Cel mai bun răspuns
Afirmația dvs. este
- uneori adevărat (cu un număr infinit de exemple care îl fac adevărat); și
- uneori fals (cu un număr infinit de exemple care demonstrează că este fals);
dar din moment ce declarația dvs. folosește cuvântul orice,
- întreaga declarație este falsă, deoarece
- există un număr infinit de exemple în care produsul a două numere iraționale face un număr rațional.
Iată cum să găsim unul dintre numeroasele exemple (infinite) care demonstrează că această afirmație este falsă .
- Fie A egal cu orice număr compus (produsul oricăror două sau mai multe numere prime). Cu alte cuvinte, A va fi orice număr non-prim mai mare decât 1. (De exemplu, 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20 etc.)
- Calculați B egal cu pătratul lui A. (De exemplu, 16, 36, 64, 81, 100, 144, 196, 225, 256, 324, 400 etc.)
- Fie C egal cu orice factor al lui A care nu este un pătrat perfect, care ar putea include A în sine. (De exemplu, 2; 2/3/6; 2/8; 3; 2/5/10; 2/3/6/12; 2/7/14; 3/5/15; 2/8; 2 / 3/6/18; 2/5/10/20; etc.)
- Calculați D egal cu B împărțit la C.
- Cele două numere iraționale ale dvs. sunt √C și √D .
- Produsul rațional √C și √D este egal cu A.
Permiteți-mi să ilustrez acest lucru cu un exemplu:
- Ziua mea de naștere este pe 26 din (ceva), deci A = 26
- B = 676
- C ar putea fi 2, 13 sau 26, așa că voi folosi 13, numărul norocos C = 13
- D = 676 ÷ 13 = 52
- Care este produsul celor două numere iraționale: √13 și √52?
- √ 13 x √52 = √676 care este egal cu numărul rațional: 26
După cum puteți vedea, există un număr INFINIT de exemple în care produsul este rațional, dar există și un Număr infinit de exemple în care produsul este irațional.
Puteți utiliza o metodă similară pentru a găsi oricare dintre numeroasele exemple de două numere iraționale cu un produs irațional. Începeți doar cu A egal cu orice număr compus care nu este un pătrat perfect și lăsați-l pe B să fie egal cu A. Pașii 3-5 vor fi identici, iar pasul 6 vă va oferi un răspuns irațional.
Răspuns
Luați în considerare \ sqrt {2} \ not \ in \ mathbb {Q}. Prin definiție, \ sqrt {2} \ times \ sqrt {2} = 2 \ in \ mathbb {Z} \ subseteq \ mathbb {Q}. Deoarece numerele iraționale (reale) sunt în completarea numerelor raționale din reale (prin definiție) sau, cu alte cuvinte, numerele iraționale sunt \ mathbb {R} \ setminus \ mathbb {Q}, putem vedea destul de clar că am găsit un exemplu de două numere iraționale al căror produs nu este un număr irațional.
OK, am înșelat aici, pentru că am ales același număr irațional, dar ilustrează ideea că un produs irational nu va fi neapărat irațional (chiar dacă acesta va fi cazul majoritatea timpului).
Acum, produsul a două numere transcendentale (care nu sunt rădăcinile oricărui polinom cu coeficienți întregi și sunt un subset al numerelor iraționale – într-adevăr, ele reprezintă cea mai mare parte a acestora!), chiar care nu este garantat a fi irațional. La urma urmei, dacă x este transcendental, atunci la fel este și \ frac {1} {x}. Dar x \ times \ frac {1} {x} = 1, care este un număr întreg, deci nu irațional. Ceea ce întărește punctul!