Najlepsza odpowiedź
Mam nadzieję, że zgadzasz się z teorią mnogości. Nie potrafię powiedzieć, jak wspaniałe są liczby naturalne. 🙂
Więc najpierw zanim udowodnimy 2 + 2 = 4 , najpierw dowiedzmy się, czym są liczby naturalne. W języku niematematycznym byłyby to po prostu nazwy nadawane liczbie, którą podajemy. Wołamy wówczas zero, jeden, dwa i tak dalej ………. Ale jednocześnie moglibyśmy po prostu nazwać je TOM, DICK, HARRY i tak dalej ……;).
Teraz zdefiniujmy je Ustaw teoretycznie –
Biorąc pod uwagę, że wszystkie liczby od 1 do N istnieje, liczba N + 1 jest zdefiniowana jako –
N + 1 = N∪ \ {N \}
Innymi słowy, możemy powiedzieć, że operator „ +1 ” nie robi nic poza łączeniem największego zbioru mniejszego niż zbiór, który obsługujemy ze zbiorem zawierającym ten największy zbiór mniejszy niż zbiór, na którym operowaliśmy. (To jest tylko definicja powyższego równania: P)
Definiujemy 0 jako pusty zbiór,
0 = \ {\} = Φ
Teraz rekurencyjnie definiujemy kolejne liczby –
1 = 0∪ \ {0 \} = Φ∪ \ {0 \} = \ {0 \}
2 = 1∪ \ {1 \} = \ {0 \} ∪ \ {1 \} = \ {0,1 \}
3 = 2 ∪ \ {2 \} = \ {0,1 \} ∪ \ {1 \} = \ {0,1,2 \}
4 = 3∪ \ {3 \} = \ {0 , 1,2 \} ∪ \ {3 \} = \ {0,1,2,3 \}
i tak dalej …….
Właściwie możemy w ten sposób udowodnić, że – N = \ {0,1,2,3, …, N-1 \}
Teraz N + 2 = N + (1 + 1) = (N + 1) + 1 = (N + 1) ∪ \ {(N + 1) \} = \ {0,1,2,3 …, N- 1 \} ∪ \ {N \} ∪ \ {(N + 1) \} = \ {0,1,2,3 …, N + 1 \}
Dobre pytanie byłoby dlaczego operator „ +2 ” stał się równy „ + (1 + 1) ”, Dzieje się tak po prostu dlatego, że zdefiniowaliśmy 2 w ten sposób. Dlaczego też nawiasy są powiązane? Po prostu dlatego, że mamy do czynienia ze zbiorami (także bez żadnych nietrywialnych operatorów), możemy to zrobić. 😉
Teraz po prostu podłączamy N = 2 i Voila !!
2 + 2 = \ { 0,1,2,3 \} = 4
PS. Przepraszamy, że trwałem tak długo, ale tak to robimy.
Możesz odnieść się do teorii mnogościowej definicji liczb naturalnych
I tak, uczono mnie tego na moim kursie matematyki dyskretnej. Dziękuję instruktorowi.
Odpowiedź
Oczywiście. To jest matematyka formalna . Gdybyśmy nie mogli udowodnić 2 + 2 = 4, nie twierdzilibyśmy, że to prawda.
Pierwsze pytanie, które powinniśmy sobie zadać, brzmi: Co właściwie oznacza 2 + 2 = 4 oznaczać? Co to jest 2? Co to jest 4? Co to jest +? A co to jest =? Mówiąc bardziej ogólnie, czym jest liczba naturalna? W jaki sposób definiowane są operacje i relacje na nich?
Równość
Prawdopodobnie już to wiesz, ale mam mimo wszystko to stwierdzić. Moja odpowiedź musi być zamknięta logicznie (po prostu bądź wdzięczny, że nie zacząłem od aksjomatów ZFC, ale cokolwiek…). W każdym razie równość to relacja między dwiema rzeczami. Jasne, ale czym jest relacja?
Relacja binarna R między zbiorami A i B jest zdefiniowana w następujący sposób:
R \ subseteq A \ times B
Gdzie \ times jest iloczynem kartezjańskim. Zatem aRb jest prawdziwe wtedy i tylko wtedy, gdy (a, b) \ in R.
Równość = jest relacją z następującymi właściwościami:
- Refleksyjność: \ forall x: x = x
- Symetria: \ forall x, y: x = y \ implikuje y = x
- Przechodniość: \ forall x, y, z: ((x = y \ land y = z) \ implies x = z)
Liczby naturalne: najpiękniejsza rzecz nienaturalna w historii
Jeśli zapytasz kogoś, co to jest liczba naturalna, zwykle usłyszysz „1, 2, 3,…”, jakby to rozstrzygało sprawę. Faktyczna definicja usuwa niejednoznaczność i czyni sprawę o wiele bardziej atrakcyjną. Więc czym są liczby naturalne?
Zbiór {} ^ {(*)} \ N, którego elementy okazują się respektować aksjomaty Peano, to zbiór liczb naturalnych. Równość jest zdefiniowana w tym zbiorze, co oznacza, że liczby naturalne są zamknięte pod równością (oczywiście). Oto aksjomaty Peano:
- 0 \ in \ N
- Następująca funkcja S: \ N \ do \ N ma następujące właściwości:
- \ forall n \ in \ N: S (n) \ in \ N
- \ forall n, m \ in \ N: m = n \ iff S (n) = S (m)
- \ nistnieje n \ in \ N: S (n) = 0
Skończyliśmy? Cóż, zobaczmy, co oznaczają te aksjomaty. Po pierwsze, powiedziano nam, że 0 jest liczbą naturalną. Zgodnie z aksjomatem 2a, S (0) jest również w \ N. Więc jest S (S (0)), S (S (S (0))) i S (S (… S (S (0)))). Wygląda to na coś w rodzaju „struktury linii”, tak jakby zbiór dopuszczał całkowity porządek. Ale co jeśli \ istnieje n \ in \ N, n \ neq 0: (\ nistnieje m \ in \ N: S (m) = n)? To znaczy, czy może istnieć liczba naturalna, która nie jest następcą żadnej liczby naturalnej? Zobaczmy. Weź zestaw:
M = \ {0, S (0), S (S (0)), …, z, S (z), S (S (z)) ,. .. \}
To znaczy zbiór obejmujący 0 i wszystkie jego następcy oraz zi i wszystkie jego następcy.Ma wspomnianą wyżej właściwość, że z nie jest następcą żadnej innej liczby naturalnej. Czy M weryfikuje aksjomaty? Cóż, aksjomat 1 jest trywialnie weryfikowany, patrząc na niego. Weryfikowany jest również aksjomat 2a: po tym, jak zdefiniowaliśmy zbiór, okazuje się, że jest on zamknięty pod funkcją następcy. Podobnie, 2b i 2c są również prawdziwe dla M. Zbiór, który zbudowałem powyżej, ma dwie całkowicie niezależne „linie” (nazwij je linią 0 i linią z) i dlatego nie pozwala na całkowity porządek.
Ale… ale… to nie jest to, czego chcemy.
Liczby naturalne powstały jako intuicyjny sposób na zrozumienie najpierw niektórych aspektów rzeczywistości i dopiero dużo, dużo później, uchwycono definicję formalnie. I już mieliśmy intuicyjne pojęcie, jak powinni się zachowywać. Aby uniknąć M, potrzebujemy dodatkowego aksjomatu.
- Aksjomat indukcji: (0 \ in X \ land (\ forall n \ in \ N: n \ in X \ implikuje S ( n) \ in X) \ implikuje \ N \ subseteq X
Oznacza to, że każda liczba naturalna, z wyjątkiem 0, jest następcą innej liczby naturalnej. Zgodnie z aksjomatem indukcji suma (lub czasami nazywany liniowym ) porządek można wywołać w \ N. Ponieważ nie ma to większego znaczenia w tej odpowiedzi, nie będziemy formalnie definiować tego pojęcia całkowitego porządku.
Większość czytelników, którzy dotarli do tego punktu, widzi 2 = S (S (0)) i 4 = S (S (S (S (0)))), ale aby osiągnąć formalizm matematyczny, jak możemy skonstruować \ N wyłącznie z pojęć teorii zbiorów?
Konstrukcja liczb naturalnych von Neumanna
Pokażę, jak można tego dokonać. Zdefiniuj 0 = \ {\} i S (n) = n \ cup \ {n \}. Następnie:
S (0 ) = \ {\ {\} \}
S (S (0)) = \ {\ {\}, \ {\ {\} \} \}
S (S (S (0))) = \ {\ {\}, \ {\ {\} \}, \ {\ {\}, \ {\ {\} \} \} \}
(…)
Mam nadzieję, że niczego tam nie ominęło, to dość zagmatwane w La. W każdym razie chodzi o to, że następca n będzie zawierać wszystkie poprzednie liczby naturalne, w tym n. Łatwiej jest zobaczyć, że pisząc to w ten sposób:
0 = \ {\}
1 = S (0) = \ {0 \}
2 = S (S (0)) = \ {0, 1 \}
3 = S (S (S (0))) = \ {0, 1, 2 \}
(…)
Jak widać, istnieje wiele zestawów zgodnych z aksjomatami Peano, które nazywamy „reprezentacjami” lub modele obiektu abstrakcyjnego \ N. Oznacza to, że zbiory są definiowane na różne sposoby, ale semantycznie są dokładnie takie same.
Dość samych liczb naturalnych. Przejdźmy do jedynej niezdefiniowanej rzeczy: +
Dodawanie liczb naturalnych
Zdefiniuj operację + ponad \ N as:
\ forall n \ in \ N: n + 0 = n
\ forall a, b \ in \ N: S (a + b) = a + S (b)
Oczywiście, oznacza to, że S (n) = n + 1, ponieważ n + 1 = n + S (0) iz definicji n + S (0) = S (n + 0) = S (n). Czy + jest asocjacyjny i przemienny, jak byśmy się tego spodziewali? Oczywiście! I jakby tego było mało piękna, użyjemy Aksjomatu Indukcji. Po pierwsze, musimy wiedzieć, czy \ forall n \ in \ N: 0 + n = n:
- 0 to tożsamość addytywna :
Zdefiniuj predykat P (n) jako \ forall n \ in \ N: 0 + n = n. P (0) wyraźnie trzyma: 0 + 0 = 0 według pierwszej definicji. Zgodnie z aksjomatem indukcji:
n + 0 = 0 + n \ implikuje
S (n + 0) = S (0 + n) \ implikuje
S (n) = 0 + S (n) \ implikuje
\ forall n \ in \ N: 0 + n = n
- Łączność:
Zdefiniuj P (c) jako \ forall a, b \ in \ N: (a + b) + c = a + (b + c)
P (0):
(a + b) + 0 = a + b
a + (b + 0) = a + b
Teraz musimy pokazać, że:
P (c) \ implikuje P (S (c)):
Załóżmy P (c):
(a + b) + c = a + (b + c) \ implikuje
S ((a + b) + c) = S (a + (b + c)) \ zakłada
(a + b) + S (c ) = a + S (b + c) \ implikuje
(a + b) + S (c) = a + (b + S (c))
- Przemienność :
Nadaj nazwę P (\ ell) (\ ell \ in \ N) predykatowi \ forall n \ in \ N: n + \ ell = \ ell + n. Dla \ ell = 1:
P (1):
Użyjemy 1 (ponieważ pokazaliśmy już 0 dojazdów ze wszystkim) jako przypadek bazowy i udowodnimy P (1 ) z indukcją nad G (a): a + 1 = 1 + a. G (0) jest oczywiście trywialne. Teraz udowodnijmy, że G (a) \ implikuje G (a + 1).
S (a) + 1 = S (a) + S (0) \ implikuje
S ( a) + 1 = S (S (a) + 0) \ implikuje
S (a) + 1 = S (a + 1) \ implikuje
Zgodnie z hipotezą indukcyjną:
S (a) + 1 = S (1 + a) \ implikuje
S (a) + 1 = 1 + S (a)
Podstawowy przypadek zakończony, krok indukcyjny do zrobienia!
P (\ ell) \ implikuje P (S (\ ell)):
Załóżmy P (\ ell):
n + \ ell = \ ell + n \ implikuje
S (n + \ ell) = S (\ ell + n) \ implikuje
n + S ( \ ell) = \ ell + S (n) \ implikuje
n + \ ell + 1 = \ ell + n + 1
Według przypadku podstawowego (1 dojeżdża ze wszystkim) :
n + \ ell + 1 = \ ell + 1 + n
n + S (\ ell) = S (\ ell) + n
I udowodniliśmy nasze ulubione właściwości dodawania bezpośrednio z definicji!
Rzeczywiste pytanie
Teraz, Udowodnię, że 2 + 2 = 4. To trochę nudne, ale mam nadzieję, że sposób był w jakiś sposób pouczający. W każdym razie 2 = S (S (0)) i 4 = S (S (S (S (0)))).
2 + 2 = S (S (0)) + S (S (0)) \ implikuje
2 + 2 = S (S (S (0)) + S (0)) \ implikuje
2 + 2 = S (S (S (0)) + 1) \ implikuje
2 + 2 = S (S (S (S ( 0)))) = 4
Świetnie! Zrobiliśmy to!
Jasne, możesz również zdefiniować notację dziesiętną, ale 2 i 4 zachowują to samo znaczenie z samej definicji. Krótko mówiąc, cała ta odpowiedź jest gigantyczna „z definicji” i podobnie jak matematyka.
Mam nadzieję, że podobał Ci się twój sposób!
Jeśli popełniłem błąd lub jest coś, dodałbym lub zmodyfikował odpowiedź, chciałbym wiedzieć.