Bästa svaret
Jag hoppas att du är okej med Set Theory. Jag kan inte säga hur underbara naturliga tal är. 🙂
Så först innan vi bevisar 2 + 2 = 4 , kan vi först lära känna vad som är naturliga tal. På ett icke-matematiskt språk skulle det bara vara namnen på antalet vi ger. Vi kallar då noll, en, två, och så vidare ………. Men samtidigt kunde vi bara ha nämnt dem några TOM, DICK, HARRY och så vidare ……;).
Nu kan vi definiera dem Ange teoretiskt –
Med tanke på att alla siffror från 1 till N finns, numret N + 1 definieras som –
N + 1 = N∪ \ {N \}
Med andra ord kan vi säga att operatören “ +1 ” gör ingenting annat än att förena den största uppsättningen mindre än den uppsättning vi kör på med uppsättningen som innehåller den här största uppsättningen mindre än den uppsättning vi arbetade med. (Detta är bara definitionen av ekvationen ovan: P)
Vi definierar 0 som en tom uppsättning,
0 = \ {\} = Φ
Nu definierar vi rekursivt nästa nummer –
1 = 0∪ \ {0 \} = Φ∪ \ {0 \} = \ {0 \}
2 = 1∪ \ {1 \} = \ {0 \} ∪ \ {1 \} = \ {0,1 \}
3 = 2 ∪ \ {2 \} = \ {0,1 \} ∪ \ {1 \} = \ {0,1,2 \}
4 = 3∪ \ {3 \} = \ {0 , 1,2 \} ∪ \ {3 \} = \ {0,1,2,3 \}
och så vidare …….
Vi kan faktiskt på detta sätt bevisa att – N = \ {0,1,2,3, …, N-1 \}
Nu N + 2 = N + (1 + 1) = (N + 1) + 1 = (N + 1) ∪ \ {(N + 1) \} = \ {0,1,2,3 …, N- 1 \} ∪ \ {N \} ∪ \ {(N + 1) \} = \ {0,1,2,3 …, N + 1 \}
En bra fråga skulle vara varför blev operatören ” +2 ” lika med ” + (1 + 1) ”, Detta är helt enkelt för att vi definierade 2 på det sättet. Varför associerade parenteserna också? Helt enkelt för att vi har att göra med uppsättningar (det också utan några obetydliga operatörer) kan vi göra det. 😉
Nu kopplar vi bara in N = 2 och Voila !!
2 + 2 = \ { 0,1,2,3 \} = 4
PS. Tyvärr för att jag är så lång, men så här gör vi det.
Du kan hänvisa till Definition av setteoretisk definition av naturliga tal
Och ja, jag lärde mig detta i min diskreta matematikkurs. Jag tackar instruktören.
Svar
Naturligtvis. Det här är formell matematik . Om vi inte kunde bevisa 2 + 2 = 4, skulle vi inte hävda att det är sant i första hand.
Den första frågan vi borde ställa oss är: Vad gör 2 + 2 = 4 egentligen betyda? Vad är 2? Vad är 4? Vad är +? Och vad är =? Mer allmänt, vad är ett naturligt tal? Och hur definieras operationer och relationer över dem?
Jämställdhet
Du vet förmodligen redan detta, men jag har att säga det ändå. Mitt svar måste logiskt stängas (var bara tacksam att jag inte började från ZFC-axiomer, men vad som helst …). Hur som helst är jämlikhet en relation mellan två saker. Visst, men vad är en relation?
En binär relation R mellan uppsättningarna A och B definieras enligt följande:
R \ subseteq A \ gånger B
Var \ tider är den kartesiska produkten. Så aRb är sant om och endast om (a, b) \ i R.
Equality = är en relation med följande egenskaper:
- Reflexivity: \ forall x: x = x
- Symmetri: \ forall x, y: x = y \ innebär y = x
- Transitivitet: \ forall x, y, z: ((x = y \ land y = z) \ antyder x = z)
Naturliga siffror: Det vackraste onaturliga någonsin
Om du frågar någon vad som är ett naturligt tal, hör du vanligtvis ”1,2,3, …” som om det löste saken. Den faktiska definitionen tar bort tvetydigheten och gör saken mycket mer attraktiv. Så, vad är naturliga siffror?
{} ^ {(*)} uppsättningen \ N vars element visar sig respektera Peano-axiomerna är uppsättningen Naturliga siffror. Jämställdhet definieras över denna uppsättning, vilket betyder att de naturliga siffrorna är stängda under jämlikhet (uppenbarligen). Här är Peano Axioms:
- 0 \ in \ N
- Efterföljande funktion S: \ N \ to \ N har följande egenskaper:
- \ forall n \ in \ N: S (n) \ in \ N
- \ forall n, m \ in \ N: m = n \ iff S (n) = S (m)
- \ nexists n \ in \ N: S (n) = 0
Är vi klara? Låt oss se vad dessa axiom innebär. Det första vi får höra är att 0 är ett naturligt tal. Genom axiom 2a är S (0) också in \ N. Så är S (S (0)), S (S (S (0))) och S (S (… S (S (0)))). Detta ser ut som någon form av ”linjestruktur”, som om uppsättningen skulle tillåta en total order. Men vad händer om \ existerar n \ i \ N, n \ neq 0: (\ nexists m \ in \ N: S (m) = n)? Det vill säga, kan det finnas ett naturligt tal som inte är efterföljaren till något naturligt nummer? Låt oss se. Ta uppsättningen:
M = \ {0, S (0), S (S (0)), …, z, S (z), S (S (z)) ,. .. \}
Det vill säga uppsättningen inklusive 0 och alla dess efterträdare och z och alla dess efterträdare.Det har den ovannämnda egenskapen att z inte är efterföljaren till något annat naturligt nummer. Verifierar M axiomerna? Axiom 1 verifieras trivialt genom att titta på det. Axiom 2a verifieras också: genom hur vi definierade uppsättningen visar det sig vara stängt under efterföljaren. På samma sätt gäller även 2b och 2c för M. Uppsättningen jag konstruerade ovan har två helt oberoende ”linjer” (kallar dem 0-raden och z-linjen) och tillåter därför inte en total ordning.
Men … men … det här är inte vad vi vill ha.
Naturliga siffror uppstod som ett intuitivt sätt att först förstå vissa aspekter av verkligheten, och det var inte förrän mycket, mycket senare att definitionen fångades formellt. Och vi hade redan ett intuitivt grepp om hur de ska bete sig. För att undvika M behöver vi ytterligare axiom.
- Induktionsaxiom: (0 \ i X \ land (\ forall n \ in \ N: n \ i X \ innebär S ( n) \ i X) \ antyder \ N \ subseteq X
Detta innebär att varje naturligt tal, utom 0, är efterföljaren till ett annat naturligt tal. Med induktionens axiom är en total (eller ibland kallad linjär ) ordning kan induceras i \ N. Eftersom det inte är mycket relevant i det här svaret definierar vi inte formellt begreppet av total ordning.
De flesta läsare som har kommit till den här punkten kan se 2 = S (S (0)) och 4 = S (S (S (S (0)))), men för att uppnå matematiska formalismer, hur kan vi konstruera \ N enbart från uppsatta teoretiska föreställningar?
Von Neumann-konstruktionen av de naturliga siffrorna
Jag visar hur en sådan prestation kan uppnås. Definiera 0 = \ {\} och S (n) = n \ cup \ {n \}. Sedan:
S (0 ) = \ {\ {\} \}
S (S (0)) = \ {\ {\}, \ {\ {\} \} \}
S (S (S (0))) = \ {\ {\}, \ {\ {\} \}, \ {\ {\}, \ {\ {\} \} \} \}
(…)
Jag hoppas att jag inte saknade någonting där inne, det är ganska förvirrande i La. Hur som helst, tanken är att efterträdaren till n innehåller varje tidigare naturligt nummer, inklusive n. Det är lättare att se att om vi skriver det så här:
0 = \ {\}
1 = S (0) = \ {0 \}
2 = S (S (0)) = \ {0, 1 \}
3 = S (S (S (0))) = \ {0, 1, 2 \}
(…)
Som du kan se finns det många uppsättningar som överensstämmer med Peano Axioms, som vi kallar ”representationer” eller modeller av det abstrakta objektet \ N. Det vill säga uppsättningarna definieras på olika sätt, men semantiskt är de exakt samma.
Nog med själva naturliga siffror. Låt oss gå till det enda som är odefinierat: +
Tillägg till de naturliga siffrorna
Definiera en operation + över \ N som:
\ forall n \ in \ N: n + 0 = n
\ forall a, b \ in \ N: S (a + b) = a + S (b)
Visst nog, det innebär att S (n) = n + 1, eftersom n + 1 = n + S (0) och per definition n + S (0) = S (n + 0) = S (n). Är + associerande och kommutativt som vi förväntar oss? Självklart! Och som om det inte var tillräckligt med skönhet, kommer vi att använda induktionens axiom. Först måste vi veta om \ forall n \ in \ N: 0 + n = n:
- 0 är additiv identitet :
Definiera predikatet P (n) som \ forall n \ i \ N: 0 + n = n. P (0) håller tydligt: 0 + 0 = 0 enligt den första definitionen. Av induktionsaxiom:
n + 0 = 0 + n \ antyder
S (n + 0) = S (0 + n) \ antyder
S (n) = 0 + S (n) \ antyder
\ forall n \ i \ N: 0 + n = n
- Associativitet:
Definiera P (c) som \ forall a, b \ in \ N: (a + b) + c = a + (b + c)
P (0):
(a + b) + 0 = a + b
a + (b + 0) = a + b
Nu måste vi visa att:
P (c) \ innebär P (S (c)):
Antag att P (c):
(a + b) + c = a + (b + c) \ antyder
S ((a + b) + c) = S (a + (b + c)) \ antyder
(a + b) + S (c ) = a + S (b + c) \ antyder
(a + b) + S (c) = a + (b + S (c))
- Kommutativitet :
Ge namnet P (\ ell) (\ ell \ in \ N) till predikatet \ forall n \ in \ N: n + \ ell = \ ell + n. För \ ell = 1:
P (1):
Vi använder 1 (eftersom vi redan har visat 0 pendlar med allt) som basfall och bevisar P (1 med induktion över G (a): a + 1 = 1 + a. G (0) är naturligtvis trivial. Låt oss nu bevisa G (a) \ antyder G (a + 1).
S (a) + 1 = S (a) + S (0) \ antyder
S ( a) + 1 = S (S (a) + 0) \ antyder
S (a) + 1 = S (a + 1) \ antyder
Genom induktionshypotesen:
S (a) + 1 = S (1 + a) \ antyder
S (a) + 1 = 1 + S (a)
basfallet är klart, induktivt steg att gå!
P (\ ell) \ innebär P (S (\ ell)):
Antag att P (\ ell):
n + \ ell = \ ell + n \ antyder
S (n + \ ell) = S (\ ell + n) \ antyder
n + S ( \ ell) = \ ell + S (n) \ antyder
n + \ ell + 1 = \ ell + n + 1
Vid basfallet (1 pendlar med allt) :
n + \ ell + 1 = \ ell + 1 + n
n + S (\ ell) = S (\ ell) + n
Och vi har bevisat våra favoritegenskaper för tillägg direkt från definitionen!
Den faktiska frågan
Nu, Jag ska bevisa 2 + 2 = 4. Det är lite tråkigt, men förhoppningsvis var sättet på något sätt upplysande. Hur som helst, 2 = S (S (0)) och 4 = S (S (S (S (0)))).
2 + 2 = S (S (0)) + S (S (0)) \ antyder
2 + 2 = S (S (S (0)) + S (0)) \ antyder
2 + 2 = S (S (S (0)) + 1) \ antyder
2 + 2 = S (S (S (S ( 0)))) = 4
Bra! Vi gjorde det!
Visst, du kan också definiera decimalnotation, men 2 och 4 behåller samma betydelse med enbart definition. Kort sagt, hela svaret är ett gigantiskt ”per definition” och liksom matematik.
Hoppas att du gillade dig!
Om jag har gjort ett misstag eller om det finns något du skulle lägga till eller ändra på svaret, skulle jag gärna veta.