Beste svaret
Jeg liker dette problemet fordi det viser noen grunnleggende sannsynligheter som jeg bruker for å utfordre studentene mine.
En antagelse: Hver av terningene er «rettferdige», det er ikke partisk på noen måte.
Ettersom hver terning har 6 sider og hver side er unikt nummerert 1 til 6, det er totalt 6 * 6 * 6 forskjellige tallkombinasjoner når terningkastet kastes.
Det vil si at det er 216 mulige forskjellige tallkombinasjoner oppnåelig, MEN IKKE ALLE TOTAL 8.
Vi må nå finne ut hvor mange kombinasjoner som totalt utgjør 8.
Hvis vi tar tall 1, 1, 6 (som totalt 8), kan vi ordne disse tallene i
( 3! / 2) = 3 forskjellige måter.
Tilsvarende tall 1, 2, 5 kan ordnes på (3!) = 6 forskjellige måter
Tall 1, 3, 4 kan ordnes på
(3!) = 6 forskjellige måter
Tall 3, 3, 2 kan ordnes i
(3!) / 2 = 3 forskjellige måter
og tall 4, 2, 2, kan ordnes på (3!) / 2 = 3 forskjellige måter
Å gi totalt 21 forskjellige tallkombinasjoner (av 216 mulige kombinasjoner) som summerer til 8.
Så det er (21) / (216) mulige riktige kombinasjoner som oppfyller kravene til spørsmålet.
Dette gir sannsynligheten for (21) / (216) eller 9,72222\% eller 0,097222 for å få en sum på 8 når 3 dør kastes .
Ganske interessant spørsmål.
Svar
Jeg vil løse dette som et betinget sannsynlighetsproblem (som andre svar har gjort), få mine 100\% på leksene, og fortsett med livet mitt. Imidlertid vil jeg også gi et massivt blikk på selve spørsmålet, for dette er ikke en særlig sunn ting å stille.
Hva mener jeg med det? Vel, betinget sannsynlighet brukes til å representere en aktuell tilstand av informasjon (eller rettere sagt desinformasjon) om utfallet av systemet. Problemet sier “En av dem viser en sekser”, som vi skal tolke som å si følgende: av de 6 ^ 4 opprinnelige mulige resultatene, er det på en eller annen måte kjent at det faktiske utfallet viser minst en seks, men alle slike utfall er like sannsynlige.
Hvis vi tilfeldigvis så en av terningene og la merke til at den landet på en sekser, men ikke kunne se de andre, ville vi være i den tilstanden av informasjon? Nei, det ville vi ikke. Vi ville vite at som dør viser en seks, og etterlater 6 ^ 3 mulige utfall, som vil danne en riktig delmengde av 6 ^ 4-5 ^ 4-resultatene der «minst en dør viser en 6.»
Her er egentlig den eneste måten vi kunne være i den 6 ^ 4-5 ^ 4 informasjonstilstanden: den måtte rigges. Vi instruerer en pålitelig venn eller lydig datamaskin om å gjøre følgende utenfor synsfeltet vårt:
- Rull fire terninger.
- Hvis ingen av terningene viser en sekser, gå tilbake til trinn 1, og rapporterer ingenting.
- Rapporter “EN AV DEM VISER SIX.”
Hvis vi spiller dette rigget spill mange ganger, så ja – den betingede sannsynligheten for at nøyaktig en viser en seks gitt at EN AV DEM VISER SIX, er lik
\ frac {4 * 5 ^ 3 } {6 ^ 4-5 ^ 4}.
Den eneste mulige måten å være i denne situasjonen er imidlertid med hjelp fra en enhet med full kunnskap om resultatet, som målrettet rapporterer tilbake bare en del av informasjonen til deg. Det er grunnen til at jeg kaller situasjonen for «rigget.» Forresten, det er akkurat den samme grunnen til at det berømte Monty Hall aka «3 doors» -problemet er kontraintuitivt – det kan også bare spilles med hjelp fra en allvitende vert.