Melhor resposta
Espero que você esteja bem com a Teoria dos Conjuntos. Não posso dizer quão maravilhosos são os números naturais. 🙂
Portanto, antes de provar 2 + 2 = 4 , vamos primeiro saber o que são números naturais. Em uma linguagem não matemática, seriam apenas nomes dados à conta que damos. Chamamos, então, zero, um, dois, e assim por diante ………. Mas, ao mesmo tempo, poderíamos simplesmente chamá-los de TOM, DICK, HARRY e assim por diante ……;).
Agora vamos defini-los. Definir teoricamente –
Dado que todos os números de 1 a N existe, o número N + 1 é definido como –
N + 1 = N∪ \ {N \}
Em outras palavras, podemos dizer que o operador “ +1 ” não faz nada além de unir o maior conjunto menor do que o conjunto que estamos operando com o conjunto contendo o maior conjunto menor do que o conjunto em que estávamos operando. (Esta é apenas a definição da equação acima: P)
Definimos 0 como um conjunto vazio,
0 = \ {\} = Φ
Agora definimos recursivamente os próximos números –
1 = 0∪ \ {0 \} = Φ∪ \ {0 \} = \ {0 \}
2 = 1∪ \ {1 \} = \ {0 \} ∪ \ {1 \} = \ {0,1 \}
3 = 2 ∪ \ {2 \} = \ {0,1 \} ∪ \ {1 \} = \ {0,1,2 \}
4 = 3∪ \ {3 \} = \ {0 , 1,2 \} ∪ \ {3 \} = \ {0,1,2,3 \}
e assim por diante …….
Podemos provar desta forma que – N = \ {0,1,2,3, …, N-1 \}
Agora N + 2 = N + (1 + 1) = (N + 1) + 1 = (N + 1) ∪ \ {(N + 1) \} = \ {0,1,2,3 …, N- 1 \} ∪ \ {N \} ∪ \ {(N + 1) \} = \ {0,1,2,3 …, N + 1 \}
Uma boa pergunta seria por que o operador “ +2 ” tornou-se igual a “ + (1 + 1) ”, Isso ocorre simplesmente porque definimos 2 dessa forma. Além disso, por que os colchetes se associam? Simplesmente porque estamos lidando com conjuntos (isso também sem quaisquer operadores não triviais), podemos fazer isso. 😉
Agora, basta conectar N = 2 e Voila !!
2 + 2 = \ { 0,1,2,3 \} = 4
PS. Desculpe por demorar tanto, mas é assim que o fazemos.
Você pode consultar Definição teórica de conjuntos de números naturais
E sim, aprendi isso no meu Curso de Matemática Discreta. Agradeço ao instrutor.
Resposta
Claro. Esta é a matemática formal . Se não pudéssemos provar 2 + 2 = 4, não diríamos que é verdade em primeiro lugar.
A primeira pergunta que deveríamos nos fazer é: O que 2 + 2 = 4 realmente significar? O que é 2? O que é 4? O que é +? E o que é =? De maneira mais geral, o que é um número natural? E como as operações e relações são definidas sobre eles?
Igualdade
Você provavelmente já sabe disso, mas eu tenho para afirmar de qualquer maneira. Minha resposta deve ser logicamente fechada (agradeça por não ter começado com os axiomas ZFC, mas tanto faz …). De qualquer forma, a igualdade é uma relação entre duas coisas. Claro, mas o que é uma relação?
Uma relação binária R entre os conjuntos A e B é definida da seguinte forma:
R \ subseteq A \ times B
Onde \ times está o produto cartesiano. Portanto, aRb é verdadeiro se e somente se (a, b) \ in R.
Igualdade = é uma relação com as seguintes propriedades:
- Reflexividade: \ forall x: x = x
- Simetria: \ forall x, y: x = y \ implica y = x
- Transitividade: \ forall x, y, z: ((x = y \ land y = z) \ implica x = z)
Números naturais: a coisa mais lindamente não natural de todos os tempos
Se você perguntar a alguém o que é um número natural, geralmente ouvirá “1,2,3,…” como se isso resolvesse a questão. A definição real remove a ambigüidade e torna o assunto muito mais atraente. Então, o que são Números Naturais?
O conjunto \ N {} ^ {(*)} cujos elementos prova respeitar os Axiomas de Peano é o conjunto dos Números Naturais. A igualdade é definida sobre este conjunto, o que significa que os números naturais são fechados em igualdade (obviamente). Aqui estão os axiomas de Peano:
- 0 \ in \ N
- A função sucessora S: \ N \ to \ N tem as seguintes propriedades:
- \ forall n \ in \ N: S (n) \ in \ N
- \ forall n, m \ in \ N: m = n \ iff S (n) = S (m)
- \ nexiste n \ in \ N: S (n) = 0
Terminamos? Bem, vamos ver o que esses axiomas implicam. A primeira coisa que nos dizem é que 0 é um número natural. Pelo axioma 2a, S (0) também está em \ N. O mesmo acontece com S (S (0)), S (S (S (0))) e S (S (… S (S (0)))). Isso se parece com uma espécie de “estrutura de linha”, como se o conjunto admitisse um pedido total. Mas e se \ existe n \ in \ N, n \ neq 0: (\ nexiste m \ in \ N: S (m) = n)? Ou seja, poderia haver um Número Natural que não seja o sucessor de nenhum Número Natural? Vamos ver. Pegue o conjunto:
M = \ {0, S (0), S (S (0)), …, z, S (z), S (S (z)) ,. .. \}
Ou seja, o conjunto incluindo 0 e todos os seus sucessores ez e todos os seus sucessores.Possui a propriedade acima mencionada de que z não é sucessor de nenhum outro Número Natural. M verifica os axiomas? Bem, o axioma 1 é verificado trivialmente olhando para ele. O axioma 2a também se verifica: pela forma como definimos o conjunto, ele acaba por ser fechado sob a função sucessora. Da mesma forma, 2b e 2c também são verdadeiros para M. O conjunto que construí acima tem duas “linhas” totalmente independentes (chame-as de linha 0 e linha z) e, portanto, não permite uma ordem total.
Mas … mas … isso não é o que queremos.
Os números naturais surgiram como uma maneira intuitiva de entender alguns aspectos da realidade primeiro, e não foi até muito, muito mais tarde que a definição foi capturada formalmente. E já tínhamos a compreensão intuitiva de como eles deveriam se comportar. Para evitar M, exigimos um axioma adicional.
- Axioma de indução: (0 \ em X \ land (\ para todos n \ em \ N: n \ em X \ implica S ( n) \ em X) \ implica \ N \ subseteq X
Isso implica que todo número natural, exceto 0, é o sucessor de outro número natural. Com o axioma de indução, um total (ou às vezes chamada de linear ) ordem pode ser induzida em \ N. Como não é de muita relevância nesta resposta, não definiremos formalmente a noção da ordem total.
A maioria dos leitores que chegaram a este ponto pode ver 2 = S (S (0)) e 4 = S (S (S (S (0)))), mas para chegar a formalismos matemáticos, como podemos construir \ N puramente a partir de noções teóricas de conjuntos?
A construção de Von Neumann dos números naturais
Vou mostrar como tal feito pode ser realizado. Defina 0 = \ {\} e S (n) = n \ xícara \ {n \}. Então:
S (0 ) = \ {\ {\} \}
S (S (0)) = \ {\ {\}, \ {\ {\} \} \}
S (S (S (0))) = \ {\ {\}, \ {\ {\} \}, \ {\ {\}, \ {\ {\} \} \} \}
(…)
Espero não ter perdido nada aí, isso é muito confuso em La. De qualquer forma, a ideia é que o sucessor de n conterá todos os números naturais anteriores, incluindo n. É mais fácil ver que se escrevermos assim:
0 = \ {\}
1 = S (0) = \ {0 \}
2 = S (S (0)) = \ {0, 1 \}
3 = S (S (S (0))) = \ {0, 1, 2 \}
(…)
Como você pode ver, existem muitos conjuntos que estão em conformidade com os Axiomas de Peano, que chamamos de “representações” ou modelos do objeto abstrato \ N. Ou seja, os conjuntos são definidos por meios diferentes, mas semanticamente são exatamente os mesmos.
Basta com os próprios números naturais. Vamos para a única coisa que ficou indefinida: +
Adição nos números naturais
Definir uma operação + over \ N as:
\ forall n \ in \ N: n + 0 = n
\ forall a, b \ in \ N: S (a + b) = a + S (b)
Com certeza, isso implica que S (n) = n + 1, uma vez que n + 1 = n + S (0) e por definição n + S (0) = S (n + 0) = S (n). É + associativo e comutativo como esperávamos? Claro! E, como se isso não bastasse, vamos usar o Axioma da Indução. Primeiro, precisamos saber se \ forall n \ in \ N: 0 + n = n:
- 0 é a identidade aditiva :
Defina o predicado P (n) como \ forall n \ in \ N: 0 + n = n. P (0) é claramente válido: 0 + 0 = 0 pela primeira definição. Pelo Axioma da Indução:
n + 0 = 0 + n \ implica
S (n + 0) = S (0 + n) \ implica
S (n) = 0 + S (n) \ implica
\ forall n \ in \ N: 0 + n = n
- Associatividade:
Defina P (c) como \ para todos a, b \ in \ N: (a + b) + c = a + (b + c)
P (0):
(a + b) + 0 = a + b
a + (b + 0) = a + b
Agora temos que mostrar que:
P (c) \ implica P (S (c)):
Suponha P (c):
(a + b) + c = a + (b + c) \ implica
S ((a + b) + c) = S (a + (b + c)) \ implica
(a + b) + S (c ) = a + S (b + c) \ implica
(a + b) + S (c) = a + (b + S (c))
- Comutatividade :
Dê o nome P (\ ell) (\ ell \ in \ N) ao predicado \ forall n \ in \ N: n + \ ell = \ ell + n. Para \ ell = 1:
P (1):
Usaremos 1 (uma vez que já mostramos 0 comuta com tudo) como o caso base e provar P (1 ) com indução sobre G (a): a + 1 = 1 + a. G (0) é certamente trivial. Agora vamos provar que G (a) \ implica G (a + 1).
S (a) + 1 = S (a) + S (0) \ implica
S ( a) + 1 = S (S (a) + 0) \ implica
S (a) + 1 = S (a + 1) \ implica
Pela hipótese de indução:
S (a) + 1 = S (1 + a) \ implica
S (a) + 1 = 1 + S (a)
O caso básico está feito, passo indutivo a seguir!
P (\ ell) \ implica P (S (\ ell)):
Assuma P (\ ell):
n + \ ell = \ ell + n \ implica
S (n + \ ell) = S (\ ell + n) \ implica
n + S ( \ ell) = \ ell + S (n) \ implica
n + \ ell + 1 = \ ell + n + 1
Pelo caso básico (1 comuta com tudo) :
n + \ ell + 1 = \ ell + 1 + n
n + S (\ ell) = S (\ ell) + n
E provamos nossas propriedades favoritas de adição diretamente da definição!
A questão real
Agora, Provarei que 2 + 2 = 4. É um pouco chato, mas espero que o caminho seja esclarecedor. De qualquer forma, 2 = S (S (0)) e 4 = S (S (S (S (0)))).
2 + 2 = S (S (0)) + S (S (0)) \ implica
2 + 2 = S (S (S (0)) + S (0)) \ implica
2 + 2 = S (S (S (0)) + 1) \ implica
2 + 2 = S (S (S (S ( 0)))) = 4
Ótimo! Conseguimos!
Claro, você também poderia definir a notação decimal, mas 2 e 4 retêm o mesmo significado por simples definição. Resumindo, toda esta resposta é um gigantesco “por definição” e assim como a matemática.
Espero que você tenha gostado!
Se eu cometi um erro ou há algo que você adicionaria ou modificaria a resposta, eu adoraria saber.