Bästa svaret
Jag gillar detta problem eftersom det visar några grundläggande sannolikhetsgrunder som jag använder för att utmana mina elever.
Ett antagande: Var och en av tärningarna är ”rättvisa”, vilket inte är partiskt på något sätt.
Eftersom varje tärning har 6 sidor och varje sida är unikt numrerad 1 till 6, det finns totalt 6 * 6 * 6 olika nummerkombinationer när tärningarna kastas.
Det vill säga det finns 216 möjliga olika nummerkombinationer men INTE ALLA TOTALT 8.
Nu måste vi hitta hur många kombinationer som GÖR totalt 8.
Om vi tar siffrorna 1, 1, 6, (vilka totalt 8), kan vi ordna dessa siffror i
( 3! / 2) = 3 olika sätt.
På samma sätt kan siffrorna 1, 2, 5 ordnas på (3!) = 6 olika sätt
Siffrorna 1, 3, 4 kan ordnas
(3!) = 6 olika sätt
Siffrorna 3, 3, 2 kan ordnas i
(3!) / 2 = 3 olika sätt
och siffrorna 4, 2, 2, kan ordnas på (3!) / 2 = 3 olika sätt
Ge totalt 21 olika nummerkombinationer (av 216 möjliga kombinationer) som uppgår till 8.
Så det finns (21) / (216) möjliga korrekta kombinationer som uppfyller kraven i frågan.
Detta ger en sannolikhet på (21) / (216) eller 9,72222\% eller 0,097222 för att få en summa på 8 när 3 dör kastas .
Ganska intressant fråga.
Svar
Jag skulle lösa detta som ett villkorligt sannolikhetsproblem (vilket andra svar har gjort), få min 100\% på läxorna och gå vidare med mitt liv. Dock skulle jag också ge en massiv eyeroll till själva frågan, för det här är inte särskilt förnuftigt att ställa.
Vad menar jag med det? Tja, villkorlig sannolikhet används för att representera ett aktuellt tillstånd av information (eller snarare desinformation) om resultatet av systemet. Problemet säger ”En av dem visar en sex”, som vi ”tolkar som att säga följande: av 6 ^ 4 ursprungligen möjliga resultat är det på något sätt känt att det verkliga resultatet visar minst en sex, men alla sådana resultaten är lika troliga.
Om vi råkar se en av tärningarna och märkte att den landade på en sex, men kunde inte se de andra, skulle vi vara i det tillstånd av information? Nej, det skulle vi inte. Vi skulle veta att som dör visar en sex, vilket lämnar 6 ^ 3 möjliga resultat, vilket skulle bilda en ordentlig delmängd av 6 ^ 4-5 ^ 4-resultaten där ”åtminstone en dör visar en 6.”
Här är i princip det enda sättet vi kan vara i det 6 ^ 4-5 ^ 4 informationstillståndet: det måste riggas. Vi instruerar en betrodd vän eller lydig dator att göra följande utanför vårt synfält:
- Rulla fyra tärningar.
- Om ingen av tärningarna visar en sex, gå tillbaka till steg 1, rapporterar ingenting.
- Rapportera ”EN AV DEM VISAR SEX.”
Om vi spelar detta riggat spel många gånger, då ja – den villkorliga sannolikheten att exakt en visar en sex med tanke på att EN AV DEM VISAR SEX, är lika med
\ frac {4 * 5 ^ 3 } {6 ^ 4-5 ^ 4}.
Det enda möjliga sättet att vara i denna situation är dock med hjälp av en enhet med full kunskap om resultatet, som målmedvetet rapporterar tillbaka endast en del av informationen till dig. Det är därför jag kallar situationen ”riggad”. Förresten, det är exakt samma anledning till att det berömda Monty Hall aka ”3 doors” -problemet är kontraintuitivt – det kan också bara spelas med hjälp av en allvetande värd.