최상의 답변
당신의 진술은 다음과 같습니다.
- 때때로 true (무한한 수의 예제를 통해 사실로 함); 및
- 가끔 false (거짓임을 입증하는 무한한 수의 예제 포함);
그러나 귀하의 명세서에서 any라는 단어를 사용하므로
- 전체 명세서가 거짓입니다. 왜냐하면
- 두 개의 비합리적 숫자의 곱이 유리수를 만드는 예는 무한합니다.
다음은이 진술이 거짓임을 증명하는 많은 (무한) 예 중 하나를 찾는 방법입니다. .
- A를 임의의 복합 수 (두 개 이상의 소수의 곱)와 같게합니다. 즉, A는 1보다 큰 소수가 아닌 숫자입니다 (예 : 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20 등).
- B를 A의 제곱과 동일하게 계산합니다 (예 : 16, 36, 64, 81, 100, 144, 196, 225, 256, 324, 400 등).
- C는 A 자체를 포함 할 수있는 완전 제곱이 아닌 A의 인수와 같습니다. (예 : 2; 2/3/6; 2/8; 3; 2/5/10; 2/3/6/12; 2/7/14; 3/5/15; 2/8; 2 / 3/6/18; 2/5/10/20 등)
- B를 C로 나눈 D를 계산합니다.
- 두 개의 비합리적인 숫자는 √C와 √D입니다. .
- √C와 √D의 합리적 곱은 A와 같습니다.
예를 들어 설명하겠습니다.
- 내 생일은 (무언가)의 26 일이므로 A = 26
- B = 676
- C는 2, 13 또는 26 일 수 있으므로 13을 사용합니다. 행운의 숫자 C = 13
- D = 676 ÷ 13 = 52
- 두 무리수 √13과 √52의 곱은 무엇입니까?
- √ 13 x √52 = √676 이것은 유리수와 같습니다 : 26
보시다시피 제품이 유리한 예가 무한하지만 제품이 비이성적 인 예의 무한대.
비이성적 인 제품이있는 두 개의 비이성적 인 숫자의 많은 예를 찾기 위해 유사한 방법을 사용할 수 있습니다. 완전 제곱이 아닌 합성 수와 같은 A로 시작하고 B를 A와 같게합니다. 3 ~ 5 단계는 동일하며 6 단계는 비합리적인 대답을 제공합니다.
답변
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\ sqrt {2} \ not \ in \ mathbb {Q}를 고려하십시오. 정의에 따라 \ sqrt {2} \ times \ sqrt {2} = 2 \ in \ mathbb {Z} \ subseteq \ mathbb {Q}입니다. 비합리적 (실수) 수는 실수 (정의에 따라)의 유리수를 보완하거나 즉, 비합리적 수는 \ mathbb {R} \ setminus \ mathbb {Q}이므로 다음과 같은 것을 매우 명확하게 볼 수 있습니다. 우리는 제품이 비이성적 인 숫자가 아닌 두 개의 비이성적 인 숫자의 예를 찾았습니다.
좋아요, 저는 동일한 비이성적 인 숫자를 선택했기 때문에 여기에서 속임수를 썼지 만 비이성적 인 곱이 반드시 비합리적 일 필요는 없습니다 (대부분의 경우 대부분 일지라도).
이제 두 개의 초월 적 숫자 (정수 계수를 가진 다항식의 근이 아니며 비합리적인 숫자의 하위 집합입니다. 실제로 그것들은 대부분을 구성합니다!), 가 비합리적이라고 보장 할 수 없습니다. 결국 x가 초월 적이라면 \ frac {1} {x}도 마찬가지입니다. 그러나 x \ times \ frac {1} {x} = 1은 정수이므로 비합리적이지 않습니다. 요점을 강화합니다!