Risposta migliore
La tua affermazione è
- a volte true (con un numero infinito di esempi che lo rendono vero); e
- a volte false (con un numero infinito di esempi che dimostrano che è falso);
ma poiché la tua dichiarazione utilizza la parola any,
- lintera affermazione è falsa, perché
- ci sono un numero infinito di esempi in cui il prodotto di due numeri irrazionali forma un numero razionale.
Ecco come trovare uno dei tanti (infiniti) esempi che dimostrano che questa affermazione è falsa .
- Sia A uguale a qualsiasi numero composto (il prodotto di due o più numeri primi). In altre parole, A sarà qualsiasi numero non primo maggiore di 1. (Ad esempio, 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, ecc.)
- Calcola B uguale al quadrato di A. (Ad esempio, 16, 36, 64, 81, 100, 144, 196, 225, 256, 324, 400, ecc.)
- Sia C uguale a qualsiasi fattore di A che non sia un quadrato perfetto, che potrebbe includere A stesso. (Ad esempio, 2; 2/3/6; 2/8; 3; 2/5/10; 2/3/6/12; 2/7/14; 3/5/15; 2/8; 2 / 3/6/18; 2/5/10/20; ecc.)
- Calcola D uguale a B diviso C.
- I tuoi due numeri irrazionali sono √C e √D .
- Il prodotto razionale di √C e √D è uguale ad A.
Fammi illustrare questo con un esempio:
- Il mio compleanno è il 26 di (qualcosa), quindi A = 26
- B = 676
- C potrebbe essere 2, 13 o 26, quindi userò 13, il mio numero fortunato C = 13
- D = 676 ÷ 13 = 52
- Qual è il prodotto dei due numeri irrazionali: √13 e √52?
- √ 13 x √52 = √676 che è uguale al numero razionale: 26
Come puoi vedere, ci sono un numero INFINITO di esempi in cui il prodotto è razionale, ma ci sono anche un Numero INFINITO di esempi in cui il prodotto è irrazionale.
Puoi utilizzare un metodo simile per trovare uno qualsiasi dei molti esempi di due numeri irrazionali con un prodotto irrazionale. Inizia con A uguale a qualsiasi numero composto che non sia un quadrato perfetto e lascia che B sia uguale a A. I passaggi 3–5 saranno identici e il passaggio 6 ti darà una risposta irrazionale.
Risposta
Considera \ sqrt {2} \ non \ in \ mathbb {Q}. Per definizione, \ sqrt {2} \ times \ sqrt {2} = 2 \ in \ mathbb {Z} \ subseteq \ mathbb {Q}. Poiché i numeri irrazionali (reali) sono nel complemento dei numeri razionali nei reali (per definizione), o, in altre parole, i numeri irrazionali sono \ mathbb {R} \ setminus \ mathbb {Q}, possiamo vedere abbastanza chiaramente che abbiamo trovato un esempio di due numeri irrazionali il cui prodotto non è un numero irrazionale.
OK, ho barato qui, perché ho scelto lo stesso numero irrazionale, ma illustra il punto che un prodotto di irrazionali non sarà necessariamente irrazionale (anche se questo sarà il caso la maggior parte delle volte).
Ora, il prodotto di due trascendentale numeri (che non sono le radici di nessun polinomio con coefficienti interi e sono un sottoinsieme dei numeri irrazionali – anzi, ne costituiscono la maggior parte!), anche che non è garantito che sia irrazionale. Dopo tutto, se x è trascendentale, allora lo è anche \ frac {1} {x}. Ma x \ times \ frac {1} {x} = 1, che è un numero intero, quindi non irrazionale. Il che rafforza il punto!