최상의 답변
세트 이론에 만족 하시길 바랍니다. 나는 자연수가 얼마나 멋진 지 말할 수 없다. 🙂
먼저 2 + 2 = 4 를 증명하기 전에 먼저 자연수가 무엇인지 알아 봅시다. 비 수학적 언어에서는 우리가주는 숫자에 주어진 이름 일뿐입니다. 그런 다음 0, 1, 2, 등을 호출합니다 ………. 그러나 동시에 TOM, DICK, HARRY 등으로 이름을 지정할 수있었습니다 ……;).
이제 이론적으로 설정해 보겠습니다.
1 에서 까지의 모든 숫자가 주어지면 N 존재하며 숫자 N + 1 은-
N + 1 = N∪ \ {N \}로 정의됩니다.
즉, “ +1 “연산자는 우리가 운영하는 집합보다 더 작은 가장 큰 집합을 통합하는 것 외에는 아무 일도하지 않는다고 말할 수 있습니다. 우리가 작업했던 세트보다 더 작은이 가장 큰 세트를 포함하는 세트로. (위 방정식의 정의 일뿐입니다 : P)
0 을 빈 집합으로 정의합니다.
0 = \ {\} = Φ p>
이제 다음 숫자를 재귀 적으로 정의합니다.-
1 = 0∪ \ {0 \} = Φ∪ \ {0 \} = \ {0 \}
2 = 1∪ \ {1 \} = \ {0 \} ∪ \ {1 \} = \ {0,1 \}
3 = 2 ∪ \ {2 \} = \ {0,1 \} ∪ \ {1 \} = \ {0,1,2 \}
4 = 3∪ \ {3 \} = \ {0 , 1,2 \} ∪ \ {3 \} = \ {0,1,2,3 \}
등등 …….
실제로이 방법으로 증명할 수 있습니다-N = \ {0,1,2,3, …, N-1 \}
이제 N + 2 = N + (1 + 1) = (N + 1) + 1 = (N + 1) ∪ \ {(N + 1) \} = \ {0,1,2,3 …, N- 1 \} ∪ \ {N \} ∪ \ {(N + 1) \} = \ {0,1,2,3 …, N + 1 \}
좋은 질문은 연산자 “ +2 “가 “ + (1 + 1) 이 된 이유 ”, 이것은 우리가 2 방식으로 정의했기 때문입니다. 또한 괄호가 연결되는 이유는 무엇입니까? 우리가 집합을 다루기 때문에 (사소하지 않은 연산자도없이) 그렇게 할 수 있습니다. 😉
이제 N = 2 와 Voila를 연결합니다 !!
2 + 2 = \ { 0,1,2,3 \} = 4
PS. 너무 길어서 죄송 합니다만, 이것이 우리가하는 방법입니다.
네, 저는 이산 수학 코스에서 이것을 배웠습니다. 강사님께 감사드립니다.
답변
물론입니다. 이것은 공식 수학 입니다. 2 + 2 = 4를 증명할 수 없다면 처음에 그것이 사실이라고 주장하지 않을 것입니다.
우리가 스스로에게 물어봐야 할 첫 번째 질문은 : 2 + 2 = 4가 실제로 무엇을 하는가 평균? 2는 무엇입니까? 4는 무엇입니까? +는 무엇입니까? 그리고 =는 무엇입니까? 더 일반적으로 자연수는 무엇입니까? 그리고 그에 대한 연산과 관계는 어떻게 정의됩니까?
평등
아마도 이미 알고 있지만 어쨌든 그것을 말하십시오. 내 대답은 논리적으로 닫혀 있어야합니다 (ZFC 공리에서 시작하지 않은 것에 감사드립니다.하지만 뭐든…). 어쨌든 평등은 두 가지 간의 관계 입니다. 물론입니다.하지만 관계가 무엇인가요?
세트 A와 B 사이의 이진 관계 R은 다음과 같이 정의됩니다.
R \ subseteq A \ times B
\ times는 데카르트 곱입니다. 따라서 aRb는 (a, b) \ in R 인 경우에만 참입니다.
Equality =는 다음 속성과의 관계입니다.
- Reflexivity : \ forall x : x = x
- 대칭 : \ forall x, y : x = y \ implies y = x
- 통과 성 : \ forall x, y, z : ((x = y \ land y = z) \ implies x = z)
자연수 : 역사상 가장 아름답고 부 자연스러운 것
누군가에게 자연수가 무엇인지 물어 보면 일반적으로“1,2,3,…”이 문제가 해결 된 것처럼 들립니다. 실제 정의는 모호함을 제거하고 문제를 훨씬 더 매력적으로 만듭니다. 그래서, 자연수는 무엇입니까?
피아노 공리를 존중하는 요소가있는 {} ^ {(*)} 세트 \ N은 자연수 세트입니다. 평등은이 집합에 대해 정의됩니다. 즉, 자연수는 평등하에 닫힙니다 (분명히). Peano Axioms는 다음과 같습니다.
- 0 \ in \ N
- 후속 함수 S : \ N \ to \ N에는 다음과 같은 속성이 있습니다.
- \ forall n \ in \ N : S (n) \ in \ N
- \ forall n, m \ in \ N : m = n \ iff S (n) = S (m)
- \ nexists n \ in \ N : S (n) = 0
끝났습니까? 이 공리가 의미하는 바를 살펴 보겠습니다. 우리가 가장 먼저 듣는 것은 0이 자연수라는 것입니다. 공리 2a에 의해 S (0)도 \ N에 있습니다. S (S (0)), S (S (S (0))) 및 S (S (… S (S (0))))도 마찬가지입니다. 이것은 마치 세트가 총 주문을 허용하는 것처럼 일종의 “라인 구조”처럼 보입니다. 하지만 만약 \ exists n \ in \ N, n \ neq 0 : (\ nexists m \ in \ N : S (m) = n)? 즉, 자연수의 후계자가 아닌 자연수가 존재할 수 있습니까? 보자. 세트 가져 오기 :
M = \ {0, S (0), S (S (0)), …, z, S (z), S (S (z)) ,. .. \}
즉, 0 및 모든 후속 작업과 z 및 모든 후속 작업을 포함하는 집합입니다.z가 다른 자연수의 후계자가 아니라는 것은 전술 한 속성을 가지고 있습니다. M은 공리를 확인합니까? 글쎄요, 공리 1은 그것을 보면서 간단하게 확인됩니다. Axiom 2a도 확인됩니다. 우리가 세트를 정의한 방법에 따라 후속 함수에서 닫힌 것으로 밝혀졌습니다. 마찬가지로, 2b와 2c는 M에도 적용됩니다. 위에서 구성한 세트에는 완전히 독립적 인 두 개의 “라인”(0 라인 및 z 라인이라고 함)이 있으므로 총 주문을 허용하지 않습니다.
그러나… 그러나… 이것은 우리가 원하는 것이 아닙니다.
자연수는 현실의 일부 측면을 먼저 이해하는 직관적 인 방법으로 생겨 났으며 그 정의가 포착 된 것은 얼마 지나지 않았습니다. 공식적으로. 그리고 우리는 이미 그들이 어떻게 행동해야하는지 직관적으로 파악했습니다. M을 피하기 위해서는 추가 공리가 필요합니다.
- 유도 공리 : (0 \ in X \ land (\ forall n \ in \ N : n \ in X \ implies S ( n) \ in X) \ implies \ N \ subseteq X
이는 0을 제외한 모든 자연수가 다른 자연수의 후속임을 의미합니다. 귀납의 공리로 총 (또는 linear 라고도 함) 순서는 \ N에서 유도 될 수 있습니다.이 답변에서 그다지 관련성이 없기 때문에 공식적으로 개념을 정의하지 않습니다. 총 주문의.
이 시점에 도달 한 대부분의 독자는 2 = S (S (0)) 및 4 = S (S (S (S (0))))를 볼 수 있지만 수학적 형식에 도달하면 집합 이론적 개념에서 순수하게 \ N을 어떻게 구성 할 수 있습니까?
자연수의 Von Neumann 구성
이런 위업이 어떻게 성취 될 수 있는지 보여 드리겠습니다. 0 = \ {\} 및 S (n) = n \ cup \ {n \}을 정의합니다. 그런 다음 :
S (0 ) = \ {\ {\} \}
S (S (0)) = \ {\ {\}, \ {\ {\} \} \}
S (S (S (0))) = \ {\ {\}, \ {\ {\} \}, \ {\ {\}, \ {\ {\} \} \} \}
(…)
나는 La에서 꽤 헷갈리는 부분을 놓치지 않았 으면합니다. 어쨌든, 아이디어는 n의 후계자라는 것입니다. n을 포함한 모든 이전 자연수를 포함합니다. 다음과 같이 작성하면 더 쉽게 알 수 있습니다.
0 = \ {\}
1 = S (0) = \ {0 \}
2 = S (S (0)) = \ {0, 1 \}
3 = S (S (S (0))) = \ {0, 1, 2 \}
(…)
보시다시피 “표현”또는 라고하는 Peano Axioms를 준수하는 많은 세트가 있습니다. 추상 개체 \ N의 모델 . 즉, 집합은 다른 방법으로 정의되지만 의미 상 정확히 동일합니다.
자연수 자체만으로 충분합니다. 정의되지 않은 상태로 남겨진 유일한 항목으로 이동합니다. +
자연수 추가
연산 정의 + 이상 \ N as :
\ forall n \ in \ N : n + 0 = n
\ forall a, b \ in \ N : S (a + b) = a + S (b)
물론, 이는 S (n) = n + 1을 의미합니다. n + 1 = n + S (0)이고 정의상 n + S (0) = S (n + 0) = S (n). +는 우리가 예상하는 것처럼 연관적이고 교환 적인가? 물론이야! 그리고 그것만으로는 충분하지 않은 것처럼 우리는 귀납의 공리를 사용할 것입니다. 먼저, \ forall n \ in \ N : 0 + n = n :
- 0이 additive identity 인지 알아야합니다. span> :
술어 P (n)를 \ forall n \ in \ N : 0 + n = n으로 정의합니다. P (0)은 첫 번째 정의에서 0 + 0 = 0을 명확하게 유지합니다. 귀납의 공리 :
n + 0 = 0 + n \ implies
S (n + 0) = S (0 + n) \ implies
S (n) = 0 + S (n) \ implies
\ forall n \ in \ N : 0 + n = n
- 연관성 :
P (c)를 \ forall a, b \ in \ N : (a + b) + c = a + (b + c)
P (0) :
(a + b) + 0 = a + b
a + (b + 0) = a + b
이제 보여 주어야합니다.
P (c) \는 P (S (c))를 의미합니다 :
P (c) 가정 :
(a + b) + c = a + (b + c) \ impies
S ((a + b) + c) = S (a + (b + c)) \ impies
(a + b) + S (c ) = a + S (b + c) \ impies
(a + b) + S (c) = a + (b + S (c))
- 상환 성 :
술어 \ forall n \ in \ N : n + \ ell = \ ell + n에 이름 P (\ ell) (\ ell \ in \ N)를 지정합니다. \ ell = 1의 경우
P (1) :
우리는 기본 케이스로 1 (이미 모든 통근을 표시 했으므로)을 사용하고 P (1 ) G (a)에 대한 유도 : a + 1 = 1 + a. G (0)은 물론 사소합니다. 이제 G (a) \는 G (a + 1)을 의미합니다.
S (a) + 1 = S (a) + S (0) \ implies
S ( a) + 1 = S (S (a) + 0) \ implies
S (a) + 1 = S (a + 1) \ implies
유도 가설 :
S (a) + 1 = S (1 + a) \ 함축
S (a) + 1 = 1 + S (a)
기본 케이스가 완료되었습니다. 귀납적 단계가 완료되었습니다!
P (\ ell) \ implies P (S (\ ell)) :
P (\ ell) 가정 :
n + \ ell = \ ell + n \ 묵시
S (n + \ ell) = S (\ ell + n) \ 묵시
n + S ( \ ell) = \ ell + S (n) \ impies
n + \ ell + 1 = \ ell + n + 1
기본 사례 (1 개의 모든 통근) :
n + \ ell + 1 = \ ell + 1 + n
n + S (\ ell) = S (\ ell) + n
그리고 우리가 가장 좋아하는 덧셈 속성을 정의에서 직접 입증했습니다!
실제 질문
자, 나는 2 + 2 = 4를 증명할 것입니다. 약간 지루하지만 그 방법이 어떻게 든 깨달았 으면 좋겠습니다. 어쨌든, 2 = S (S (0)) 및 4 = S (S (S (S (0)))).
2 + 2 = S (S (0)) + S (S (0)) \ 의미
2 + 2 = S (S (S (0)) + S (0)) \ 내포
2 + 2 = S (S (S (0)) + 1) \ 내포
2 + 2 = S (S (S (S ( 0)))) = 4
좋습니다! 우리가 해냈습니다!
물론 십진 표기법도 정의 할 수 있지만 2와 4는 단순한 정의로 동일한 의미를 유지합니다. 요컨대,이 모든 대답은 “정의상”이며 수학도 마찬가지입니다.
당신의 방식이 즐거웠기를 바랍니다!
내가 실수를했거나 당신이 무언가가 있다면 답변을 추가하거나 수정하면 알고 싶습니다.