Bedste svar
Jeg håber, du er okay med Set Theory. Jeg kan ikke fortælle, hvor vidunderlige naturlige tal er. 🙂
Så før vi beviser 2 + 2 = 4 , kan vi først lære at vide, hvad der er naturlige tal. På et ikke-matematisk sprog ville det bare være navne, der gives til det antal, vi giver. Vi kalder så nul, en, to, og så videre ………. Men på samme tid kunne vi bare have navngivet dem nogle TOM, DICK, HARRY osv. ……;).
Lad os nu definere dem Sæt teoretisk –
I betragtning af at alle numrene fra 1 til N findes, tallet N + 1 er defineret som –
N + 1 = N∪ \ {N \}
Med andre ord kan vi sige, at operatøren “ +1 ” ikke gør andet end at forene det største sæt mindre end det sæt, vi kører derefter med sættet, der indeholder dette største sæt mindre end det sæt, vi opererede på. (Dette er kun definitionen af ligningen ovenfor: P)
Vi definerer 0 som et tomt sæt,
0 = \ {\} = Φ
Nu definerer vi rekursivt de næste tal –
1 = 0∪ \ {0 \} = Φ∪ \ {0 \} = \ {0 \}
2 = 1∪ \ {1 \} = \ {0 \} ∪ \ {1 \} = \ {0,1 \}
3 = 2 ∪ \ {2 \} = \ {0,1 \} ∪ \ {1 \} = \ {0,1,2 \}
4 = 3∪ \ {3 \} = \ {0 , 1,2 \} ∪ \ {3 \} = \ {0,1,2,3 \}
og så videre …….
Vi kan faktisk på denne måde bevise at – N = \ {0,1,2,3, …, N-1 \}
Nu N + 2 = N + (1 + 1) = (N + 1) + 1 = (N + 1) ∪ \ {(N + 1) \} = \ {0,1,2,3 …, N- 1 \} ∪ \ {N \} ∪ \ {(N + 1) \} = \ {0,1,2,3 …, N + 1 \}
Et godt spørgsmål ville være hvorfor blev operatøren “ +2 ” lig med “ + (1 + 1) ”, Dette er simpelthen fordi vi definerede 2 på den måde. Også hvorfor forbinder parenteserne? Simpelthen fordi vi har at gøre med sæt (det også uden nogen ikke-trivielle operatører), kan vi gøre det. 😉
Nu tilslutter vi bare N = 2 og Voila !!
2 + 2 = \ { 0,1,2,3 \} = 4
PS. Undskyld for at være så lang, men det er sådan, vi gør det.
Du kan henvise til Set-teoretisk definition af naturlige tal
Og ja, jeg blev undervist i dette i mit Discrete Mathematics Course. Jeg takker instruktøren.
Svar
Selvfølgelig. Dette er formel matematik . Hvis vi ikke kunne bevise 2 + 2 = 4, ville vi ikke hævde, at det er sandt i første omgang.
Det første spørgsmål, vi skulle stille os selv, er: Hvad betyder 2 + 2 = 4 faktisk betyde? Hvad er 2? Hvad er 4? Hvad er +? Og hvad er =? Mere generelt, hvad er et naturligt tal? Og hvordan defineres operationer og relationer over dem?
Ligestilling
Det ved du sikkert allerede, men jeg har at sige det alligevel. Mit svar skal være logisk lukket (vær bare taknemmelig for, at jeg ikke startede fra ZFC-aksiomer, men uanset hvad …). Under alle omstændigheder er lighed et forhold mellem to ting. Sikker på, men hvad er en relation?
En binær relation R mellem sæt A og B defineres som følger:
R \ subseteq A \ gange B
Hvor \ times er det kartesiske produkt. Så aRb er sandt, hvis og kun hvis (a, b) \ i R.
Equality = er et forhold med følgende egenskaber:
- Reflexivity: \ forall x: x = x
- Symmetri: \ forall x, y: x = y \ indebærer y = x
- Transitivitet: \ forall x, y, z: ((x = y \ land y = z) \ antyder x = z)
Naturlige tal: Den smukkeste unaturlige ting nogensinde
Hvis du spørger nogen, hvad der er et naturligt tal, vil du normalt høre “1,2,3,…” som om det løste sagen. Den egentlige definition fjerner tvetydigheden og gør sagen meget mere attraktiv. Så hvad er naturlige tal?
{} ^ {(*)} sæt \ N hvis elementer viser sig at respektere Peano-aksiomerne er sættet med naturlige tal. Lighed er defineret over dette sæt, hvilket betyder at de naturlige tal er lukket under lighed (selvfølgelig). Her er Peano Axioms:
- 0 \ in \ N
- Efterfølgerfunktionen S: \ N \ to \ N har følgende egenskaber:
- \ forall n \ in \ N: S (n) \ in \ N
- \ forall n, m \ in \ N: m = n \ iff S (n) = S (m)
- \ nexists n \ in \ N: S (n) = 0
Er vi færdige? Lad os se, hvad disse aksiomer antyder. Den første ting, vi får at vide, er at 0 er et naturligt tal. Ved aksiom 2a er S (0) også i \ N. Så er S (S (0)), S (S (S (0))) og S (S (… S (S (0)))). Dette ligner en slags “linjestruktur”, som om sættet ville tillade en total ordre. Men hvad hvis \ findes n \ i \ N, n \ neq 0: (\ nexists m \ in \ N: S (m) = n)? Det vil sige, kunne der være et naturligt tal, der ikke er efterfølgeren til noget naturligt tal? Lad os se. Tag sættet:
M = \ {0, S (0), S (S (0)), …, z, S (z), S (S (z)) ,. .. \}
Det vil sige, at sættet inkluderer 0 og alle dets efterfølgere og z og alle dets efterfølgere.Det har den førnævnte egenskab, at z ikke er efterfølgeren til noget andet naturligt tal. Verificerer M aksiomerne? Axiom 1 verificeres trivielt ved at se på det. Axiom 2a er også verificeret: ved, hvordan vi definerede sættet, viser det sig at være lukket under efterfølgerfunktionen. På samme måde gælder 2b og 2c også for M. Sættet, jeg konstruerede ovenfor, har to helt uafhængige “linjer” (kalder dem 0-linjen og z-linjen) og tillader derfor ikke en total rækkefølge.
Men … men … det er ikke det, vi ønsker.
Naturlige tal opstod som en intuitiv måde at forstå nogle aspekter af virkeligheden først, og det var først meget, meget senere, at definitionen blev fanget formelt. Og vi havde allerede den intuitive forståelse af, hvordan de skulle opføre sig. For at undgå M kræver vi et ekstra aksiom.
- Induktionsaksiom: (0 \ i X \ land (\ forall n \ in \ N: n \ i X \ betyder S ( n) \ i X) \ antyder \ N \ subseteq X
Dette indebærer, at hvert naturligt tal, undtagen 0, er efterfølgeren til et andet naturligt tal. Med induktionens aksiom er en total (eller undertiden kaldet lineær ) rækkefølge kan induceres i \ N. Da det ikke er meget relevant i dette svar, definerer vi ikke formelt begrebet af den samlede rækkefølge.
De fleste læsere, der kom til dette punkt, kan se 2 = S (S (0)) og 4 = S (S (S (S (0)))), men for at nå til matematiske formalismer, hvordan kan vi konstruere \ N rent ud fra sætteoretiske forestillinger?
Von Neumann-konstruktionen af de naturlige tal
Jeg viser, hvordan en sådan præstation kan opnås. Definer 0 = \ {\} og S (n) = n \ cup \ {n \}. Derefter:
S (0 ) = \ {\ {\} \}
S (S (0)) = \ {\ {\}, \ {\ {\} \} \}
S (S (S (0))) = \ {\ {\}, \ {\ {\} \}, \ {\ {\}, \ {\ {\} \} \} \}
(…)
Jeg håber, jeg ikke gik glip af noget derinde, det er ret forvirrende i La. Under alle omstændigheder er ideen, at efterfølgeren til n vil indeholde alle tidligere naturlige tal, inklusive n. Det er lettere at se, at hvis vi skriver det således:
0 = \ {\}
1 = S (0) = \ {0 \}
2 = S (S (0)) = \ {0, 1 \}
3 = S (S (S (0))) = \ {0, 1, 2 \}
(…)
Som du kan se, er der mange sæt, der overholder Peano Axioms, som vi kalder “repræsentationer” eller modeller af det abstrakte objekt \ N. Det vil sige, at sætene defineres på forskellige måder, men semantisk er de nøjagtigt de samme.
Nok med selve de naturlige tal. Lad os gå til det eneste, der er udefineret: +
Tilføjelse på de naturlige tal
Definer en operation + over \ N som:
\ forall n \ in \ N: n + 0 = n
\ forall a, b \ in \ N: S (a + b) = a + S (b)
Sikker nok betyder det, at S (n) = n + 1, da n + 1 = n + S (0) og pr. Definition n + S (0) = S (n + 0) = S (n). Er + associerende og kommutativ som vi ville forvente? Selvfølgelig! Og som om det ikke var nok skønhed, vil vi bruge induktionens aksiom. Først skal vi vide, om \ forall n \ i \ N: 0 + n = n:
- 0 er additiv identitet :
Definer prædikatet P (n) som \ forall n \ i \ N: 0 + n = n. P (0) holder tydeligt: 0 + 0 = 0 ved den første definition. Af induktionsaksiomet:
n + 0 = 0 + n \ antyder
S (n + 0) = S (0 + n) \ antyder
S (n) = 0 + S (n) \ antyder
\ forall n \ i \ N: 0 + n = n
- Associativitet:
Definer P (c) som \ forall a, b \ in \ N: (a + b) + c = a + (b + c)
P (0):
(a + b) + 0 = a + b
a + (b + 0) = a + b
Nu skal vi vise at:
P (c) \ antyder P (S (c)):
Antag P (c):
(a + b) + c = a + (b + c) \ antyder
S ((a + b) + c) = S (a + (b + c)) \ antyder
(a + b) + S (c ) = a + S (b + c) \ antyder
(a + b) + S (c) = a + (b + S (c))
- Kommutativitet :
Giv navnet P (\ ell) (\ ell \ in \ N) til prædikatet \ forall n \ i \ N: n + \ ell = \ ell + n. For \ ell = 1:
P (1):
Vi bruger 1 (da vi allerede har vist 0 pendler med alt) som basissag og bevis P (1 ) med induktion over G (a): a + 1 = 1 + a. G (0) er selvfølgelig trivielt. Lad os nu bevise G (a) \ antyder G (a + 1).
S (a) + 1 = S (a) + S (0) \ implicerer
S ( a) + 1 = S (S (a) + 0) \ antyder
S (a) + 1 = S (a + 1) \ antyder
Ved induktionshypotesen:
S (a) + 1 = S (1 + a) \ antyder
S (a) + 1 = 1 + S (a)
basissagen er færdig, induktivt skridt at gå!
P (\ ell) \ antyder P (S (\ ell)):
Antag P (\ ell):
n + \ ell = \ ell + n \ antyder
S (n + \ ell) = S (\ ell + n) \ antyder
n + S ( \ ell) = \ ell + S (n) \ antyder
n + \ ell + 1 = \ ell + n + 1
Ved basissagen (1 pendler med alt) :
n + \ ell + 1 = \ ell + 1 + n
n + S (\ ell) = S (\ ell) + n
Og vi har bevist vores foretrukne egenskaber ved tilføjelse direkte fra definitionen!
Det faktiske spørgsmål
Nu, Jeg vil bevise 2 + 2 = 4. Det er lidt kedeligt, men forhåbentlig var vejen på en eller anden måde oplysende. Under alle omstændigheder 2 = S (S (0)) og 4 = S (S (S (S (0)))).
2 + 2 = S (S (0)) + S (S (0)) \ antyder
2 + 2 = S (S (S (0)) + S (0)) \ antyder
2 + 2 = S (S (S (0)) + 1) \ antyder
2 + 2 = S (S (S (S ( 0)))) = 4
Fantastisk! Vi gjorde det!
Sikker på, du kan også definere decimalnotation, men 2 og 4 bevarer den samme betydning ved simpel definition. Kort sagt, hele dette svar er et gigantisk “pr. Definition” og ligesom matematik.
Håber du nød din måde!
Hvis jeg har lavet en fejl, eller der er noget, du har tilføjer eller ændrer svaret, vil jeg meget gerne vide det.