Najlepsza odpowiedź
Twoje stwierdzenie to
- czasami prawda (z nieskończoną liczbą przykładów, które to potwierdzają); i
- czasami fałsz (z nieskończoną liczbą przykładów udowadniających, że jest fałszywy);
ale ponieważ w oświadczeniu użyto słowa any,
- całe stwierdzenie jest fałszywe, ponieważ
- istnieje nieskończona liczba przykładów, w których iloczyn dwóch liczb niewymiernych tworzy liczbę wymierną.
Oto jak znaleźć jeden z wielu (nieskończonych) przykładów, które dowodzą, że to stwierdzenie jest fałszywe .
- Niech A będzie równe dowolnej liczbie złożonej (iloczynowi dowolnych dwóch lub więcej liczb pierwszych). Innymi słowy, A będzie dowolną liczbą inną niż pierwsza większa niż 1. (na przykład 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20 itd.)
- Oblicz B równe kwadratowi A. (na przykład 16, 36, 64, 81, 100, 144, 196, 225, 256, 324, 400 itd.)
- Niech C będzie równy dowolnemu czynnikowi A, który nie jest idealnym kwadratem, który może zawierać sam A. (Na przykład 2; 2/3/6; 2/8; 3; 2/5/10; 2/3/6/12; 2/7/14; 3/5/15; 2/8; 2 / 3/6/18; 2/5/10/20; itd.)
- Oblicz D równe B podzielone przez C.
- Twoje dwie liczby niewymierne to √C i √D .
- Iloczyn racjonalny √C i √D jest równy A.
Zilustruję to na przykładzie:
- Moje urodziny przypadają na 26 (coś), więc A = 26
- B = 676
- C może być 2, 13 lub 26, więc użyję 13, mój szczęśliwa liczba C = 13
- D = 676 ÷ 13 = 52
- Jaki jest iloczyn dwóch liczb niewymiernych: √13 i √52?
- √ 13 x √52 = √676, co jest równe liczbie wymiernej: 26
Jak widać, istnieje NIESKOŃCZONA liczba przykładów, w których iloczyn jest wymierny, ale jest też NIESKOŃCZONA liczba przykładów iloczynu irracjonalnego.
Możesz użyć podobnej metody, aby znaleźć dowolny z wielu przykładów dwóch liczb niewymiernych z iloczynem niewymiernym. Po prostu zacznij od A równego dowolnej liczbie złożonej, która nie jest idealnym kwadratem, i pozwól B równe A. Kroki 3–5 będą identyczne, a krok 6 da ci irracjonalną odpowiedź.
Odpowiedź
Rozważmy \ sqrt {2} \ not \ in \ mathbb {Q}. Z definicji \ sqrt {2} \ times \ sqrt {2} = 2 \ in \ mathbb {Z} \ subseteq \ mathbb {Q}. Ponieważ liczby niewymierne (rzeczywiste) są uzupełnieniem liczb wymiernych w liczbach rzeczywistych (z definicji) lub, innymi słowy, liczby niewymierne to \ mathbb {R} \ setminus \ mathbb {Q}, możemy wyraźnie zobaczyć, że znaleźliśmy przykład dwóch liczb niewymiernych, których iloczyn nie jest liczbą niewymierną.
OK, oszukałem tutaj, ponieważ wybrałem tę samą liczbę niewymierną, ale ilustruje to, że iloczyn liczb niewymiernych niekoniecznie będzie irracjonalne (nawet jeśli tak będzie przez większość czasu).
Teraz iloczyn dwóch transcendentalne liczby (które nie są pierwiastkami żadnego wielomianu ze współczynnikami całkowitymi i są podzbiorem liczb niewymiernych – w rzeczywistości stanowią ich większość!), nawet to nie jest gwarantowane jako irracjonalne. W końcu, jeśli x jest transcendentalne, to tak samo jest z \ frac {1} {x}. Ale x \ times \ frac {1} {x} = 1, co jest liczbą całkowitą, a więc nie jest irracjonalne. Co wzmacnia ten punkt!