Migliore risposta
Spero che tu stia bene con la Teoria degli insiemi. Non posso dire quanto siano meravigliosi i numeri naturali. 🙂
Quindi, prima di provare 2 + 2 = 4 , vediamo prima cosa sono i numeri naturali. In un linguaggio non matematico sarebbero solo i nomi dati al conteggio che diamo. Chiamiamo quindi zero, uno, due e così via ………. Ma allo stesso tempo avremmo potuto nominarli solo con TOM, DICK, HARRY e così via ……;).
Ora definiamoli Set Teoricamente –
Dato che tutti i numeri da 1 a N esiste, il numero N + 1 è definito come –
N + 1 = N∪ \ {N \}
In altre parole possiamo dire che loperatore “ +1 ” non fa altro che unire linsieme più grande più piccolo dellinsieme che stiamo operando con il set contenente questo set più grande più piccolo del set su cui stavamo operando. (Questa è solo la definizione dellequazione precedente: P)
Definiamo 0 come un insieme vuoto,
0 = \ {\} = Φ
Ora definiamo ricorsivamente i numeri successivi –
1 = 0∪ \ {0 \} = Φ∪ \ {0 \} = \ {0 \}
2 = 1∪ \ {1 \} = \ {0 \} ∪ \ {1 \} = \ {0,1 \}
3 = 2 ∪ \ {2 \} = \ {0,1 \} ∪ \ {1 \} = \ {0,1,2 \}
4 = 3∪ \ {3 \} = \ {0 , 1,2 \} ∪ \ {3 \} = \ {0,1,2,3 \}
e così via …….
In questo modo possiamo effettivamente provare che – N = \ {0,1,2,3, …, N-1 \}
Ora N + 2 = N + (1 + 1) = (N + 1) + 1 = (N + 1) ∪ \ {(N + 1) \} = \ {0,1,2,3 …, N- 1 \} ∪ \ {N \} ∪ \ {(N + 1) \} = \ {0,1,2,3 …, N + 1 \}
Una buona domanda sarebbe perché loperatore “ +2 ” è diventato uguale a “ + (1 + 1) “, Questo è semplicemente perché abbiamo definito 2 in questo modo. Inoltre perché le parentesi si associavano? Semplicemente perché abbiamo a che fare con insiemi (anche questo senza operatori non banali), possiamo farlo. 😉
Ora basta collegare N = 2 e Voilà !!
2 + 2 = \ { 0,1,2,3 \} = 4
PS. Ci scusiamo per il tempo, ma è così che lo facciamo.
Puoi fare riferimento a Definizione teorica dei numeri naturali
E sì, mi è stato insegnato questo nel mio corso di matematica discreta. Ringrazio lIstruttore.
Risposta
Certamente. Questa è matematica formale . Se non potessimo dimostrare che 2 + 2 = 4, non affermeremmo che sia vero in primo luogo.
La prima domanda che dovremmo porci è: cosa fa 2 + 2 = 4 effettivamente significare? Qual è 2? Cosè 4? Cosè +? E cosè =? Più in generale, cosè un numero naturale? E come vengono definite le operazioni e le relazioni su di esse?
Uguaglianza
Probabilmente lo sai già, ma io lho per dirlo comunque. La mia risposta deve essere logicamente chiusa (sii solo grato di non essere partito dagli assiomi ZFC, ma qualunque cosa …). In ogni caso, luguaglianza è una relazione tra due cose. Certo, ma cosè una relazione?
Una relazione binaria R tra gli insiemi A e B è definita come segue:
R \ subseteq A \ times B
Dove \ times è il prodotto cartesiano. Quindi aRb è vero se e solo se (a, b) \ in R.
Uguaglianza = è una relazione con le seguenti proprietà:
- Riflessività: \ forall x: x = x
- Simmetria: \ forall x, y: x = y \ implica y = x
- Transitività: \ forall x, y, z: ((x = y \ land y = z) \ implica x = z)
Numeri naturali: la cosa più meravigliosamente innaturale di sempre
Se chiedi a qualcuno cosè un numero naturale, di solito sentirai “1,2,3, …” come se questo risolvesse la questione. La definizione effettiva rimuove lambiguità e rende la questione molto più attraente. Allora, cosa sono i numeri naturali?
Linsieme {} ^ {(*)} \ N i cui elementi dimostra di rispettare gli assiomi di Peano è linsieme dei numeri naturali. Luguaglianza è definita su questo insieme, il che significa che i numeri naturali sono chiusi sotto luguaglianza (ovviamente). Ecco gli assiomi di Peano:
- 0 \ in \ N
- La funzione successore S: \ N \ to \ N ha le seguenti proprietà:
- \ forall n \ in \ N: S (n) \ in \ N
- \ forall n, m \ in \ N: m = n \ iff S (n) = S (m)
- \ nexists n \ in \ N: S (n) = 0
Abbiamo finito? Bene, vediamo cosa implicano questi assiomi. La prima cosa che ci viene detta è che 0 è un numero naturale. Secondo lassioma 2a, S (0) è anche in \ N. Così è S (S (0)), S (S (S (0))) e S (S (… S (S (0)))). Sembra una sorta di “struttura a linee”, come se linsieme ammettesse un ordine totale. Ma cosa succede se \ esiste n \ in \ N, n \ neq 0: (\ nexists m \ in \ N: S (m) = n)? Cioè, potrebbe esserci un numero naturale che non è il successore di alcun numero naturale? Vediamo. Prendi linsieme:
M = \ {0, S (0), S (S (0)), …, z, S (z), S (S (z)) ,. .. \}
Cioè, linsieme che include 0 e tutti i suoi successori e ze tutti i suoi successori.Ha la proprietà di cui sopra che z non è il successore di nessun altro numero naturale. M verifica gli assiomi? Ebbene, lassioma 1 è banalmente verificato guardandolo. Viene verificato anche lassioma 2a: da come abbiamo definito linsieme, risulta chiuso sotto la funzione successore. Allo stesso modo, 2b e 2c valgono anche per M. Linsieme che ho costruito sopra ha due “linee” totalmente indipendenti (chiamiamole linea 0 e linea z) e quindi non consente un ordine totale.
Ma … ma … questo non è quello che vogliamo.
Natural Numbers è nato come un modo intuitivo per comprendere prima alcuni aspetti della realtà, e solo molto, molto più tardi la definizione è stata catturata formalmente. E avevamo già la comprensione intuitiva di come dovrebbero comportarsi. Per evitare M, abbiamo bisogno di un assioma aggiuntivo.
- Assioma di induzione: (0 \ in X \ land (\ forall n \ in \ N: n \ in X \ implica S ( n) \ in X) \ implica \ N \ subseteq X
Ciò implica che ogni numero naturale, tranne 0, è il successore di un altro numero naturale. Con lassioma dellinduzione, un totale (o talvolta chiamato lineare ) lordine può essere indotto in \ N. Poiché non è di grande rilevanza in questa risposta, non definiremo formalmente la nozione dellordine totale.
La maggior parte dei lettori giunti a questo punto possono vedere 2 = S (S (0)) e 4 = S (S (S (S (0)))), ma per raggiungere formalismi matematici, come possiamo costruire \ N puramente da nozioni teoriche impostate?
La costruzione di Von Neumann dei numeri naturali
Mostrerò come si può realizzare tale impresa. Definisci 0 = \ {\} e S (n) = n \ cup \ {n \}. Quindi:
S (0 ) = \ {\ {\} \}
S (S (0)) = \ {\ {\}, \ {\ {\} \} \}
S (S (S (0))) = \ {\ {\}, \ {\ {\} \}, \ {\ {\}, \ {\ {\} \} \} \}
(…)
Spero di non essermi perso nulla, questo è piuttosto confuso in La. Comunque, lidea è che il successore di n conterrà ogni Numero Naturale precedente, compreso il n. È più facile capirlo se lo scriviamo così:
0 = \ {\}
1 = S (0) = \ {0 \}
2 = S (S (0)) = \ {0, 1 \}
3 = S (S (S (0))) = \ {0, 1, 2 \}
(…)
Come puoi vedere, ci sono molti insiemi conformi agli assiomi di Peano, che chiamiamo “rappresentazioni” o modelli delloggetto astratto \ N. Cioè, gli insiemi sono definiti con mezzi diversi, ma semanticamente sono esattamente gli stessi.
Basta con i numeri naturali stessi. Andiamo allunica cosa rimasta indefinita: +
Addizione ai numeri naturali
Definisci unoperazione + over \ N come:
\ forall n \ in \ N: n + 0 = n
\ forall a, b \ in \ N: S (a + b) = a + S (b)
Abbastanza sicuro, ciò implica che S (n) = n + 1, poiché n + 1 = n + S (0) e per definizione n + S (0) = S (n + 0) = S (n). + È associativo e commutativo come ci aspetteremmo? Naturalmente! E, come se non fosse abbastanza bellezza, useremo lassioma dellinduzione. Innanzitutto, dobbiamo sapere se \ forall n \ in \ N: 0 + n = n:
- 0 è l identità additiva :
Definisci il predicato P (n) come \ forall n \ in \ N: 0 + n = n. P (0) vale chiaramente: 0 + 0 = 0 per la prima definizione. Per lassioma dellinduzione:
n + 0 = 0 + n \ implica
S (n + 0) = S (0 + n) \ implica
S (n) = 0 + S (n) \ implica
\ forall n \ in \ N: 0 + n = n
- Associatività:
Definisci P (c) come \ forall a, b \ in \ N: (a + b) + c = a + (b + c)
P (0):
(a + b) + 0 = a + b
a + (b + 0) = a + b
Ora dobbiamo dimostrare che:
P (c) \ implica P (S (c)):
Supponi P (c):
(a + b) + c = a + (b + c) \ implica
S ((a + b) + c) = S (a + (b + c)) \ implica
(a + b) + S (c ) = a + S (b + c) \ implica
(a + b) + S (c) = a + (b + S (c))
- Commutatività :
Assegna il nome P (\ ell) (\ ell \ in \ N) al predicato \ forall n \ in \ N: n + \ ell = \ ell + n. Per \ ell = 1:
P (1):
useremo 1 (dato che abbiamo già mostrato 0 commuta con tutto) come caso base e dimostreremo P (1 ) con induzione su G (a): a + 1 = 1 + a. G (0) è ovviamente banale. Ora proviamo che G (a) \ implica G (a + 1).
S (a) + 1 = S (a) + S (0) \ implica
S ( a) + 1 = S (S (a) + 0) \ implica
S (a) + 1 = S (a + 1) \ implica
Per ipotesi di induzione:
S (a) + 1 = S (1 + a) \ implica
S (a) + 1 = 1 + S (a)
Il caso di base è fatto, passo induttivo per andare!
P (\ ell) \ implica P (S (\ ell)):
Assumi P (\ ell):
n + \ ell = \ ell + n \ implica
S (n + \ ell) = S (\ ell + n) \ implica
n + S ( \ ell) = \ ell + S (n) \ implica
n + \ ell + 1 = \ ell + n + 1
In base al caso (1 commuta con tutto) :
n + \ ell + 1 = \ ell + 1 + n
n + S (\ ell) = S (\ ell) + n
E abbiamo dimostrato le nostre proprietà di addizione preferite direttamente dalla definizione!
La domanda effettiva
Ora, Dimostrerò 2 + 2 = 4. È un po noioso, ma si spera che la strada sia stata in qualche modo illuminante. In ogni caso, 2 = S (S (0)) e 4 = S (S (S (S (0)))).
2 + 2 = S (S (0)) + S (S (0)) \ implica
2 + 2 = S (S (S (0)) + S (0)) \ implica
2 + 2 = S (S (S (0)) + 1) \ implica
2 + 2 = S (S (S (S ( 0)))) = 4
Ottimo! Ce labbiamo fatta!
Certo, potresti anche definire la notazione decimale, ma 2 e 4 mantengono lo stesso significato per mera definizione. In breve, lintera risposta è un gigantesco “per definizione”, così come la matematica.
Spero ti sia piaciuto il tuo modo!
Se ho fatto un errore o cè qualcosa che tu aggiungere o modificare la risposta, mi piacerebbe saperlo.