal: 26

Mint látható, végtelen számú példa létezik, ahol a termék racionális, de van egy VÉGTELEN számú példa, ahol a termék irracionális.

Hasonló módszerrel megtalálhatja az irracionális termék két irracionális számának számos példáját. Kezdje azzal, hogy egyenlő bármely összetett számmal, amely nem tökéletes négyzet, és hagyja, hogy B egyenlő legyen A-val. A 3–5. Lépések azonosak lesznek, a 6. lépés pedig irracionális választ ad.

Válasz

Fontolja meg az \ sqrt {2} \ not \ in \ mathbb {Q} elemet. Definíció szerint \ sqrt {2} \ times \ sqrt {2} = 2 \ in \ mathbb {Z} \ subseteq \ mathbb {Q}. Mivel az irracionális (valós) számok a valóságban szereplő racionális számok kiegészítésében vannak (definíció szerint), vagy más szavakkal, az irracionális számok \ mathbb {R} \ setminus \ mathbb {Q}, egészen világosan láthatjuk, hogy találtunk példát két irracionális számra, amelyek szorzata nem irracionális szám.

OK, itt csaltam, mert ugyanazt az irracionális számot választottam, de ez azt a pontot szemlélteti, hogy az irracionálisok szorzata nem feltétlenül lesz irracionális (még akkor is, ha ez a helyzet legtöbbször lesz.)

Most két transzcendentális számok (amelyek nem egy egész együtthatójú polinom gyökerei, és az irracionális számok részhalmazát képezik – sőt, ezek alkotják a legnagyobb részt!), még , amely nem garantáltan irracionális. Végül is, ha x transzcendentális, akkor a \ frac {1} {x} is. De x \ times \ frac {1} {x} = 1, ami egész szám, tehát nem irracionális. Ami megerősíti a lényeget!

Vélemény, hozzászólás?

Az email címet nem tesszük közzé. A kötelező mezőket * karakterrel jelöltük