Cel mai bun răspuns
Sper că sunteți în regulă cu Teoria seturilor. Nu pot spune cât de minunate sunt numerele naturale. 🙂
Deci, mai întâi înainte de a demonstra 2 + 2 = 4 , mai întâi să aflăm care sunt numerele naturale. Într-un limbaj nematematic ar fi doar nume date numărului pe care îl dăm. Apelăm atunci zero, unu, doi, și așa mai departe ………. Dar, în același timp, le-am fi putut numi doar niște TOM, DICK, HARRY și așa mai departe ……;).
Acum să le definim Setați teoretic –
Având în vedere că toate numerele de la 1 la N există, numărul N + 1 este definit ca –
N + 1 = N∪ \ {N \}
Cu alte cuvinte, putem spune că operatorul „ +1 ” nu face altceva decât să unească cel mai mare set mai mic decât setul pe care îl operăm cu setul care conține acest cel mai mare set mai mic decât setul pe care operam. (Aceasta este doar definiția ecuației de mai sus: P)
Definim 0 ca un set gol,
0 = \ {\} = Φ
Acum definim recursiv următoarele numere –
1 = 0∪ \ {0 \} = Φ∪ \ {0 \} = \ {0 \}
2 = 1∪ \ {1 \} = \ {0 \} ∪ \ {1 \} = \ {0,1 \}
3 = 2 ∪ \ {2 \} = \ {0,1 \} ∪ \ {1 \} = \ {0,1,2 \}
4 = 3∪ \ {3 \} = \ {0 , 1,2 \} ∪ \ {3 \} = \ {0,1,2,3 \}
și așa mai departe …
De fapt, putem demonstra astfel – N = \ {0,1,2,3, …, N-1 \}
Acum N + 2 = N + (1 + 1) = (N + 1) + 1 = (N + 1) ∪ \ {(N + 1) \} = \ {0,1,2,3 …, N- 1 \} ∪ \ {N \} ∪ \ {(N + 1) \} = \ {0,1,2,3 …, N + 1 \}
O întrebare bună ar fi de ce operatorul „ +2 ” a devenit egal cu „ + (1 + 1) ”, Aceasta este pur și simplu pentru că am definit 2 în acest fel. De asemenea, de ce s-au asociat parantezele? Pur și simplu pentru că avem de-a face cu seturi (și fără operatori non-banali), putem face asta. 😉
Acum trebuie doar să conectăm N = 2 și Voila !!
2 + 2 = \ { 0,1,2,3 \} = 4
PS. Ne pare rău că suntem atât de lungi, dar așa o facem.
Vă puteți referi la Definiția set-teoretică a numerelor naturale
Și da, am fost predat la cursul meu de matematică discretă. Mulțumesc instructorului.
Răspuns
Desigur. Aceasta este matematică formală . Dacă nu am putea dovedi 2 + 2 = 4, nu am pretinde că este adevărat în primul rând.
Prima întrebare pe care ar trebui să ne-o punem este: Ce înseamnă de fapt 2 + 2 = 4 Rău? Ce este 2? Ce este 4? Ce este +? Și ce este =? Mai general, ce este un număr natural? Și cum sunt definite operațiunile și relațiile peste ele?
Egalitate
Probabil știți deja acest lucru, dar eu am să o afirm oricum. Răspunsul meu trebuie să fie închis în mod logic (doar să fii recunoscător că nu am pornit de la axiome ZFC, ci orice … Oricum, egalitatea este o relație între două lucruri. Sigur, dar ce este o relație?
O relație binară R între seturile A și B este definită după cum urmează:
R \ subseteq A \ times B
Unde \ times este produsul cartezian. Deci aRb este adevărat dacă și numai dacă (a, b) \ în R.
Egalitatea = este o relație cu următoarele proprietăți:
- Reflexivitate: \ forall x: x = x
- Simetrie: \ forall x, y: x = y \ implică y = x
- Transitivitate: \ forall x, y, z: ((x = y \ land y = z) \ implică x = z)
Numere naturale: Cel mai frumos lucru nenatural vreodată
Dacă întrebați pe cineva care este un număr natural, veți auzi de obicei „1,2,3,…” ca și cum ar fi soluționat problema. Definiția actuală elimină ambiguitatea și face problema mult mai atractivă. Deci, ce sunt numerele naturale?
Setul {} ^ {(*)} \ N ale cărui elemente demonstrează că respectă Axiomele Peano este setul numerelor naturale. Egalitatea este definită peste acest set, ceea ce înseamnă că numerele naturale sunt închise sub egalitate (evident). Iată Axiomele Peano:
- 0 \ in \ N
- Funcția succesoră S: \ N \ to \ N are următoarele proprietăți:
- \ forall n \ in \ N: S (n) \ in \ N
- \ forall n, m \ in \ N: m = n \ if S (n) = S (m)
- \ nexists n \ in \ N: S (n) = 0
Am terminat? Ei bine, să vedem ce implică aceste axiome. Primul lucru care ni se spune este că 0 este un număr natural. Prin axioma 2a, S (0) este, de asemenea, în \ N. La fel și S (S (0)), S (S (S (0))) și S (S (… S (S (0)))). Arată ca un fel de „structură de linie”, ca și cum setul ar admite o ordine totală. Dar dacă \ există n \ in \ N, n \ neq 0: (\ nexists m \ in \ N: S (m) = n)? Adică, ar putea exista un număr natural care să nu fie succesorul vreunui număr natural? Să vedem. Luați setul:
M = \ {0, S (0), S (S (0)), …, z, S (z), S (S (z)) ,. .. \}
Adică, setul care include 0 și toți succesorii săi și z și toți succesorii săi.Are proprietatea menționată mai sus că z nu este succesorul niciunui alt număr natural. Verifică M axiomele? Ei bine, axioma 1 este verificată în mod trivial uitându-se la ea. Axioma 2a este, de asemenea, verificată: prin modul în care am definit setul, se dovedește a fi închis în funcția de succesor. În mod similar, 2b și 2c sunt valabile și pentru M. Setul pe care l-am construit mai sus are două „linii” total independente (le numim linia 0 și linia z) și, prin urmare, nu permite o ordine totală.
Dar … dar … nu asta ne dorim.
Numerele naturale au apărut ca o modalitate intuitivă de a înțelege mai întâi unele aspecte ale realității și nu a fost până mult, mult mai târziu că definiția a fost surprinsă oficial. Și am avut deja înțelegerea intuitivă a modului în care ar trebui să se comporte. Pentru a evita M, avem nevoie de o axiomă suplimentară.
- Axioma de inducție: (0 \ în X \ land (\ forall n \ in \ N: n \ in X \ implică S ( n) \ în X) \ implică \ N \ subseteq X
Aceasta implică faptul că fiecare număr natural, cu excepția lui 0, este succesorul unui alt număr natural. Cu axioma inducției, un total (sau uneori numit liniar ) ordinea poate fi indusă în \ N. Deoarece nu are prea multă relevanță în acest răspuns, nu vom defini formal noțiunea de ordine totală.
Majoritatea cititorilor care au ajuns în acest punct pot vedea 2 = S (S (0)) și 4 = S (S (S (S (0)))), dar pentru a pentru a atinge formalismele matematice, cum putem construi \ N pur și simplu din noțiuni teoretice stabilite?
Construcția Von Neumann a numerelor naturale
Voi arăta cum se poate realiza o astfel de ispravă. Definiți 0 = \ {\} și S (n) = n \ cup \ {n \}. Apoi:
S (0 ) = \ {\ {\} \}
S (S (0)) = \ {\ {\}, \ {\ {\} \} \}
S (S (S (0))) = \ {\ {\}, \ {\ {\} \}, \ {\ {\}, \ {\ {\} \} \} \}
(…)
Sper că nu am pierdut nimic acolo, ceea ce este destul de confuz în La. Oricum, ideea este că succesorul lui n va conține fiecare număr natural anterior, inclusiv n. Este mai ușor să vedem că dacă o scriem astfel:
0 = \ {\}
1 = S (0) = \ {0 \}
2 = S (S (0)) = \ {0, 1 \}
3 = S (S (S (0))) = \ {0, 1, 2 \}
(…)
După cum puteți vedea, există multe seturi care respectă Axiomele Peano, pe care le numim „reprezentări” sau modele ale obiectului abstract \ N. Adică, mulțimile sunt definite prin mijloace diferite, dar semantic, sunt exact la fel.
Suficient cu numerele naturale în sine. Să mergem la singurul lucru rămas nedefinit: +
Adăugare la numerele naturale
Definiți o operație + peste \ N ca:
\ forall n \ in \ N: n + 0 = n
\ forall a, b \ in \ N: S (a + b) = a + S (b)
Destul de sigur, asta înseamnă că S (n) = n + 1, deoarece n + 1 = n + S (0) și prin definiție n + S (0) = S (n + 0) = S (n). Este + asociativ și comutativ așa cum ne-am aștepta? Desigur! Și, de parcă nu ar fi fost suficientă frumusețe, vom folosi Axioma Inducției. Mai întâi, trebuie să știm dacă \ forall n \ in \ N: 0 + n = n:
- 0 este identitate aditivă :
Definiți predicatul P (n) ca \ forall n \ in \ N: 0 + n = n. P (0) reține în mod clar: 0 + 0 = 0 după prima definiție. Prin Axioma Inducției:
n + 0 = 0 + n \ implică
S (n + 0) = S (0 + n) \ implică
S (n) = 0 + S (n) \ implică
\ forall n \ in \ N: 0 + n = n
- Asociativitate:
Definiți P (c) ca \ forall a, b \ in \ N: (a + b) + c = a + (b + c)
P (0):
(a + b) + 0 = a + b
a + (b + 0) = a + b
Acum trebuie să arătăm că:
P (c) \ implică P (S (c)):
Presupunem că P (c):
(a + b) + c = a + (b + c) \ implică
S ((a + b) + c) = S (a + (b + c)) \ implică
(a + b) + S (c ) = a + S (b + c) \ implică
(a + b) + S (c) = a + (b + S (c))
- Comutativitate :
Dați numele P (\ ell) (\ ell \ in \ N) predicatului \ forall n \ in \ N: n + \ ell = \ ell + n. Pentru \ ell = 1:
P (1):
Vom folosi 1 (deoarece am arătat deja 0 deplasări cu tot) ca caz de bază și vom demonstra P (1 ) cu inducție peste G (a): a + 1 = 1 + a. G (0) este desigur banal. Acum să dovedim G (a) \ implică G (a + 1).
S (a) + 1 = S (a) + S (0) \ implică
S ( a) + 1 = S (S (a) + 0) \ implică
S (a) + 1 = S (a + 1) \ implică
Prin ipoteza inducției:
S (a) + 1 = S (1 + a) \ implică
S (a) + 1 = 1 + S (a)
cazul de bază este făcut, pasul inductiv de parcurs!
P (\ ell) \ implică P (S (\ ell)):
Presupunem că P (\ ell):
n + \ ell = \ ell + n \ implică
S (n + \ ell) = S (\ ell + n) \ implică
n + S ( \ ell) = \ ell + S (n) \ implică
n + \ ell + 1 = \ ell + n + 1
În cazul de bază (1 face naveta cu tot) :
n + \ ell + 1 = \ ell + 1 + n
n + S (\ ell) = S (\ ell) + n
Și am dovedit proprietățile noastre de adăugare preferate direct din definiție!
Întrebarea actuală
Acum, Voi demonstra 2 + 2 = 4. Este un pic plictisitor, dar sperăm că drumul a fost cumva luminant. Oricum, 2 = S (S (0)) și 4 = S (S (S (S (0)))).
2 + 2 = S (S (0)) + S (S (0)) \ implică
2 + 2 = S (S (S (0)) + S (0)) \ implică
2 + 2 = S (S (S (0)) + 1) \ implică
2 + 2 = S (S (S (S ( 0)))) = 4
Super! Am făcut-o!
Sigur, puteți defini și notația zecimală, dar 2 și 4 păstrează același sens prin simplă definiție. Pe scurt, tot acest răspuns este un gigantic „prin definiție” și la fel ca matematica.
Sper că ți-a plăcut calea!
Dacă am făcut o greșeală sau există ceva ce tu ar adăuga sau modifica răspunsul, mi-ar plăcea să știu.