Bästa svaret
Ditt uttalande är
- ibland sant (med ett oändligt antal exempel som gör det sant); och
- ibland falskt (med ett oändligt antal exempel som visar att det är falskt);
men eftersom ditt uttalande använder ordet något,
- är hela uttalandet falskt, för
- det finns ett oändligt antal exempel där produkten av två irrationella tal ger ett rationellt tal.
Så här hittar du ett av de många (oändliga) exemplen som visar att detta påstående är falskt .
- Låt A vara lika med vilket sammansatt tal som helst (produkten av två eller flera primtal). Med andra ord kommer A att vara ett icke-primtal som är större än 1. (Till exempel 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, etc.)
- Beräkna B lika med kvadraten av A. (Till exempel 16, 36, 64, 81, 100, 144, 196, 225, 256, 324, 400, etc.)
- Låt C vara lika med någon faktor av A som inte är en perfekt fyrkant, som kan inkludera A själv. (Till exempel 2; 2/3/6; 2/8; 3; 2/5/10; 2/3/6/12; 2/7/14; 3/5/15; 2/8; 2 / 3/6/18; 2/5/10/20; etc.)
- Beräkna D lika med B dividerat med C.
- Dina två irrationella tal är √C och √D .
- Den rationella produkten av √C och √D är lika med A.
Låt mig illustrera detta med ett exempel:
- Min födelsedag är 26 av (något), så A = 26
- B = 676
- C kan vara 2, 13 eller 26, så jag använder 13, min lucky number C = 13
- D = 676 ÷ 13 = 52
- Vad är produkten av de två irrationella siffrorna: √13 och √52?
- √ 13 x √52 = √676 vilket är lika med rationellt tal: 26
Som du kan se finns det ett Oändligt antal exempel där produkten är rationell, men det finns också en Oändligt antal exempel där produkten är irrationell.
Du kan använda en liknande metod för att hitta något av många exempel på två irrationella nummer med en irrationell produkt. Börja bara med A lika med alla sammansatta tal som inte är en perfekt kvadrat, och låt B vara lika med A. Steg 3–5 kommer att vara identiska och steg 6 ger dig ett irrationellt svar.
Svar
Tänk på \ sqrt {2} \ not \ i \ mathbb {Q}. Per definition är \ sqrt {2} \ times \ sqrt {2} = 2 \ i \ mathbb {Z} \ subseteq \ mathbb {Q}. Eftersom irrationella (reella) tal är komplement till de rationella siffrorna i realerna (per definition), eller med andra ord, irrationella tal är \ mathbb {R} \ setminus \ mathbb {Q}, kan vi se ganska tydligt att vi har hittat ett exempel på två irrationella nummer vars produkt inte är ett irrationellt tal.
OK, jag har lurat här, för jag valde samma irrationella nummer, men det illustrerar punkten att en produkt av irrationella kommer inte nödvändigtvis att vara irrationell (även om så är fallet mest av tiden).
Nu, produkten av två transcendentala siffror (som inte är rötterna för något polynom med heltalskoefficienter, och är en delmängd av de irrationella siffrorna – de utgör verkligen huvuddelen av dem!) även att inte garanteras vara irrationell. När allt kommer omkring, om x är transcendentalt, så är det också \ frac {1} {x}. Men x \ times \ frac {1} {x} = 1, vilket är ett heltal, alltså inte irrationellt. Vilket förstärker poängen!